Vecteurs et constructions.

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I – Translations et vecteurs. 1°) Parallélogramme.

Théorème : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme ssi ses diagonales ont le même milieu.

Propriétés :

 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme ssi (AB)//(DC) et (AD)//(BC).  Dans un parallélogramme les côtés opposés ont même longueur.

2°) Sens et direction. Définitions :

 Lorsque deux droites sont parallèles on dit qu’elles ont même direction.

 Une direction étant indiquée par la donnée de la droite (AB), il y a deux sens de parcours de cette direction : soit de A vers B, soit de B vers A.

12 - Vecteurs

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3°) Translation.

Définition : Le glissement qui permet d’obtenir la figureF à partir de la figure₂ F peut être décrit de façon ₁ précise par trois caractères :

 La direction du glissement est donnée par la droite (AB).  Le sens du glissement est celui de A vers B.

 La distance du glissement est égale à la longueur du segment [AB].

On dit que la figureF est l’image de la figure₂ F par la translation de vecteur AB . 1

Remarque : Les vecteurs NS etPT sont aussi des vecteurs de cette translation, on dit qu’ils sont égaux. On note alors : ABNS PT

Propriété : Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan, l’unique point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la

translation de vecteurAB .

Définition : Un couple de points (A;B) du plan détermine un vecteur. A est l’origine du vecteur et B son extrémité. On le noteAB .

Définition : Deux vecteurs sont égaux s’ils sont associés à la même translation.

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3°) Egalités de vecteurs.

Théorème : Soient A, B, C et D quatre points du plan non alignés. Les définitions suivantes sont équivalentes :  ABCDssi D est l’image du point C par la translation de vecteurAB .

 ABCDssi les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.  ABCDssi ABDC est un parallélogramme.

5°) Milieu d’un segment.

Propriété : I est le milieu de [AB] ssiAI IB.

6°) Représentation graphique.

Devant des égalités du typeABDCFE..., on dit que les vecteursAB,DC,FE,... sont des représentants du vecteur u : u AB DCFE... Le vecteurAABB...est appelé vecteur nul, noté 0 .

Théorème : Soit O un point du plan. Pour tout vecteur u , il existe un unique point M tel queu OM.

Définition : Si u n’est pas le vecteur nul, les points O et M sont distincts. Le vecteur u est caractérisé par :  Sa direction, celle de la droite (OM).

 Son sens : c’est le sens de O vers M.

 Sa norme notée OM : c’est la distance OM.

Remarque : Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont la même direction, le même sens, la même norme.

II – Somme de vecteurs. 1°) Relation de Chasles.

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2°) Règle du parallélogramme

Théorème La sommeOAOBest le vecteur OM tel que OAMB est un parallélogramme.

3°) Construction de la somme de deux vecteurs

4°) Propriétés algébriques

Théorème : Quels que soient les vecteurs u , v et w : u

v v

u   u00u u

 

uv wu

 

vw 4°) Vecteurs opposés

Définition : L’opposé d’un vecteur u est le vecteur noté

 

u tel queu(u)0.

 

u a la même direction, la même norme mais un sens opposé à

 

u .

Théorème : L’opposé du vecteurAB est le vecteur BA :ABBA.

5°) Soustractions de deux vecteurs

Propriété : Pour soustraire un vecteur on additionne son opposé.

III – Produit d’un vecteur par un réel.

Définition : k désigne un réel non nul et u un vecteur non nul. Le vecteur uk est le vecteur caractérisé par :  Sa direction qui est la même que u .

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 Son sens : le vecteur uk a le même sens que u si k est positif et le sens contraire sinon.  Sa norme : ku  k  u .

Propriétés : Pour tous vecteurs u et v et tous réels k et k’ : v k u k v u k(  )  (k k')ukuk'u k(k'u)

 u

kk'