Symétrie centrale
I. La symétrie centrale
a) Introduction-rappels
La symétrie axiale est définie par rapport à une droite.(l'axe de symétrie) La symétrie centrale est définie par rapport à un point (le centre de symétrie).
La disposition de la figure symétrique par rapport à la figure initiale n’est pas la même: la figure est « tournée » ; il semble que la figure-image aie fait un demi-tour par rapport à la figure initiale.
Dans une symétrie axiale, on effectue un pliage le long de l'axe : la droite et la gauche sont inversées, alors que haut et bas sont conservés.
Dans une symétrie centrale, on tourne autour du centre : la droite et la gauche sont conservées, alors que haut et bas sont inversés.
Symétrie axiale Symétrie centrale
b) Généralités
Définitions : Deux points sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment formé par ces deux points.
Dans ce cas, on parle de symétrie centrale, de centre O.
O est le centre de symétrie.
Construction du symétrique d’un point:
O est le centre de symétrie, et on veut placer le symétrique B d'un point A donné.
A la règle :
Tracer la demi-droite [AO) et mesurer AO.
Placer B sur [AO) tel que OB = AO.
Au compas :
Tracer le cercle de centre O passant par A.
Tracer la droite (AO); elle recoupe le cercle en B.
(Cette méthode évite d'avoir à mesurer)
O
Construction du symétrique d’une figure :
Pour construire une figure symétrique à une autre, on construit les symétriques de chaque point, puis on les relie dans le même ordre d’apparition de la figure 1.
II. Propriétés de la symétrie centrale.
Propriété : Deux droites symétriques sont parallèles ou confondues.
Remarque : Que peut-on dire de [AB] et de [A’B’] ? Ce sont deux segments de mêmes longueurs.
Propriété :Le symétrique d'un angle est un angle dont le sommet est le symétrique du sommet de l'angle initial, et dont les côtés sont parallèles aux côtés de l'angle initial..
Propriété : La symétrie conserve les angles.
C'est à dire que des angles symétriques sont égaux.
Conséquence :
Propriété : La symétrie conserve les angles droits.
C'est à dire que lorsque des droites sont perpendiculaires, leurs symétriques sont également perpendiculaires.
(D) ⊥ (d);
(D') symétrique de (D) par rapport à I (d') symétrique de (d) par rapport à I.
Donc (D') ⊥ (d').
(D
(D'
(d') (d)
I O
B' A
O
B
A'
III. Des symétries préconstruites
Je sais construire l’image d’un segment par une symétrie centrale A' est le symétrique de A et B' est le symétrique de B,
donc [A'B'] est le symétrique de [AB].
On peut donc donner une nouvelle définition du parallélogramme :
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a un centre de symétrie.
On arrive donc à avoir la définition suivante :
Définition : Lorsqu'une figure se superpose avec sa symétrique par rapport à un point O, on dit que O est le centre de symétrie de la figure.
Quelques figures simples ont un centre de symétrie ou un axe de symétrie bien connu :
• Le milieu d'un segment est le centre de symétrie de ce segment; la médiatrice du segment est l’axe de symétrie de ce segment.
• Le centre d'un cercle ou d'un disque est centre de symétrie, toutes les droites passant par le centre du cercle sont des axes de symétries du cercle.
• Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est centre de symétrie, mais le parallélogramme quelconque n’a pas d’axe de symétrie.
• Et les autres ??
• Losange
• Rectangle
• Carré
• Triangle
• Triangle rectangle
• Triangle isocèle
• Triangle équilatéral
En revanche, une figure simple comme le triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie.
Mais bien d'autres figures plus complexes ont un centre de symétrie. Par exemple :
