6 cours : symétrie axiale
I. Points symétriques
Définition : Deux points M et M' sont symétriques par rapport à une droite (D) si :
[MM'] (D)
(D) coupe [MM'] en son milieu.
Construire un symétrique avec l'équerre.
Une droite (D) est donnée, et un point A est placé. Il s'agit de construire le symétrique du point A par rapport à (D); appelons-le A'.
a) Avec la règle graduée (ou le compas) et l'équerre:
Tracer la perpendiculaire à (D) passant par A. Elle coupe (D) en H.
Sur (AH), placer le point A' tel que
HA' = AH. (cette longueur peut être reportée avec le compas ou la règle graduée)
b) Construction avec le compas:
6 cours : symétrie axiale
Tracer un arc de cercle de centre A qui coupe (D) en M et en N.
Tracer deux arcs de même rayon, l'un de centre M, l'autre de centre N. Ils se coupent en A'
II.
Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si, en pliant suivant l’axe, les deux figures se superposent.
Exemple : Sur le dessin ci-dessous, les triangles ABC et A’B’C’ sont symétriques par rapport à la droite (d).
Lorsque deux figures sont symétriques : Dans la figure ci dessus :
les mesures de longueur sont égales AB = A’B’, par exemple
les mesures d’ angle sont égales ·ACB= ·A C B' ' ', par exemple
6 cours : symétrie axiale
les mesures d’ aire sont égales les triangles ABC et A’B’B’ ont la même aire.
III.
Axe de symétrie d’une figure :
Une droite d est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite.
IV.
Médiatrice d’un segment : Définition
: La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Propriété
: La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.
D’où les propriétés suivantes :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Construction de la médiatrice d’un segment
:
On trace deux arcs de cercle, de même rayon, et de centres les extrémités du segment. Ils se coupent en deux points appartenant à la médiatrice de ce segment.
V.
Bissectrice d’un angle : Définition
: La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux.
6 cours : symétrie axiale
Propriété
: La bissectrice est l’axe de symétrie de cet angle.
Construction de la bissectrice d’un angle
:
VI.
Axes de symétrie et figures usuelles : A - Triangle isocèle :
Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie.
Cet axe passe par le sommet principal. Il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé.
Conséquence
: Les deux angles à la base sont égaux.
B - Triangle équilatéral :
Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Ce sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles.
Conséquence
: Les trois angles sont égaux.
C - Losange :
Un losange a 2 axes de symétrie : ses diagonales.
Conséquences
: Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
D - Rectangle :
Un rectangle a .... axes de symétrie : les médiatrices des côtés opposés.
6 cours : symétrie axiale
Conséquences
: Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont égales.
E - Carré :
Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a .... axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés.
Conséquences
: Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et égales.
