Seconde
I Notion de vecteur
I.1 Parallélogramme
I.1.1 Définition
Un quadrilatèreABC Dest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu Théorème 1
||
||
|
|
A
B
C
D
O A
B
C D
O
parallélogramme aplati
I.1.2 Propriétés
• Un quadrilatèreABC Dest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC).
• Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme.
A
B
D
C
Dans le quadrilatèreABC Dnous avons (AB)//(C D) etAB=C D, pourtantABC Dn’est pas un parallélogramme.
Remarque
I.2 Sens et direction
A
B
• Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont même direction.
• Une direction étant indiquée par la donnée d’une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.
I.3 Translation
A M
N
P Q
F1
B R
S
T U
F2
Le glissement qui permet d’obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par trois caractères :
• la direction du glissement est donnée par la droite (AB) ;
• le sens du glissement est celui deAversB;
• la distance du glissement est égale à la longueur du segment [AB].
On dit que la figureF2est l’image de la figureF1par la translation de vecteur−−→
AB.
Les vecteur−−→
N S et−−→
P T sont aussi des vecteurs de la translation de vecteur−−→
AB, on dit qu’ils sont égaux. On note alors :
−−→AB =−−→
N S =−−→
P T
Remarque
I.3.1 Définition
SoientAetBdeux points du plan.
La translation qui transformeAenBassocie à tout pointCdu plan, l’unique pointDtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
Cette translation est la translation de vecteur−−→
AB.
Cas général
||
||
|
|
A
C
D
B
O
ABDCest un parallélogramme
Cas particuler oùA,BetCsont alignés
A
B
C
D
O
ABDCest un parallélogramme aplati Théorème 2
II Vecteurs
Un couple (A,B) de points du plan détermine un vecteur.Aest l’origine du vecteur etBest son extrémité.
On le note−−→
AB. Définition 1
II.1 Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s’ils sont associés à la même translation.
Définition 2
II.1.1 Définition
A,B,C etDsont quatre points du plan. Les défini- tions suivantes sont équivalentes :
• −−→
AB =−−→
C D si, et seulement si,Dest l’image du pointCpar la translation de vecteur−−→
AB.
• −−→
AB =−−→
C D si, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
• −−→
AB =−−→
C D si, et seulement si, ABDC est un
parallélogramme. A
B
C
D
Théorème 3
ABC DetABE Fsont deux parallélogrammes. Montrons queDC E Fest un parallélogramme.
A
B
C D
E F
• ABC Dest un parallélogramme alors,−−→
AB =−−→
DC.
• ABE Fest un parallélogramme alors,−−→
AB =−−→
F E. Par conséquent,−−→
DC =−−→
F E donc le quadrilatèreDC E Fest un parallélogramme.
Exemple : les trois parallélogrammes
II.2 Représentation d’un vecteur
Devant des égalités du type−−→
AB =−−→
DC =−−→
F E = · · ·, on dit que les vecteurs−−→
AB,−−→
DC,−−→
F E, . . .sont des représentants du vecteur−→
u :
−
→u =−−→
AB =−−→
DC =−−→
F E = · · · Le vecteur−−→
A A =−−→
BB = · · ·est appelé le vecteur nul, noté→− 0 .
SoitOun point du plan. Pour tout vecteur→−
u, il existe un un pointMunique tel que−→ u =−−−→
OM. Théorème 4
−
→u
−−−→ OM O
M
Si−→
u n’est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur−→
u est caractérisé par :
• Sa direction : c’est celle de la droite (OM).
• Son sens : c’est le sens deOversM.
• Sa norme notée°
°°
−
→u
°°
°: c’est la distanceOM.
III Addition vectorielle
III.1 Somme de deux vecteurs
Soit trois pointsA,BetC.
Si on applique la translation de vecteur−−→
AB suivie de la translation de vecteur−−→
BC, on obtient la translation de vecteur
−−→AC.
Le vecteur−−→
AC est la somme des vecteurs−−→
AB et−−→
BC
−−→AC =
−−→AB +−−→
BC
A
B
C
III.1.1 Relation de Chasles
Quels que soient les pointsA,BetCon a :
−−→AB+−−→
BC =−−→
AC Théorème 5
III.1.2 Règle du parallélogramme
La somme−−→
O A+−−→
OB est le vecteur−−−→
OM tel queO AMBest un parallélogramme.
Théorème 6
III.1.3 Construction de la somme de deux vecteurs Relation de Chasles
−
→u
−→v
→− u +
−
→v
A
B
C
Règle du parallélogramme
−
→u
−→v
−→ u+
−
→v
O
A B
M
III.1.4 Propriétés algébriques
Quels que soient les vecteurs−→ u,−→
v et−→
− w
→u +−→ v =→−
v +→−
u ; −→
u +−→ 0 =→−
0 +−→ u =→−
u ; ³−→
u +−→ v ´
+−→ w =−→
u +
³→− u +−→
w´ Théorème 7
III.2 Différence de deux vecteurs
III.2.1 Opposé d’un vecteur
L’opposé d’un vecteur→−
u est le vecteur noté³
−−→ u´
tel que−→ u +
³
−−→ u´
=−→ 0 . Théorème 8
−
→u
−−→ u
L’opposé du vecteur−−→
AB est le vecteur−−→
B A :−−−→
AB =−−→
B A Théorème 9
Preuve
D’après la relation de Chasles :−−→
AB +−−→
B A =−−→
A A =−→ 0 III.2.2 Définition
Étant donné deux vecteurs→− u et−→
v la différence−→ u −−→
v est le vecteur→− u +³
−−→ v´
. Théorème 10
−
→u
−
→v
−
−→v
− u→− −→
v
− u→− −→
v
A
C B
M
N
Quels que soient les pointsA,BetC,−−→
BC =−−→
AC −−−→
AB
IV Coordonnées
IV.1 Coordonnées d’un vecteur
Le plan est muni d’un repère (O ; I ; J). Soit~uun vecteur.
On appelle coordonnées du vecteur~ules coordonnées du pointM¡ x;y¢
dans le repère (O ; I ; J) tel que
−−−→ OM =~u.
On note indifféremment~u¡ x;y¢
ou~u Ãx
y
! . Définition 3
J
I O
M +4
−2
−2
4
~
u ~u
Ã4
−2
!
Exemple
Les coordonnées d’un vecteur dépendent du choix du repère.
Remarque
IV.1.1 Propriétés des coordonnées
Soit (O ; I ; J) un repère du plan,~u Ãx
y
! et~v
Ãx′ y′
!
deux vecteurs :
• Vecteur nul :
~ u
Ãx y
!
=~0 ⇐⇒
(x=0 y=0
• Égalité de deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux si, et seulement si leurs coordonnées sont égales.
~ u
Ãx y
!
=~v Ãx′
y′
!
⇐⇒
(x=x′ y=y′
• Somme de deux vecteurs : Le vecteur~u+~va pour coordonnées Ãx+x′
y+y′
! . Définition 4
Soit (O ; I ; J) un repère du plan,~u Ã1
2
! et~v
Ã5 7
!
. Le vecteur~u+~va pour coordonnées Ã6
9
!
Exemple
IV.2 Coordonnées du vecteur −−→
AB
Soit (O ; I ; J) un repère du plan et deux pointsA¡ xA;yA¢
etB¡ xB;yB¢
. Les coordonnées du vecteur−−→
AB dans le repère (O ; I ; J) sont :
−−→AB
ÃxB−xA
yB−yA
!
.
Mémo : 2èmepoint - 1erpoint . Théorème 11
1 2 3
−1
1 2 3 4
b
A
b
B
b
O
b
M
Preuve.
Par définition, si le vecteur−−→
AB est de coordonnées−−→
AB Ãx
x
!
, cela signifie que le pointM(x;y) est l’image de l’origine du repère O par la translation de vecteur−−→
AB.
De ce fait le quadrilatère OABM est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en leur milieu. On a donc :
mi l[AM]=mi l[OB]⇐⇒
xA+x
2 =0+xB
yA+y 2
2 =0+yB
2
⇐⇒
(x=xB−xA
y=yB−yA
.
ABC Dest un parallélogramme de centreO. Dans le repère (A;B;D) :
A(0 ; 0) B(1 ; 0) C(1 ; 1) D(0 ; 1)
=⇒−−→
AC Ã1
1
!
et −−→
BD Ã−1
1
!
A
B
C D
O
Exemple
ABC Dest un parallélogramme de centreO. Dans le repère (O; A,B) :
A(1 ; 0) B(0 ; 1) C(−1 ; 0) D(0 ;−1)
=⇒−−→
AC Ã−2
0
! et −−→
BD Ã0
−2
!
A
B
C
D
O
Exemple
V Multiplication d’un vecteur par un réel
V.1 Produit d’un vecteur par un réel k
−
→u
−2 3
−
→u
5 4
−
→u
kdésigne un réel et−→ u
Ãa b
!
un vecteur dans un repère. Le vecteurk→−
u est le vecteur de coordonnées Ãka
kb
! . On admet que le vecteurk→−
u est indépendant du repère.
Définition 5
Par exemple si−→ u
Ã2 3
!
alors le vecteur→− v =5−→
u est de coordonnées−→ v
Ã10 15
! .
Exemple
Soit−→
u un vecteur non nul (→− u 6=−→
0 ) etkun réel non nul (k6=0).
Le produit du vecteur−→
u par le réelk, noték−→
u est le vecteur caractérisé par :
• sa direction :k→−
u a la même direction que le vecteur→− u ;
Cas oùk>0 Cas oùk<0
−−−→ OM =k→−
u
−−→O A =→− u
O
A
M
−−−→ OM =k−→
u
−−→O A =
−→ u
O
A
M
• son sens : le vecteurk−→
u a le même sens que le vecteur→−
u ;
• sa norme : la norme du vecteur k→− u est égale au produit de la norme du vecteur−→ u par le réelk
°°
°k−→ u
°°
°=k×
°°
°
−
→u
°°
°
• son sens : le vecteurk→−
u est de sens opposé au sens du vecteur−→
u ;
• sa norme : la norme du vecteur k−→ u est égale au produit de la norme du vecteur−→ u par l’opposé du réelk
°°
°k−→ u
°°
°= −k×
°°
°
−
→u
°°
°
Ce qui s’écrit de façon générale°
°°k−→ u°
°°= |k| ×
°°
°
−
→u°
°°et se lit :
« la norme du vecteurk−→
u est égale au produit de la norme du vecteur−→
u par la valeur absolue du réelk» Définition 6(Une autre définition)
Lorsque−→ u =→−
0 ouk=0, on convient quek−→ u =−→
0 : ainsi, l’égaliték−→ u =−→
0 ne peut se produire que lorsque
−
→u =→−
0 ouk=0.
Définition 7
V.2 Propriétés algébriques
Pour tous vecteurs−→ u et→−
v et pour tous réelsketk′: k³→−
u +→− v´
=k−→ u +k−→
v ; (k+k′)→− u =k→−
u +k′−→
u ; k−→
u =→−
0 ⇐⇒ k=0 ou→− u =−→
0 Théorème 12
V.3 Vecteurs colinéaires
V.3.1 Définition
Deux vecteurs−→ u et→−
v sont dits colinéaires s’il existe un réelktel que−→ u =k−→
v ou−→ v =k−→
u Théorème 13
• Comme−→ 0 =0−→
u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
Remarque
V.4 Applications géométriques
V.4.1 Avec les milieux
Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment [AB] : 1) −→
AI =−→
I B ou 2) −→
I A+−→
I B =→−
0 ou 3) −−→
AB =2−→
AI . 4) Pour tout pointMdu plan−−−→
M A+−−−→ MB =2−−→
M I. Théorème 14(milieu d’un segment)
Preuve.
1. L’égalité−→
AI =−→
I B caractérise le milieuI du segment [AB] (conséquence de la définition de l’égalité de deux vecteurs).
2. Imilieu du segment [AB]⇐⇒ −→
AI =−→
I B ⇐⇒−→
I A = −−→
I B ⇐⇒ −→
I A+−→
I B =−→ 0 3. Imilieu du segment [AB]⇐⇒ −→
AI =−→
I B ⇐⇒2−→
AI =−→
AI +−→
I B ⇐⇒2−→
AI =−−→
AB 4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM
−−−→ M A+−−−→
MB =
³−−→
M I +−→
I A´ +
³−−→
M I +−→
I B´
=2−−→
M I +−→
I A +−→
| {zI B}
=−→ 0
=2−−→
M I
Réciproquement, la propriété−−−→ M A+−−−→
MB =2−−→
M I étant vraie pour tout pointMon peut l’appliquer au pointI. Soit :
−→I A+−→
I B =2−→ I I =−→
0 Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]
SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors−−→
BC =2−→ I J Théorème 15
Preuve.
−−→BC =−−→
B A+−−→
AC =2−→
I A+2−→
A J =2³−→
I A +−→
A J´
=2−→ I J
V.4.2 Parallélisme et alignement
• Deux droites (AB) et (C D) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs−−→
AB et−−→
C D sont colinéaires.
• Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs−−→
AB et−−→
AC sont colinéaires.
Théorème 16
Preuve.
• Si (AB)//(C D) alors, les vecteurs−−→
AB et−−→
C D ont la même direction donc ils sont colinéaires.
A
B
D
C
Réciproquement si les vecteurs−−→
AB et−−→
C D sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc (AB)//(C D)
• −−→
AB et−−→
AC sont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
V.4.3 Exemples
La méthode pour construireMdéfini par une égalité vectorielle est d’obtenir une relation du type :
−−−→ OM =→−
u z }| {
origine connue
z }| {
vecteur connu
Soit trois points non alignésA,BetC. Construire le pointMdéfini par−−−→ M A−3−−−→
MB =−−→
AC
• Choisissons par exempleAcomme « origine connue »
−−−→ M A−3−−−→
MB =−−→
AC ⇐⇒−−−→
M A−3³−−−→ M A+−−→
AB´
=−−→
AC
⇐⇒−−−→ M A−3−−−→
M A−3−−→
AB =−−→
AC
⇐⇒ −2−−−→ M A =3−−→
AB +−−→
AC
⇐⇒−−−→ M A= −3
2
−−→AB −1 2
−−→AC
⇐⇒−−−→ AM =3
2
−−→AB +1 2
−−→AC
• Nous pouvons construire le pointM:
3 2
−−→AB
1 2
−−→ AC
1−−→ 2
AC
−−−→ AM
A
B C
M
Exemple 1 : construction de points
Montrer que des points sont aligné, revient à montrer que des vecteurs sont colinéaires.
Question : SoitABCun triangle,Ile milieu de [AC],Mest le symétrique deBpar rapport àCet le point Nest tel que−−→
AN =1 3
−−→AB . Les pointsM,IetNsont-ils alignés ?
1 3
−−→AB
||
||
A
B C
I
N M
• Iest le milieu du segment [AC] donc−→
AI =1 2
−−→AC
• Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [B M] d’où−−−→ MC =−−→
C B. Exprimons les vecteurs−−→
M I et−−→
I N en fonction des vecteurs−−→
AB et−−→
AC :
−−→M I =−−−→ MC +−→
C I =−−→
C B −1 2
−−→AC =−−→
C A+−−→
AB −1 2
−−→AC =−−→
AB −3 2
−−→AC
−−→I N =−→
I A +−−→
AN = −1 2
−−→AC +1 3
−−→AB
Ainsi,−−→
M I =−−→
AB −3 2
−−→AC et−−→
I N =1 3
−−→AB −1 2
−−→AC d’où−−→
M I =3−−→
I N. Par conséquent, les vecteurs−−→
M I et−−→
I N sont colinéaires donc les pointsM,IetNsont alignés.
Exemple 2 : parallélisme, alignement
Compléments
VI Coordonnées du milieu d’un segment (une autre preuve)
Soit¡ O;~ı,~¢
un repère du plan et deux pointsA¡ xA;yA
¢etB¡ xB;yB
¢. Les coordonnées du milieuI¡
xI;yI
¢du segment [AB] sont :
xI=xA+xB
2 et yI=yA+yB
2 Théorème 17
Preuve.
Iest le milieu du segment [AB] d’où 2−−→ OI =−−→
O A+−−→
OB soit−−→ OI =1
2
³−−→
O A+−−→
OB´
VII Condition de colinéarité
Soit¡ O;~ı,~¢
un repère du plan. Les vecteurs~u Ãx
y
! et~v
Ãx′ y′
!
sont colinéaires si, et seulement si,
x y′−x′y=0 Théorème 18(Admis)
VIII Repère du plan
On appelle base tout couple¡
~ı,~¢
de vecteurs non colinéaires.
Un repère du plan est un triplet¡ O;~ı,~¢
oùOest un point du plan (appelé origine du repère) et¡
~ı,~¢ une base.
Théorème 19
O x
y
~ı
~
Repère quelconque
O x
y
~ı
~
I J
(OI)⊥(O J) Repère orthogonal
O x
y
~ı
~
I J
Repère orthonormé (OI)⊥(O J) etOI=O J
IX Coordonnées d’un vecteur
Le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢
. Soit~uun vecteur.
On appelle coordonnées du vecteur~u les coordonnées du pointM¡ x;y¢
dans le repère¡ O;~ı,~¢
tel que
−−−→ OM =~u.
On note indifféremment~u¡ x;y¢
ou~u Ãx
y
! . Théorème 20
~
~ı O
M x~ı
y~
x~ı
y~
~ u
• ¡ x;y¢
sont les coordonnées du pointMdans le repère¡ O;~ı,~¢
signifie que−−−→
OM =x~ı+y~.
• Ãx
y
!
sont les coordonnées du vecteur~udans le repère¡ O;~ı,~¢
signifie que~u=x~ı+y~.
Définition 8
ABC Dest un parallélogramme de centreO. Dans le repère³
A;−−→
AB,−−→
AD´ :
A(0 ; 0),B(1 ; 0),C(1 ; 1),D(0 ; 1)
−−→AC Ã1
1
!
=~ı+~et−−→
BD Ã−1
1
!
= −~ı+~
~ı
~
A
B
C D
O
Exemple
ABC Dest un parallélogramme de centreO. Dans le repère³
O;−−→
O A,−−→
OB´ :
A(1 ; 0),B(0 ; 1),C(−1 ; 0),D(0 ;−1)
−−→AC Ã−2
0
!
= −2~ıet−−→
BD Ã0
−2
!
= −2~ ~ı
~
A
B
C
D
O
