Symétrie Centrale

(1)

Symétrie Centrale

I) Rappels symétrie axiale : a) La médiatrice :

Définition :

………..

Exemple :

La droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et elle le coupe en son milieu.

On peut donc conclure, d’après la définition, que la droite (d) est la médiatrice du segment [AB].

Propriétés de la médiatrice d’un segment :

• ……….

……….

• ……….

……….

(2)

b) Symétrie axiale : Définition :

………..

Exemple n°1 :

Le point M n’appartient pas à la droite (d).

Exemple n°2:

Le point M appartient à la droite (d).

(3)

Propriété n°1 :

………..

Propriété n°2 :

………..

Propriété n°3 :

………..

Propriété n°4 :

………..

Si vous souhaitez lire le cours complet sur la symétrie axiale, téléchargez le cours de sixième suivant : « séquence 8 géométrie ».

(4)

II) Symétrie centrale : a) Définition :

………..

Exemple :

O est le seul point invariant

Symétrique de M par rapport à O Symétrique de M’ par rapport à O

Méthode de construction du symétrique M’ du point M par rapport au point O : 1) On trace la demi-droite [MO).

2) On place la pointe sèche du compas sur le point O et la mine du compas sur le point M.

3) On fait un demi-tour avec le compas et on trace un arc de cercle sur la demi-droite [MO).

4) On place le point M’ à l’intersection de la demi-droite [MO) et de l’arc de cercle.

b) Symétrique d’un segment :

Construisons le symétrique d’un segment [AB] de milieu I par rapport à un point O donné. Pour cela, nous construisons les symétriques A’, B’ et I’

des points A, B et I par rapport au point O. On obtient la figure suivante :

(5)

On constate que :

le segment symétrique [A’B’] est de même longueur que le segment [AB].

le symétrique du milieu I de [AB] par rapport au point O est le milieu I’

du segment [A’B’].

Propriété n°1 :

1) ………

……….……..

………

2) ………

………...

………..

c) Symétrique d’une droite :

Construisons le symétrique d’une droite (d) par rapport à un point O donné. Pour cela, nous construisons les symétriques A’, B’ de deux points A, B de la droite (d) rapport au point O. On obtient la figure suivante :

(6)

On constate que la droite (A’B’), symétrique de la droite (AB) par rapport au point O, est parallèle à la droite (AB).

Propriété n°2 :

………

……….……..

………

d) Symétrique d’un cercle :

Construisons le symétrique d’un cercle (C) de centre I et de rayon R par rapport à un point O donné. On obtient la figure suivante :

(7)

On construit le symétrique I’ du point I par la symétrie centrale de centre O et on trace le cercle (C’) de centre I’ et de rayon R ( car la symétrie centrale

conserve les distances ).

Propriété n°3 :

…..………

………

e) Autre propriété : Propriété n°4 :

………

……….………

……….

(8)

Exemple :

Un carré ABCD de côté 5 cm a pour symétrique le carré A’B’C’D’ par la symétrie centrale de centre O. Calculer le périmètre et l’aire du carré A’B’C’D’.

On sait que la symétrie centrale conserve les aires et les périmètres.

Le carré A’B’C’D’ a donc la même aire et le même périmètre que le carré ABCD.

Ainsi :

Aire _{A’B’C’D’} = Aire _ABCD = 5 × 5 = 25 cm².

Périmètre _{A’B’C’D’} = Périmètre _ABCD = 4 × 5 = 20 cm.

f) Centre de symétrie d’une figure : Définition :

………

……….

………..

Exemple :

Le carré ABCD possède 4 axes de symétrie sécants en O qui est son centre de symétrie.

Lorsqu’une figure possède des axes de symétrie, son centre de symétrie se trouve à l’intersection de ses axes de symétrie.