Td corrigé Translations et vecteurs - Maths-et-tiques pdf

(1)

TRANSLATION ET VECTEURS

Activités de groupe : La Translation (Partie1) :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf

La Translation (Partie2) :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr2.pdf

Activité conseillée Activité conseillée

p150 activité1 : Attention, ça glisse !

p148 activité1 : Attention, ça glisse !

ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

I. Translation

Exemple : B

80m Une translation est un glissement : A - avec une direction donnée :

câble du téléphérique, la droite (AB), - avec un sens donné :

le téléphérique monte de A vers B, - avec une longueur donnée :

80m, longueur AB On dit que :

Le téléphérique T’ est l’image du téléphérique T par la translation qui transforme A en B.

Définition : Soit P et P’ deux points distincts du plan.

On appelle translation qui envoie P sur P’ la transformation dont l’image

F’

^d’une

figure

F

est obtenue en faisant glisser la figure

F

^:

- selon la direction de la droite (PP’), - dans le sens de P vers P’,

- d’une longueur égale à PP’.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr T ’

T

P

F

P’

F’

(2)

Méthode : Construire l’image d’une figure par une translation Vidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk

Soit t la translation qui transforme A en A’.

Construire l’image B’C’D’E’ du trapèze BCDE par la translation t.

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir

p171 n°1 à 3 p171 n°4 p166 n°1 à 4 p166 n°5

II. Vecteurs

1. Définition :

Définition : Soit

t

la translation qui envoie A sur A’, B sur B’ et C sur C’.

Les couples de points (A ; A’), (B ; B’) et (C ; C’) définissent un vecteur caractérisé par :

- une direction : celle de la droite (AA’), - un sens : de A vers A’,

- une longueur : la longueur AA’.

(3)

On note _u^ ce vecteur et on écrit : _u^ =^_AA_'. On dit que ^_AA_' est un représentant de _u^.

'

BB et _CC^{}_' sont également des représentants de _u^.

Remarque :

La longueur d’un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur.

« vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation AB_{en 1920.}

A l’origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents.

Activités de groupe :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Act_vect.pdf TP info : Bonhommes et dromadaires :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/bonhom.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/droma.pdf

2. Egalité de vecteurs Définition :

Les vecteurs ^_AB et _CD^ sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même longueur.

On note ^_AB = _CD^. Exemple :

Ci-dessous, on peut poser : _u^ = ^_AB = _CD^.

AB

et _CD^ sont des représentants du vecteur _u^.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr C

C’

B

B’

A

A’

u 

A

C

D B

 AB

CD 

(4)

Propriété du parallélogramme :

Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts.

Dire que les vecteurs ^_AB et _CD^ sont égaux revient à dire que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

Démonstration :

- Si ^_AB = _CD^, la translation de vecteur ^_AB transforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction.

Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati.

- Réciproquement : Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs ^_AB et _CD^, déﬁnis à l’aide des segments [AB]

et [CD] d’un parallélogramme ABDC, sont égaux.

Méthode : Construire un point défini à partir de vecteurs Vidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0

A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que : DE

= _BC^

CF

= _DC^

BG

= ^_AB HA = _BC^

-p171 n°5, 6 Ex 1 et 2 (page15)

-p177 n°77 Ex 4 à 6 ^(page15)

Ex 3 (page15) -p166 n°5 Ex 1 et 2 (page15)

-p170 n°58 Ex 4 à 6 ^(page15)

Ex 3 (page15)

B A

D C

C D A B

H

A B G

D

C F

E

A

D

B

C

(5)

Propriété du milieu :

Dire que B est le milieu du segment [AC] revient à dire que ^_AB et _BC^ sont égaux.

3. Vecteur nul Définition :

Un vecteur ^_AB est nul lorsque les points A et B sont confondus.

On note : ^_AB=0 . Remarque :

Pour tout point M, on a : _MM^{} = 0.

4. Vecteurs opposés

Il ne faut pas confondre sens et direction !

Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB).

Cependant une direction possède deux sens, ici de « A vers B » ou de « B vers A ».

Définition :

Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même longueur et qu’ils sont de sens contraire.

AB et _BA^ sont des vecteurs opposés.

On note _BA^ = - ^_AB

p172 n°8 et 9 p171 n°7 p178 n°90

p178 n°87 p173 n°67, 68

p176 n°111*

p176 n°108

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr A

B

A

B

BA 

B C A

 AB

(6)

III. Somme de vecteurs

1. Définition Exemple :

Soit t1 la translation de vecteur _u^ et t2 est la translation de vecteur _v^.

Appliquer la translation t1 puis la translation t2 : t1 t2

M M1 M2

revient à appliquer la translation t de vecteur w

: t

M M2

Propriété :

La composée (ou l’enchaînement) de deux translations est une translation.

Définition : u

et _v^ sont deux vecteurs quelconques.

On appelle somme des vecteurs _u^ et _v^, notée _u^+_v^, le vecteur w

associé à la translation composée des translations de vecteurs _u^ et _v^.

2. Une relation fondamentale La relation de Chasles :

Pour tous points A, B et C du plan, on a : ^_AC = ^_AB + ^_BC.

Remarque :

Dans le triangle ABC, on a également les relations : ^_AB = ^_AC + _CB^

BC

= _BA^ + ^_AC.

 AB

 AC

A

C B

u  v  u 

w 

M

M M

(7)

Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n’est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs.

Homme naïf, on raconte qu’il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d’arc à sa mère, Vercingétorix à César,…) !

Méthode : Appliquer la relation de Chasles Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc

Simplifier les écritures :

a) ^{}_AM + _MN^{} b) _MP^+ ^{}_AM c) _OP^+ _KO^ + ^_NK d) _MN^{} + ^{}_NM e) _MO^{} + _PM^{} + _OP^ f) _KN^– _ON^ + _OK^

a) ^{}_AM + _MN^{} b) _MP^ + ^{}_AM c) _OP^ + ^_KO + ^_NK = ^_AN = ^{}_AM + _MP^ = _KO^ + _OP^ + ^_NK = ^_AP = _KP^ + ^_NK

= ^_NK + _KP^ = _NP^

d) _MN^{} + ^{}_NM e) _MO^{}+ _PM^{} + _OP^ f) _KN^ – _ON^ + _OK^

= _MM^{} = _MO^{} + _OP^ + _PM^{} = _KN^ + ^_NO + _OK^

= ₀^ = _MP^ + ^{}_PM = ^_KO + _OK^

= _MM^{}= ₀^ = _KK^ = ₀^

Ex 7 à 9 ^(page15

et 16)

p172 n°21

p172 n°20 p167 n°18, 19, 21

p173 n°77 p174 n°79, 80

p167 n°20

TP conseillé TP conseillé

TP Tice2 p163 : Démontrer avec les vecteurs

TP Tice3 p163 : Somme nulle

p162 TP5 : Démontrer avec les vecteurs

p163 TP6 : Somme nulle

3. Conséquence :

Propriété caractéristique du parallélogramme :

Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que ^_AC = ^_AB + ^_AD,

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr B

A

C

D

(8)

Démonstration :

D’après la relation de Chasles, l’égalité ^_AC = ^_AB + ^_AD peut s’écrire : AD DC  AB AD

   

soit  DC  AB ,

soit encore : ABCD est un parallélogramme.

4. Différence de deux vecteurs Définition :

u

et _v^ sont deux vecteurs quelconques.

On appelle différence du vecteur _u^ avec le vecteur _v^, le vecteur noté _u^ - _v^, tel que : _u^ - _v^ = _u^ + (-_v^).

Méthode : Construire un point défini à partir d’une somme de vecteurs Vidéo https://youtu.be/nzABUzFM6p8

Soit un triangle ABC.

Construire le point F tel que ^_AF = _BA^ + _BC^

On construit à partir de A (origine de^_AF) le vecteur ^_BA + ^_BC en mettant « bout à bout » les vecteurs _BA^ et ^_BC.

On a ainsi construit un vecteur ^_AF et donc le point F.

Activité de groupe : Course d’orientation

u  v 

u 

u v   

-

C

F

A B

BA 

 AF

 BC

C

A B

(9)

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Course_vect.pdf

Ex 10 à 12

(page16)

p166 n°9 p167 n°13

IV. Produit d’un vecteur par un réel

1. Définition Exemple :

Soit _u^ un vecteur du plan.

Appliquer 5 fois la translation de vecteur u

revient à appliquer la translation de vecteur _w^ = _u^ + _u^ + _u^ + _u^ + _u^ = 5_u^ Remarques :

- Les vecteurs 5_u^ et _u^ ont la même direction et le même sens.

- La norme du vecteur 5_u^ est égale à 5 fois la norme du vecteur _u^. Définition :

u

est un vecteur quelconque différent de ₀^ et k un nombre réel non nul.

On appelle produit du vecteur _u^ par le réel k, le vecteur noté k_u^ : - de même direction que _u^,

- de même sens que _u^, si k > 0 et de sens contraire, si k < 0, - de norme égale à k fois la norme de _u^ si k > 0,

-k fois norme de _u^ si k < 0.

Remarque :

Si _u^ = ₀^ ou k = 0 alors k_u^ = ₀^.

Exemples :

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

u 

^1,5

-3

u 

k k

k > 0 : k < 0 :

u 

5

(10)

Les vecteurs _u^, 1,5_u^ et -3_u^ ont la même direction.

u

et 1,5_u^ sont de même sens.

u

et -3_u^ sont de sens contraire.

La norme du vecteur 1,5_u^ est égale à 1,5 fois la norme de _u^. La norme du vecteur -3_u^ est égale à 3 fois la norme de _u^.

Ex 13 et 14

(page16)

p172 n°18, 19

p167 n°16

p173 n°75, 76 p167 n°17

Méthode : Représenter un vecteur défini comme produit et somme de vecteurs Vidéo https://youtu.be/1C6KEwbO-b8

1) Soit deux vecteurs _u^ et _v^. Représenter les vecteurs suivants : 2_u^, -_v^, 2_u^ – _v^.

2) Soit trois points A, B et C.

Représenter le vecteur _BC^ – 3^_AC.

1)

Pour représenter le vecteur 2_u^, on place bout à bout deux vecteurs _u^.

Pour représenter le vecteur –v, on représente un vecteur de même direction et même longueur que v mais de sens opposé.

u 

v 

u 

v 

- 2- 2

B C

A

(11)

Pour représenter le vecteur 2_u-_v ou 2_u+(-_v), on place bout à bout les vecteurs 2_u^ et –v.

Dans « le chemin » de vecteurs ainsi construit, le vecteur 2_u^-_v^ a pour origine l’origine du vecteur 2_u^ et pour extrémité l’extrémité du vecteur –v

. On obtiendrait le même résultat en commençant par placer le vecteur –v

et ensuite le vecteur 2_u^.

2)

Pour représenter le vecteur BC

- 3AC

ou BC

+ (-3AC

), on place bout à bout les vecteurs BC

et -3AC .

Exercices conseillés Exercices conseillés

Ex 15 à 17

(page16)

p172 n°10 à 12

p166 n°6, 7, 8 p173 n°69

p166 n°10

Méthode : Construire un point vérifiant une égalité vectorielle Vidéo https://youtu.be/JxYpPE6iPEA

1) Soit deux vecteurs _u^ et _v^ et un point O du plan.

Construire le point A tel que _OA^ = 3_u^ - _v^.

2) Soit trois points A, B, C du plan.

Construire le point M tel que ^{}_AM = -^_AB + 3^_AC.

1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr B

C

A

 BC

-3 -3

C A B

u 

v 

O

- A

u 

v 

3

=3-

(12)

Pour représenter le vecteur _OA^ = 3_u^ - _v^, on place bout à bout à partir du point O les vecteurs 3_u^ et -_v^.

Le point A se trouve à l’extrémité du vecteur -_v^ dans « le chemin » de vecteurs ainsi construit.

2)

Pour représenter le vecteur ^{}_AM = -^_AB + 3^_AC, on place bout à bout à partir de A les vecteurs -^_AB et 3^_AC.

Le point M se trouve à l’extrémité du vecteur 3^_AC dans « le chemin » de vecteurs ainsi construit.

- Ex 18 à 20

(page17)

p172 n°14, 15*

- Ex 21 et 22

(page17)

p172 n°13 p167 n°14

p173 n°70, 71, 72

p167 n°15

Méthode : Exprimer par lecture graphique un vecteur en fonction d’autres vecteurs

Vidéo https://youtu.be/ODZGKdIKewo

M

C A B

= -+ 3

3

-

(13)

Par lecture graphique, exprimer le vecteur _u^ en fonction des vecteurs _a^ et _b^.

On construit « un chemin » de vecteurs _a^ et _b^ mis bout à bout reliant l’origine et l’extrémité du vecteur _u^.

On compte ainsi le nombre de vecteurs _a^ et _b^ formant « le chemin ».

_u^ = 3_a^ + 3_b^.

Exercices conseillés Exercices conseillés

Ex 23, 24

(page17)

p172 n°16 et 17

p167 n°11 p173 n°73, 74

p167 n°12

2. Colinéarité Définition :

Deux vecteurs non nuls _u^ et _v^ sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est à dire qu’il existe un nombre réel k tel que _u^ = k_v^.

Remarque :

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

Exemple : v

= -3_u^ u

et _v^ sont colinéaires.

Méthode : Démontrer que des vecteurs sont colinéaires Vidéo https://youtu.be/FjUbd9Pbhmg

u 

= -3

u  b 

a 

u 

b 

a 

(14)

On donne _u^ un vecteur du plan. Soit un vecteur _v^ tel que -4_u^ + 3_v^ = ₀^. Démontrer que les vecteurs _u^ et _v^ sont colinéaires.

-4_u^ + 3_v^ = 0 -4_u^ = -3_v^

4 3 ^u

 = _v^

Il existe un nombre réel k = 4

3 tel que _v^= k_u^. Donc _u^ et _v^ sont donc colinéaires.

Propriétés :

1) A, B, C et D étant quatre points deux à deux distincts du plan.

Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles revient à dire que les vecteurs

AB

et _CD^ sont colinéaires.

2) Dire que les points distincts A, B et C sont alignés revient à dire que les vecteurs ^_AB et ^_AC sont colinéaires.

p173 n°28 à 34 p173 n°35 p167 n°22 à 24 p170 n°60, 61 p174 n°86, 88, 89

p167 n°25

TP conseillé TP conseillé

p168 TP1, 2 et 3 p178 n°117, 118, 119

3. Transformations et vecteurs

Propriétés : 1) Si une symétrie centrale transforme A en A’ et B en B’ alors .

2) Si une homothétie de rapport

l

transforme A en A’ et B en B’ alors .

Exercice 1

a) Construire le point M tel que AM 

BC 

.

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(15)

b) Construire le point N tel que BNAC^. c) Construire le point P tel que CP 

BC 

. Exercice 2

Soit un carré ABCD.

a) Construire le point R tel que AR 

CB 

. b) Construire le point S tel que DS 

BC 

. c) Construire le point T tel que BT 

 AC

. Exercice 3

Soit un triangle MNP rectangle en M.

a) Construire le point A tel que AM 

MP  _. b) Construire le point B tel que MB 

PN 

. a) Construire le point C tel que CP 

 NM

. Exercice 4

Soit deux parallélogrammes ABCD et CDEF.

a) Donner deux vecteurs égaux au vecteur AB _. b) Quel est la nature du quadrilatère ABFE ? Justifier.

Exercice 5

Soit un parallélogramme ABCD.

a) Construire le point E tel que BE 

 AB_.

b) Quel est la nature du quadrilatère BECD ? Justifier.

Exercice 6

Soit un rectangle ABCD.

a) Construire le point M tel que CM 

DB _.

b) Quel est la nature du quadrilatère BMCD ? Justifier.

Exercice 7

Dans chaque cas, appliquer la relation de Chasles pour exprimer le plus simplement possible les sommes de vecteurs :

a) AB   BC _b)

AB  CA  _c)

 AB CA  BD 

Exercice 8

a) AB   AC _b)

CB   AB _c)

 AB DB  AD 

Exercice 9

(16)

a) MP 

 NP _b) MN 

MP 

PN  _c)

 NP

 MP

MN 

Exercice 10

a) Construire le point D tel que AD 

BC 

BA 

. b) Construire le point E tel que AE 

 AB

 AC

. Exercice 11

a) Construire le point D tel que CD 

CA 

BC 

. b) Construire le point E tel que BE 

CB 

AC 

. Exercice 12

Soit un carré ABCD.

a) Construire le point E tel que BE 

DC 

DB 

. b) Construire le point F tel que CF 

 AD

BA _. Exercice 13

Dans chaque cas, exprimer le plus simplement possible les sommes de vecteurs : a) 2u

3u

4u _b) u

5u

2u _c) 7u

5u

u Exercice 14

Dans chaque cas, exprimer le plus simplement possible les sommes de vecteurs : a) 7a3a9a _b)_4b^_

(

_3b^__b^

)

^c)¹₂^c^^₂³^c^^^c^

Exercice 15

a) Reproduire sur un quadrillage les deux points A et B.

b) Représenter les vecteurs a_et

b tels que : a2AB _et

b BA 

Exercice 16

a) Reproduire sur un quadrillage les trois points A, B et C.

b tels que : aAB  BC  _et

b AB  BC

Exercice 17

a) Reproduire sur un quadrillage les trois points A, B et C.

b tels que : a

2 AB

AC  _et b

 AB

2AC 

Exercice 18

Soit A, B et C trois points du plan.

(17)

Reproduire la figure ci-dessous en respectant le quadrillage puis construire le point M tel que  AM  AB AC _.

Exercice 19

Reproduire la figure ci-dessous en respectant le quadrillage puis construire le point N tel que AN  2 AB AC  _.

Exercice 20

Reproduire la figure ci-dessous en respectant le quadrillage puis construire le point P tel que AP  3AB  AC _.

Exercice 21

a) 2 AB

2BC  _b) 2AD 

BD 

3AD  _c)

 AB

CA 

DB 

CD 

Exercice 22

Soit A, B et C quatre points du plan.

Démontrer les égalités suivantes.

a)  AB

BC 

CA 

0 _b)

AB 

CA 

CB 

0 _c)

 AC

BC 

 AB

2AC 

Exercice 23

Dans chaque cas, exprimer le vecteur u en fonction des vecteurs a_et b_.

a) b)

Exercice 24

Dans chaque cas, exprimer le vecteur u en fonction des vecteurs a_et b_.

a) b)