Solutions : les vecteurs du plan

(1)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

(2)

AB EG DCuuur uuur uuur= =

HI EA IF GB DE CGuur uuur uur uuur uuur uuur= = = = =

AA BB CC DD EE FF GG HH II 0uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur ur r= = = = = = = = = CB HF DAuuur uuur uuur= =

EF IB DI HGuur uur uur uuur= = =

Exercice 3

(3)

Exercice 5

1) AF BG CH EJ FK GLuuur uuur uuur uur uuur uuur= = = = =

2) K A = K F = F A = J E = L B = L G = G B = H C = A K = F K = A F = E J = B L = GL = B G = C Huuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur 3)C A = D B = G E = H F = K I = L Juuur uuur uuur uuur uur uur

Exercice 6 1)

2)

(4)

Exercice 8

Exercice 9

1) AE+EC ACuuur uuur uuur=

3) AE+ED ADuuur uuur uuur=

5) CD+AB 0uuur uuur r=

7) EC+DE ABuuur uuur uuur= 2) AC+CE AEuuur uuur uuur=

4) AE+CE 0uuur uuur r=

6) EB+CEuuur uuur uuur=DA

8) AB+ED AEuuur uuur uuur=

(5)

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

(6)

8) OE+OF-3OH=FO+OF-3OH=-3OH=3HO=BOuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

9) 3 O E + 3 O H + O D + O C = O A + O B + O D + O C = - O C - O D + O D + O C = 0uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

Exercice 15

(7)

Exercice 17 1) AC=-3BAuuur uuur

2) ¹_ED=¹_BA=-¹_AB=-^{1 1}_{BC = - BC}¹

2 2 2 2 2 4

 

 

 

uuur uuur uuur uuur uuur

3) D E - B A = D E + A B = A B + A B = 2 A B = - 2 B Auuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4) A D + E B + B A = B E + E B + B A = B A = CA¹

3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Exercice 18

1) AB=DC=EF=HGuuur uuur uur uuur 2) GC=HD=FB=EAuuur uuur uuur uuur 3) AF=DGuuur uuur

4) non, ils n’ont pas le même sens.

5) non, ils n’ont pas la même direction.

6) a) AB+BC=ACuuur uuur uuur

b) AB+CB=DC+CB=DBuuur uuur uuur uuur uuur

c) A B - E F = A B + F E = A B + B A = 0uuur uur uuur uur uuur uuur r d) AB+AE=AB+BF=AFuuur uuur uuur uuur uuur

e) H E - H G = H E + G H = G H + H E = G Euuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur f) E H + C D = B C + C D = B Duuur uuur uuur uuur uuur

g) GA+AB=GBuuur uuur uuur

h) E C - G C + D A = E C + C G + D A = E G + D A = E G + G F = E Fuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur

i) - H G + E B - E A = G H + E B + A E = G H + A E + E B = G H + A B = G H + H G =0uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r j) B F + B C + E A + H E = B F + F G + G C + C B = 0uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

(8)

8) AA'-DC'-CB=AA'+C'D+BC=BB'+B'A+AD=BDuuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur

Exercice 20 AB-DC=vuuur uuur uur3

CD+EF+AB=vuuur uur uuur uur4

AB-CD=vuuur uuur uur2

Exercice 21 1) u = -²v

3

r r

2) u =²¹v 8

r r

3) u =⁹v 8

r r

Exercice 22

(9)

Exercice 24

1) x = - A D - D A = D A + A D = D D = 0r uuur uuur uuur uuur uuur r

2) x = E C - A C - E D = E C + C A + D E = E A + D E = D E + E A = D Ar uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

3) x = O C - O A + D A = O C + A O + D A = O C + D A + A O = O C + D O = D Cr uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4) 3 x = 3 A C - D E + C E - 2 D C = 3 A C + E D + C E + 2 C D = 3 A C + C E + E D +2CDr uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )

=3AC+CD+2CD=3AC+3CD=3 AC+CD =3ADuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur x=ADr uuur

5) x = 4 A B + EA-¹ ¹AE+BE+3BA

2 2

r uuur uuur uuur uuur uuur

= 4 A B + B E + 3 B A + E Auuur uuur uuur uuur

=4AB-3AB+BE+EAuuur uuur uuur uuur

= A B + B E + E Auuur uuur uuur

= 0r

6) - 3 x =¹BA+DA+³AD-¹AD-¹FA-3FB+EB-2FB-EF

2 2 2 2

r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur

=¹B A + DA 2

uuur uuur

+ ADuuur 1

AF 3BF+EB-2FB-EF +2uuur+ uuur uuur uuur uur =¹BF BF+EB FE

2uuur+ uuur uuur uur+ =³BF FE+EB

2uuur+ uur uuur

(10)

1) Vrai. Des vecteurs égaux et non nuls ont même direction. Ils sont donc parallèles.

2) Faux. Des vecteurs parallèles ont même direction, mais ils n’ont pas nécessairement même sens et même norme.

3) Faux. Deux vecteurs opposés ont même direction, ils sont donc parallèles.

4) Vrai. Deux vecteurs parallèles ont même direction. Si, en plus, ils ont même norme et même direction, ils sont bien opposés.

5) Faux. Deux vecteurs égaux n’ont pas nécessairement la même origine.

6) Vrai. Des vecteurs égaux ont même direction, même sens et même norme. Par conséquent, s’ils ont même origine, ils auront même extrémité.

7) Faux. Des vecteurs opposés peuvent avoir la même origine. Par exemple, les vecteurs BAuuur

et BCuuur

sont opposés et ont la même origine.

8) Faux. Le temps est une grandeur scalaire.

9) Faux. La vitesse est une grandeur vectorielle. Elle a une direction, un sens et une norme.

10) Vrai. Hypothèse : AB=CDuuur uuur Thèse : AC=BDuuur uuur

Démonstration : AC=AB+BC=CD+BC=BC+CD=BDuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur