Fiche_Trigonometrie

Devoir Maison Bilan #1 - PAGE A CONSERVER TRIGONOMETRIE

I. Cercle trigonométrique, définitions.

Repère orthonormal

( ; ; ) O i j

C

Cercle orienté de centre O et de rayon 1.

Soient

x

un réel et M le point de

C

défini par :

( ^{i OM ,} ) ^{≡ x [2 ] π}

•

" " " "

cos sin

abscisse ordonnée

OM = x i + x j

• La tangente

tan x

se lit sur l’axe vertical tangent au cercle sur sa droite.

tan x

peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

II. Valeurs remarquables.

x 0

6 π

4 π

3 π

2 π

cos x

1

3

2

2 2

.

1

2

⁰

sin x

⁰

¹

2

2 2

3 2

1

tan x

0

3

3

1

3

3

+∞

III. Premières formules.

•

− ≤ 1 cos x ≤ 1

− ≤ 1 sin x ≤ 1

( ^{sin x} )

²

⁺ ( ^{cos x} )

²

^{= 1}

• Deux réels A et B vérifient l’équation

A

²

+ B

²

= 1

ssi il existe au moins un réel

x

tel que

A = cos x

et

B = sin x

•

sin

tan cos x x

= x

, et

( ¹ )

₂

1 ( tan )

²

cos x

x

= +

, avec

, k

x π 2 k π

≠ + ∈ ℤ

.

IV. Angles associés.

Toutes ces formules peuvent se « retrouver » facilement en dessinant un cercle trigonométrique.

•

^cos ( ^{x + 2 π} ) ^{= cos x}

, et

^sin ( ^{x + 2 π} ) ^{= sin x}

•

cos ( − x ) = cos x

, et

sin ( − x ) = − sin x

•

^cos ( ^{π − x} ) ^{= − cos x}

, et

^sin ( ^{π − x} ) ^{= sin x}

•

^cos ( ^{π + x} ) ^{= − cos x}

, et

^sin ( ^{π + x} ) ^{= − sin x}

•

cos sin

2 x x

 π 

− =

 

 

, et

sin cos

2 x x

 π 

− =

 

 

•

cos sin

2 x x

 π 

+ = −

 

 

, et

sin cos

2 x x

 π 

+ =

 

 

V. Equations.

Ces méthodes de résolution peuvent se « retrouver » facilement en dessinant un cercle trigonométrique.

•

[ ]

[ ]

2 2 ,

cos cos

2 2 ,

x

x k k

x x k k x

α π

α π

α α π α π

 ≡

= + ∈

 

= ⇔  ⇔ 

= − + ∈  ≡ −

 

ℤ ℤ

•

[ ]

[ ]

2 2 ,

sin sin

2 2 ,

x

x k k

x x k k x

α π

α π

α π α π π α π

 ≡

= + ∈

 

= ⇔  ⇔ 

≡ −

= − + ∈ 

 

ℤ ℤ

VI. Formules d’addition.

Ces formules sont difficiles à « retrouver », il faut les retenir (au moins celles de

^cos ( ^{a b +} )

^{et de}

^sin ( ^{a b +} )

car on peut en déduire les autres).

•

^cos ( ^{a b +} ) ^{= cos .cos a b − sin .sin a b}

•

cos ( a b − ) = cos .cos a b + sin .sin a b

•

sin ( a b + ) = sin .cos a b + cos .sin a b

•

^sin ( ^{a b −} ) ^{= sin .cos a b − cos .sin a b}

VII. Formules de duplication.

Ces formules se « retrouvent » à partir des formules d’addition, en prenant « deux fois la même variable ».

•

cos 2 a = cos

²

a − sin

²

a = 2 cos

²

a − = − 1 1 2 sin

²

a

•

sin 2 a = 2sin .cos a a

IIX. Formules de linéarisation.

Ces formules s’obtiennent en additionnant membre à membre deux formules d’addition ; elles servent à intégrer certaines fonctions trigonométriques.

•

^{cos .cos 1} ( ^{cos( ) cos( )} )

a b = 2 a + b + a b −

•

^{sin .sin 1} ( ^{cos( ) cos( )} )

a b = 2 a b − − a + b

•

^{sin .cos 1} ( ^{sin( ) sin( )} )

a b = 2 a + b + a b −

•

^{sin .cos 1} ( ^{sin( ) sin( )} )

b a = 2 a + b − a b −