II- Vecteurs de l'espace

Espace : Droites, plans et vecteurs

I- Position relative de droites et de plans dans l'espace

II- Vecteurs de l'espace

a) Translation et vecteurs

Remarques :

• Un vecteur est donc parfaitement défini par la donnée de sa direction, de son sens et de sa longueur

• Le vecteur ⃗

MM

est appelé le vecteur nul , il est noté ⃗

0

Egalité de deux vecteurs

Lorsque la translation qui transforme M en M' transforme également N en N', on dit que les vecteurs ⃗MM' et ⃗NN' sont égaux. ⃗MM' et ⃗NN' sont alors les

représentants d'un même vecteur ⃗u et on note⃗MM'=⃗NN'_=⃗u Conséquence :

⃗MM'=⃗NN' si et seulement si le quadrilatère MM'N'N est un parallélogramme

b) Q uelques rappels

1. Règle du parallélogramme : Soit ABDC un parallélogramme.

On a l'égalité : ⃗AB + ⃗AC = AD

2. Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C , ⃗AC=⃗A B+⃗B C

3. Colinéarité : Deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que ⃗u = k ⃗v

4. De la colinéarité , on déduit :

• Les points A , B , C sont alignés ⇔ ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires Des figures pour mieux comprendre :

III- Caractérisation vectorielle d'une droite et d'un plan a)

Le cas d'une droite

Soit A et B deux points distincts de l'espace

La droite (AB) est l'ensemble des points M tels que ⃗AM = k ⃗AB où k ∈ ℝ Le vecteur ⃗AB est un vecteur

directeur de la droite (AB)

b) Le cas d'un plan

Un plan de l'espace peut être défini par la donnée de deux droites sécantes c'est à dire à partir de deux vecteurs non colinéaires ⃗u et ⃗v et d'un point A .

On note ( A ; ⃗u ,_⃗v ) ce plan et on dit que le couple ( ⃗u ,_⃗v )

est un couple de vecteurs directeurs ou base du plan . Ce couple définit la direction du plan Propriété P est le plan ( A ; ⃗u ,_⃗v )

Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels x et y tels que ⃗AM = x ⃗u + y ⃗v Le vecteur ⃗AM est une combinaison linéaire des vecteurs ⃗u et ⃗v

Conséquence

1.

Soit ⃗u , ⃗v , w⃗ trois vecteurs du plan avec ⃗u et ⃗v non colinéaires Les vecteurs ⃗u , ⃗v et w sont coplanaires si et seulement si il existe ⃗ deux réels x et y tels que w⃗ = x ⃗u + y ⃗v

2.

Quatre points A , B , C , D sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels que ⃗AB = x ⃗AC + y ⃗AD

c) Deux applications pour comprendre Exemple 1 : Soit M , N et P trois points non alignés . On considère les points I et J tels que : ⃗MI=1

2⃗MN et

⃗NJ=3⃗MP−2⃗MN.

Démontrer que le point P est sur la droite (IJ)

Pour répondre à la question, il faut par exemple, démontrer que les vecteurs ⃗PI et ⃗PJ sont colinéaires

⃗PI = ⃗...M + ⃗... I =

⃗PJ = ⃗P... + ⃗MN + ⃗...J =

Si on calcule alors –2 ⃗PI , on constate : –2 ⃗PI =

Donc

Exemple 2 : On considère un tétraèdre ABCD et M le point tel que ⃗AM=3⃗BM+⃗CM .

Montrer que le point M est dans le plan (ABC)

Pour répondre à la question , il suffit d'exprimer le vecteur ⃗AM comme combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan (ABC) par exemple ⃗AB et

⃗AC :

⃗AM = 3(⃗BA+⃗AM)+⃗CA+⃗AM ⃗AM = 3⃗BA+3⃗AM+⃗CA+⃗AM ⃗AM = 4⃗AM−3⃗AB−⃗AC ⃗AM−4⃗AM=−3⃗AB−⃗AC −3⃗AM=−3⃗AB−⃗AC ⃗AM=⃗AB+1

3⃗AC

Le point M est donc un point du plan (ABC) IV- Parallélisme dans l'espace

P

ropriété Cas d'une droite et d'un plan

Une droite est parallèle à un plan P si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan P Remarque : Une propriété utile et très facile à mettre en place . On peut aussi la formuler avec des vecteurs :

Une droite est parallèle à un plan lorsqu'elle admet un vecteur directeur colinéaire à un vecteur directeur du plan

Propriété : Le cas de deux plans

Deux plans P et P' sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre

Propriété :

Un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles

Une propriété très utile quand il est question de section

Théorème : le théorème du toit (admis)

Soit P₁ et P₂ deux plans sécants selon une droite (D) . Si une droite (d) de P₁ est parallèle à une droite (d') de

P₂ alors les droites (d) et (d') sont parallèles à (D)

VI-

Repérage

a) Le principe

Définition

Un repère de l'espace ( O ; i , j , k ) est constitué d'une origine O et de trois vecteurs non coplanaires ⃗i ^{, ⃗}j ^et k . ^⃗ Le triplet ( ⃗i , ⃗j , k⃗ ) est une base de l'espace

• Pour tout point M de l'espace, le vecteur OM peut alors s'écrire de manière unique :

⃗OM = x_M i + y_M j + z_M k Le triplet ( x_M ; y_M ; z_M ) est appelé coordonnées de M dans le

repère ( O ; i , j , k )

x_M est l'abscisse de M , y_M est son ordonnée, z_M est sa côte

Quelques formules à connaître

• ^{SiAxA; yA;zAetBxB; yB;zB}alors le vecteurABa pour coordonnées (x_B−x_A; yB−y_A; z_B−z_A )

• Si ⃗u

(

^xyz

)

^{et ⃗v}

(

^{x 'y 'z '}

)

^{alors ⃗u+⃗v}

(

^{xyz+++x 'z 'y '}

)

et pour tout réel k , k⃗u

(

^kxkykz

)

• ^I



^{xA2xB;yA2yB;zA2zB}



est le milieu du segment [AB]

b) Une application

Exercice 1 : A(2 ;0 ;1) , B(1 ;−2 ;1), C(5 ; 5 ; 0) D(−3 ;−5 ; 6) 1) Faire une figure

2) Montrer que A , B et C ne sont pas alignés 3) Montrer que A , B , C et D sont coplanaires

1) On calcule les coordonnées des vecteurs ⃗AB et ⃗AC : ⃗AB (−1 ;−2 ; 0) et ⃗AC (3 ;5 ;−1)

2) Recherchons s'ils existent deux réels a et b tels que ⃗AD = a ⃗AB + b ⃗AC .

⃗AD (−5 ;−5 ; 5). En utilisant les coordonnées des vecteurs ⃗AB et ⃗AC on obtient le système suivant :

{

^{−2−aa+3−+5bb=5b=−5=−5 ⇔}

{

^{−2−aab−15=−5−25=−5=−5 ⇔}

^{

^{ab=−10=−5}

On a donc ⃗AD=−10⃗AB−5⃗AC d'où A , B , C et D sont coplanaires