Sur la structure des groupes infinis de transformation

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

É

C

Sur la structure des groupes infinis de transformation

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 21 (1904), p. 153-206

<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1904_3_21__153_0>

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1904, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www.

elsevier.com/locate/ansens) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

SUR ÎA STRUCTUIŒ

DES

GROUPES INFINIS DE TRANSFORMATIONS,

PAU M. E. CARÏAN.

l.e but de co Mémoire est de d o n n e r u n e base n o u v e l l e a la théorie de la s t r u c t u r e des groupes de t r a n s f o r m a t i o n s c o n t i n u s d é d u i s par des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Tout groupe de cette nature p e u t être regardé comme f o r m é des transformations les p l u s générales qui laissent invariantes u u certain n o m b r e d'expres- sions de PlafT. J'ai exposé très brièvement, dans u n e Note 'àu^Comptes rendus de F'Académie des Sciences (¹), comment cette propriété, j o i n t e a la n o t i o n des covariants b i l i n é a i r e s des expressions de PfafF, con- d u i s a i t , pour les groupes finis, aux constantes c//,-,y i n t r o d u i t e s par Sopbus Lie et quelles modifications subit la théorie lorsqu'on passe aux groupes infinis. Je renvoie le lecteur à celte Note.

Ce Mémoire est divisé en quatre Chapitres. Le premier est consacré a la théorie des systèmes d'équations de P t a f T e n i n v o l u t i o n ; il sert en quelque sorte de complément à un Mémoire paru précédemment dans ces mêmes Annales sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales (îgor). Le Chapitre II définit t o u t groupe con- t i n u au moyen d ' u n certain nombre d'expressions de P l a f f e t i n t r o d u i t

(r) Sur La .vl/'ucfure des groupes infinis, novcnibrc KJO'^.

Afin, Ec\ l^onn., ( ^ ) , XXI. — AVRIL 1904. X)

î54 ^ C-AHÎAN,

les constantes caractéristiques de la structure d u g r o u p e ; 1rs c o n d i - t i o n s nécessaires cl, suiïisantes a u x q u e l l e s d o i v e n t s a t i s f a i r e ces con- stantes s o n t é t a b l i e s et démontrées. Dans le Chapitre 111 i l est q u e s t i o n des d i f l e r e n t s prolongement possibles de la s t r u c t u r e des groupes i n f i n i s ; pour celle élude, on m o n t r e q u e li¹ ^roui)e p e u t être d é f i n i comme l'enseinble des translormations (}ui é(al>lissenl. e n i r e u n cer- tain nombre d'expressions de Plaff u n e s u b s t i t u t i o n l i n é a i r e appar- t e n a n t a un groupe l i n é a i r e d o n n é . E n f i n le C h a p i t r e I V t r a i t e des groupes i n f i n i s q u i d é p e n d e n t de f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s d ' u n seul argu- m e n t et m o n t r e que ceux de ces groupes q u i sont t r a n s i t i f s simples sont isorrmrpbes au groupe général à u n e varhible.

ciupimE i.

LES sySTÈMES DIFFAîiENTIEI^ EN INVOLÏ"nW.

1. Etant donnée u n e expression de l^alTà //: variables ( i ) f,)<( "^ a, dy^ -h ^î (ir^ -^ ... -}- fïn ^^/t »

on sait qu'on p e u t lui a d j o i n d r e une¹ expression co'variante, b i l i n é a i r e par rapport à d e u x systèmes de , d i i Ï e r e n ( i e l l e s caractérisés par les symboles rf et o : !

( -î ) r^/o ^ dw, — !îh)a •:::::: da^ 3^*1 — wy, dx^ -^ , . , -{- dun A/^ -1--1- w^ d,r^

v^ /ûaf, da/ \, , .„ . ^ ,

^^^r;'1"-^^^'^^^^

( l , / ! }

l.es coelÏic.Kïnts du covariant b i l i n é a i r e d ' u n e expression de Ptatî*

ne sont pas des (onctions arbitraires des variables* Ils Hatbionf. k de?4 relations fournies par les considérations suivantes î

Si l'on considère u n e expression diflererttielle bilinéaire alternée

SUR LA STRUCTURE DES G R O U P E S IM-'IMS DE TluVNSFORMATIONS. l55

q u e l c o n q u e

( 3 ) ^o ----= Y ctff, ( ^r/ ô.r/, — dx/, oxi ) ( a//, == — r//. /, a/< == o ), ( /, />- )

on peut lui adjoindre u n e expression covariante, t r i l i n é a i r e par rap- port à trois systèmes de d i f f é r e n t i e l l e s caractérisés par les symboles cl, ô et D,

d^, dxj dxi,

^/îo '==• d^i) 4- O^D,/ -+- D^s ^ 2 a/y /, ô.r/ oxj ô.r/, I),r/ D.r/ î)^

ou 1 on a

_ J^/y ^^/^. ^^^/

^y/-' àxf, ô^/ àx,

Si (î^ est le covariarït bilinëaire d'une expression de P/a/f^^ on vérifie sans difficulté que û^ eM identic/uement nul, et, redproqiiemeni, si le fiowriant trilinëaire de Û^ç est identiquement nul, on peut démontrer (fa il existe une expression de Pfa/f (définie à la différentielle exacte d'une fonction arbitraire près) dont iï^ est le comriant hi linéaire.

L ' i d e n t i t é exprimée par le théorème précédent est l'analogue et p o u r a i n s i dire la d u a l i s t i q u e de l ' i d e n l i t é de Jacobi, dans la t h é o r i e des systèmes complets. Nous on f e r o n s u n f r é q u e n t 'usa^e dans la suite en la d é s i g n a n t sous le nom de Vident/te fondamentale.

2. Nous emploierons des n o t a t i o n s symboliques destinées à simpli- fier les calculs. Si co et r^ sont deux expressions de Pfafr quelconques, nous poserons s y m b o l i q u e m e n t

f,)UJ -= Wf/m^ -— W,TJ5^i ;

de même, si QJ, CT-, y sont trois expressions de Pfaff q u e l c o n q u e s , n o u s poserons

^d ^d '/.d

W WV5^ : (x)S CTQ y^

0)l» CTJ[) -/i»

'g.W , E. CABTAN.

Avec ces notation A, on a

u-çj ==. — m G.) , M} -:•-"' o,

<,»CT^ := îTir^r,) =: ^wm rr -- m)/, ==. ••1-"" '/CT? ^ -i-- w/r^.

. Nous désignerons simplement par û/ le covarian(< l ) i l i n e a i r e d ' u n ï » expression de P l a f f œ , de sorte qu'on a

/^ ^ \

r.)/::^ ^, —— — •-. d^fd.v^

^\()x, ûx/J

Si A désigne UI'H* (onction quelconque des ^ le c o v a r i a n i h i l i n é a i r e de A.OJ est,

rfA,«) -4-1 A^'

et le covariant trilinéaire de l'expression (ïilinéaire AroîT?1 (»hf

( 7 ) <'/A ft) TÎT «llî- A ^^ nr — .A, b) lr^f,

Kntin, si l'on considère n expressions de Piall' i n d é ( H * n d a n ( e s en rix^ clx^ ...» div^ soient¹

^'h i ^hî"» ' * * i ^hi »

toute expression de Piaft peut se metti^e sous la f o r m e

a!tù l "^ ^•ï ^î ""i-1". ' . -h (tfi f^ti i

toute exj)ression l ) i i i n é a i r e sous la forme

J^^Â'^'^/t'?

( / . À )

e t e n t i n toute expression t r i l i n é a i r e sous la (orme J^/VÀ^V^

/y/.

;L Etant d o n n é u n système d'équations de Pf'atf, la théorie de Foxi^

teuce et du degré d'indétermin'ation des nuilfciplicités intégral^^1 ^én^

raies de¹ ce système peut se résumer ainsi qu'il mii(: :

ConTenoos d'appeler élément linéaire l'ensemble à'un point. (^^

SUR LÀ STKUCTUHE DES GROUPES I N F I N I S DE TÏUNSFOIUÎÀTÏONS. î 5 7

x.^ ..., x^ et d'une droite (de paramètres directeurs dx^ dx^ ..., <&//) passant par ce point, et de même élément à p dimensions, l'ensemble d'un point et d'une m u l t i p l i c i t é plane à p d i m e n s i o n s passant par ce point. Un élément linéaire sera d i t intégral lorsque ses coordonnées satisferont aux équations du système de Pfafî; d o u x é l é m e n t s l i n é a i r e s intégraux, issus d'un même p o i n t , seront dits en involution lorsque leurs coordonnées

<'/,j't, . . ., dxn cl eu?!, . . ., a////

a n n u l e r o n t tous les covariants hilinéaires des premiers membres (les équations du système; enfin un élément d'ordre p sera dit inté^rcd lorsque tous ses éléments linéaires seront intégraux et en i n v o l u t i o n deux à deux.

Cela étant, soit s le nombre des é q u a t i o n s l i n é a i r e m e n t indépen- dantes qui expriment qu'un é l é m e n t linéaire, issu d'un p o i n t arbi- traire, est intégral (c'est le nombre des é q u a t i o n s i n d é p e n d a n t e s du système). On a é v i d e m m e n t

• ^ S ^ ;

si fi est égal à n, il n y a pas d'élément l i n é a i r e intégral et le système n'admet a u c u n e m u l t i p l i c i t é intégrale générale; si s est i n f é r i e u r à /<, i l passe par chaque p o i n t au moins un é l é m e n t l i n é a i r e intégral.

Soit E an é l é m e n t linéaire intégral, a r b i t r a i r e et soit .v+.v, le n o m h r e d es é q u a t i o n s 1 i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t e s q u i e x p r i m e n t q u ' u n é l é m e n t l i n é a i r e est intégral et en i n v o l u t i o n avec K; on a évi- d e m m e n t

s + A'i i fi — ï ;

si .ç-4-^ est égal \\ n — î , il ne passe par E a u c u n élément intégral d'ordre 2 et le système n W m e t q u e des m u l t i p l i c i t é s intégrales gêné"

raies à u n e dimension au plus; si. .y 4- ^ est i n f é r i e u r a n — i, il passe par E a u moins un élément intégral d'ordre 2.

Soit E' un élément intégral arbitraire d'ordre 2 et s o i t ^ •4- ^ -+-^

le nombre d e s ' é q u a t i o n s linéairement i n d é p e n d a n t e s q u i e x p r i m e n t qu'un élément l i n é a i r e est intégral, et en i n v o l u t i o n a v e c K ' ; on a évi- d e m m e n t

^ ^. ^ ...i,.... ^^ ^ ^ ^ et ainsi de suite.

E. f-Ain'AN,

Finalement on arrive à u n certain entier m q u i imli(|ue le n o m b r e maximum de dimensions des m u l t i p l i c i t é s intégrales générales du système, et à rn + ï entiers

qui ne vont pas en croùwml et qui i n d i q u e n t le de^ré d ' i n d é t e r m i n a l i o n de Finté^rale générale à m d i m e n s i o n s ; elle dépend, en efÏet, de

s,,i Jonctions arbitraires (le fil arguments, A^,-i fondions arbitraires de m.—x amn'nerHs,

A"I fonctions arbitraires fie ï argument, À" con sî a (ï tes a rbi ( ra i res.

E n f i n , on a

^ ,4,, f;^ ,4,,., ., ^ ^^ — // „.„„. ^^

Si p est un entier q u e l e o m j u e i n f é r i e u r ou égal h m, nous d i r o n s que îe système, considéré comme à p variables i n d é p e n d a n t e s ^ est m i n v o l u t i o n . On a

( 8 ) s 4-. ^ 4-. * . -4- fîf, € n — p

et les éléments intégraux non singuliers a p dimensions» issus d'un point arbitraire» dépendent de

Q —p(n —p) —/^ — (p ~ i)^ — (p — ^ ),v,.-... — -4^,,,,,g -..„- ^^ ..^

paramètres.

Memarquons que, si l'on suppose les équations du Bystème résolues par rapport aux difÏerentielles'de ^ des variables, le nombre des autres variables dépendant est précisément / i — p — s . En le désignmît par-y, le nombre Q est

(9) ¹ Q =^ - (p — ï) ^...- (^— a ) ^ — . . . - ^...._^

4. La théorie q u i vient d'être résumée doit être complétée -pour répondre au problème suivant dont l'importance pratique est évidcii((h

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES m'INÎS DE T R A N S F Û R M À T Ï O N S . I3C) Déterminer les multiplicités intégrales, à un nombre donné p de dimen- sions, d'un système donné de ^fciff, ces multiplicités éteint assujetties à /i établir aucune relation finie entre p i^ariables déterminées prises parmi les variables données, ou plus généralement à n'établir aucune relation linéaire entre p expressions de Pfaff' données

0)l, &)^, . . . , ()) p

Çindépendctntes entre elles et indépendantes des vremiers membres des équations du système')»

En p a r t i c u l i e r , il s'agitde ramener au besoin toutes ces multiplicités à être des multiplicités intégrales générales d^m nouveau système de Pfaff en inwlation.

Les premiers membres

QI, ^ . . . , ^

des é q u a t i o n s du système et ïcsp expressions données

(f)\f C»)^, . . . , G)^

forment s 4- p expressions l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t e s ; on p e u t l e u r en adjoindre q == n — s — p autres indépendantes entre elles et indé- p e n d a n t e s des premières, soit

Alors, en. tenant compte des équations du système, les covariants b i l i - néaires des 0 sont des expressions bi linéaires par rapport aux oj et aux ÇT. Nous allons d'abord montrer qu'on peut toujours les supposer de la (orme

( 1 0 ) % :-= ^ Clv  • ^ / ^ / + ^ ^ / p  • ^ / ^ p (/<* == ^ 2, . . ., S), i f / ) ', p

En effet» toute m u l t i p l i c i t é intégrale à p dimensions satisfait, non seulement aux équations données, mais à des équations de la forme

( 1 1 ) W/,,.= 4l ^ ) l + . . . - + - 4 / ^ ^ ( / t = - I , 3 , . . . y ^ ) ,

les 4/ étant des fonctions des variables telles que tous les 0^ s'annulent

iCiû !•:. CAÏU'AN.

si l'on y remplace les ^ par les v a l e u r s précédentes. I l se p e u t q u e la c o m p a t i b i l i t é dos é q u a t i o n s a u x q u e l l e s d o i v e n t satisfaire les / exi^e des r e l a t i o n s p a r t i c u l i è r e s e n t r e les variables d o n n é e s ; si ces r d a t t o n s ne laissent pas i n d é p e n d a n t e s les a), il y a i m p o s s i b i l i t é ; sinon elles ont pour e f f e t de r é d u i r e le n o m b r e y. I l f a u d r a alors r e c o m m e n c e r sur le n o u v e a u système o b t e n u j u s q u ' à ce qu'on a r r i v e s o i t a u n e i m p o s s i b i l i t é , soit à u n système d'équations c o m p a t i b l e s p o u r les /.

Alors on pourra e x p r i m e r t o u s les coellicients / en f o n c t i o n des v a r i a b l e s données el d'un c e r l a i n n o m b r e de v a r i a b l e s a u x i l i a i r e s r i , j ^ , .... Los covariants b i l i n é a i r c î s du système de Pfaff o b t e n u en a d j o i g n a n t à l'ancien système les é q u a l i o n s f ï ï ) s e r o n ( alors, en t e n a n t c o m p t e des é q u a t i o n s de ce système, î o u s de la f o r m e

^'/ij^i^r^^^'^^'^y^

ce q u i d é m o n t r e la p r o p o s i t i o n ( ^r).

Nous supposerons d o n c d o r é n a v a n t q u e les O/, sont de ta l'orme ( ï o ^ . 5. Nous allons d'alïord cbercbcr les c o n d i t i o n s nécessaires et hu'di"

sautes¹ pour q u e lesyslàne de /\f({//\ considéra cofnrnc à p rurudfl^fî iinl^

pendu/îles, wil en in^ofullon et pour (fu^ 1^ éléments inté^fww (ïrfnintin^

d'ordre inférieur on d^cd à p ncliïhli^Hcnl (U^Hïnft relatio/i l.i/téw.rc f/ff/ï /es (o. S'il en est ainsi, les multiplicités cherchées seront b i e n » en effet, des m u l t i p l i c i t é s inlé^ralos {^énà'al^ du système d o n n é .

11 f a u t d'abord pour cela é v i d e m m e n t q u * i l y a i t des é l é m e n t s inlé¹"

^raux d'ordre/-» déduis par des é q u a t i o n s de la f o r m e (î ï ) i s^il ^n est a i n s i , on peut, en a j o u t a n t a u x ny certaines coitnbinaisoîis linéaires des œ, taire en sorte ({ue

î73?j "r" Ï5T g :":"". . * ,. "':"::; îSf^*:r:, Ô

définisse¹ un élément intégral ; , par conséquenty on petit ^f/p/ww k^

coefficients c^/^ tous nulîf»

(r) Jj(i8 covariartis 0' sont, en oflol, 'tous nulH en tïîmmi eomptô do ( î ï ) ; ,<jîumt, m^

équations (il) ûlles-inômos, olkm (îonncmi âw (mwumis lois qvô

^/e— h.ï^\ •11-1". * *• > /^/^4--1 ^t^//.i •4-1 1.. .-i- ^/fffi/,!^

el il sufiït de reiïi|»l<xcery dattô lea w et lea m' déu*l«j)p6^ im wjwr Icura vahnirN ( î i ; ,

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES INFINIS DE TRANSFORMATIONS. l 6 r

Cela é t a n t , considérons les entiers ^, s^, ..., s^ définis au n0 3.

Tout élément l i n é a i r e intégral é t a n t d é f i n i par un système d'équations

(^) ^l

Ui

^h (,)„ 755i

Un ^1

le nombre .^ i n d i q u e le nombre des é q u a t i o n s i n d é p e n d a n t e s du sys- tème

(i3) y^/pÂ-^/^p—y^^-pA-t'F

^'^

(A'=ï,2, ...,.s*),

i, p i, p

où les iii et les ( p sont des constantes arbitraires, les co; et les r^p é l a n t des variables. Comme ces équations ne doivent entraîner aucune relation entre les co, ce nombre ^ est le rang (degré du d é t e r m i n a n t p r i n c i p a l ) de la matrice à ttOTS"' lignes

^ aii iui ^L ai2 lui ' ' ' ^ atq l u/

2»i

2^

' " 2u

Pour avoir ^, - . . , .y^ considérons la matrice à p s lignes

JE

2

' " ^

( î 4 )

2

^

2

^ ^/l 1 ^ ^ ^/21 </;• - • . ^ ^^/ï ^;-

2;

ï

où les u^ u^ ..,, ï^^ '"^ ^{s o n}t P¹ arbitraires. Le nombre s^ -+• ^ est le rang de la matrice obtenue en prenant les 2,y premières lignes,

^ _}« ,y^ 4- .y^ ](3 rang de la matrice obtenue en prenant les 3s' premières lignes et ainsi de suite.

Ânn. Éa. Korm.f ( 3 ) , XXI. — AVRIL 1904.

î 6 2 E. CAÏVrA?î.

Cela é t a n t , les f o r m u l e s (8) et (9) m o n t r e n t q u e l'on a

^i+^r-l1-.. .4- fîp^q

et q u e le nombre des paramètres a r b i t r a i r e s , (tont dépend l ' é l é m e n t intégral le p l u s général d'ordre p de la f o r m e (î î ) , est

pfj — ( p ^ î ) ,^ ... (p ^ ^ ) ^ ^ . . . _ .^,,,.

6. R é c i p r o q u e m e n t , étant donne un système de Pfa//\ dont les cana- ri an ts 0^ ont la forme ( n > ) , formons, (Uî /noycn clés aoeffhl^ïls r/^, la /nadice ( ï 4 ) ^ co/uidéro/ïs les entiers

^lî ^Ïî - * * î ^/r?

ran.^s des matrices obtenues en prenant successivement du./is ( î 4 ) les

s, a s, . . . , ps

premières lignes. Le nombre des f)(tru mitres ( i r l ^ i I r a 1res, donï dépend l'élément intégral le lïins général d'ordre / ) f / i ( i n ' é t a l d i t atfc'ane relatio/f linéaire entre les ù), m' dépasse jamais rentier

p^ ^ (p ^ i ) y ^ .„„..„ (^ — a ) ^ -.,. -.- çif,-.. ^

s il r atteint, le système est en involialon et ses malfifflicifés i/itégrales générales à p dimensions n'étaldisse/it auenne relation linéaire enfre les co.

D'abord, p u i s q u e d'après l'énoncé même il existe* de^ é l é m e n t s i n t é g r a u x d'ordre// de la f o r m e (i î), (fent qu'on |»eui sup[)oser d a n s les f o r m u l e s (10) tous les c,j,, n u l s .

De plus, on peut, en o f l e c t u a n i au besoin u n e s u b s t i t u t i o n l i n é a i r e convenable sur.les o>, supposer q u e les rangs des// matrices considérées ne dirrumient pas si Fon prend

u^ ^= î , u'j — o î'îon î* / ^ i 4- î . Enfin on peut toujours poser

( 15 ) Ôp = (»> i^p ; 4- (,)^ m^ 4- . . < 4- (^p m^p ( p ::=:•:: î ^ a, . . ,, .y ) ^

les îïTp/ étant des combinaisons linéaires des m.

Il résulte alors de l'hypothèse que parmi les^p, il y en a exactement

SUR LÀ STRUCTURE DES GROUPES I N F I N I S DE TIU^SFOHMÀTIONS. î 63

(J^ i n d é p e n d a n t e s , soit

^ l l ? ^ M î • • • ? ^CTilî

les CT^- pour lesquelles p dépasse o-^ d é p e n d a n t des précédentes; de même parmi les vs^ ( p ^ o - i ) il y en a o-^ i n d é p e n d a n t e s , soit

^ 1 2 ? ^'22? • ' • ? ^Ttt^

les T^- pour lesquelles p dépasse cr^ dépendant des o'< -+-cr.> précédentes et ainsi de s u i t e .

En d'autres termes, des sp combinaisons ©p^ sont i n d é p e n d a n t e s celles p o u r lesquelles on a

p ^ o - / ;

nous les ^ppQ\ïeronsprinci/)€iles'; elles sont au nombre de

O-i 4- 2 <7g •+-. - . -h- /.-' 0^ ;

les autres î^p, se déduisent linéairement des expressions principales pour lesquelles le second indice ne dépasse pas i. E n f i n , il se p e u t que parmi les ^ il y en ait q u i ne se déduisent pas des îjïp, p r i n c i p a l e s ; elles sont au nombre de

q -(c^4- cTa-h. . .-1-o-p).

Cela étant, on p e u t d'abord, dans tous les cas, exprimer ces der- nières tout à fait a r b i t r a i r e m e n t au moyen des œ, ce q u i d o n n e d é j à

( 1 6 ) p^—a^cr,-.^—^)

si-

paramètres arbitraires. Quant aux expressions CT^, si l'on pose

OTp^ ^ /p^ G)^ -+- /p^Oa -4- Ip/p û)^,

la condition que les Op s'annulent d o n n e

^p/y == ^j^

de sorte que les l^j satisfont aux deux c o n d i t i o n s suivantes :

1° Si l'on donne au dernier indice j une valeur déterminée auelcoru/ue, /ouïe relation linéaire entre les CT^ existe également entre les l^ • cor- respondantes;

î 6 4 E* CAin'AN.

2° O/^ a

(17) i ^ j ^ i ^ i .

Il résulte de là que les seuls coeiïicients l^j q u i p u i s s e n t èire pris arbitrairement sont tout au pluff ceux pour lesquels

( t 8 ) " pi^h P ^ î

nous les appellerons les coeiïicients l pnrwipdK.n ils sont an nombre (le

( 1 9 ) o-i "h î?^4-. . .4-^o>;

en lui ajoutant le nombre (ï(>) on o b t i e n t , comme n o m b r e m a x i m u m des paramètres d o n t dépend l'élément intégral d'ordre/-»,,

pq ^ (p ^ï)ff^..,-.» ( p ^ 2)^—^ . . -11- ^'-t-

La premièn1 parlie d u tiléoremr* esd donc d é m o n t r é e .

Supposons m a i n l e n a n i qutï ee nombre soit elÏeetÏvement adeini, c^est-à-dire qu'on puisse satisfaire aux d e u x conditions énoncées plus liant en prenant arbitrairement les coedieients 4(/ f^ïwï//^îu.^\ Non^

allons démontrer que le système esten i n v o l u t i o n et ({ne les nombres^

correspondants sont respectivement égaux aux nombres ^.

Or, considérons u n élément l i n é a i r e intégral arbitraire 1^; on p e u t toujours, en effectuant au besoin u n e substitution linéaire sur les (o»

le supposer défini par les relations

['h _„, ft'n _,„ „„,,,, ^p _ ^p/

ï "'" r) *1111"1" """""" o1 ""1"""'> tp^

les ^< étant des quantités arbitrai resiiniqnement assujetties k vérifier les mêmes relations que les ©^ correspondantes, autrement d i t q u i s'expriment toutes au moyen de celles d'entre elles pour lesquelles

p ^ ^

Les équations qui1 expriment qu'un élément linéaire intégrai est en involution avec lî^ sont alors

( ^o ) îïîpî — î^îi ^i — ^pîgi ^y.w, < , — Cp^i fn^ :::,::: o,

Ces équations1 n'établissent aucune relation entre les <o, s i n o n ^ i étant

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES ÎNFÎNIS DE TRANSFORMATIONS. l65

un certain indice, il y courait entre les vs^ une relation q u i ne serait pas vérifiée par les ( p ^ i correspondantes; par suite, il serait impossible de trouver un système de q u a n t i t é s pp/y, dont feraient partie les pp/, données, satisfaisant aux deux c o n d i t i o n s sus-énoncées sans q u ' i l y eût u n e relation nécessaire entre les c^-, principales, p u i s q u ' i l y a u r a i t entre les (p^- une relation q u i ne serait pas vérifiée p a r l e s q u a n t i t é s égales ('p,,. '

Donc on voit bien que ,s", est égal à c", et par suite que l'entier m est au m o i n s égal à 2.

De même un élément intégral arbitraire^ deuxième ordre E^ peut toujours être supposé défini par les deux éléments

( l , 0, . . ., 0; ^ p / i ) Cfc (0, T , . . . , 0 ; P p / g ) ,

la condition d ' i n v o l u t i o n de ces deux éléments d o n n a n t

^ p n ^ ^ p s i ?

les ^p/, ainsi que les Cp^ étant, à part cela, assujetties à la seule con- dition de vérifier entre elles les mêmes relations que les T^-; on peut donc prendre arbitrairement les ^ p i a ==(p^ pour lesquelles p ne dépasse pas 0-2, les autres ç'p^ et ç'p^ pour lesquelles p ne dépasse pas cr/-. Le sys- tème qui, exprime q u ' u n é l é m e n t linéaire intégral quelconque est en involution avec E^ est alors

( 2 l ) ^pl —— Cpl 1 ^1 —— ^p2î ^î —— • - • — ^1 Mp ^ 0

^p2 — ^pia ^h — ^p22 ^â — - ' • — ^p/>2 ^p ^ 0

( p = : ï , 2, . . . , .<?).

Il contient o", + o-a équations indépendantes et r é t a b l i t a u c u n e rela- tion entre les OL), s i n o n , i étant on certain indice, il y a u r a i t entre les î^pa et r^pi une relation q u i ne serait pas vérifiée par les pp^ et les ^ correspondantes; par suite, il serait impossible de trouver u n système de quantités ^-y, dont feraient partie les ^ et les (^ don- nées, satisfaisant aux conditions sus-énoncées, sans qu'il y eût u n e relation nécessaire entre les Vo^ et les <p/a principales, p u i s q u ^ i l y a u r a i t entre les pp^- et les ^p^ u n e relation (la même qu'entre les tDp, et les î^pa) qui. ne serait pas vérifiée par les q u a n t i t é s égales v^n et pp^.

On voit donc bien que s^ est égal à 0-2 et que, par suite, si p est supé-

lG() E. CAHTAN.

rieur à 2, il passe par chaque élément intégral a r b i t r a i r e 1^ au m o i n s u n élément intégral E;}.

On peut c o n t i n u e r ainsi de proche en proche ot l'on trouve

^i=~:o-i, .^:=GT.^ . . , , ,^=a,,,

co qui démontre le théorème.

7. Toutes les fois q u e nous a u r o n s u n système de' /np q u a n t i î é s a/p/, ( ^ = = r , a, ...,/;; p==: 1 , 9 , . . ., r / ; /,-:-:: i , ^, . . . , < » }

satisfaisant aux c o n d i t i o n s d u théorème d u n° (r, nous d i r o n s q u ' i l c o n s t i t u e u n système iwolutif. II est u t i l e , p o u r la s u i t e , d ' é t u d i e r encore q u e l q u e s propriétés remarquables do ces systèmes.

H e | > re n o u s 1 es n o t a t i o n s du n u n i é r< » () ré c é d ( ? n t

( 3^) ^a//'^)/ÏÏT/" ;r: r t ) { ^PI '4< ^^^pâ 1^ - - • • -+- ^f^^,f, (? ^•1- f , '-t, . . ., .V), /. /.

les TÏT^ étant des combinaisons linéaires des TÎT q u i s'exjîrimeut toutes au moyen de

o'i *8}- ff's " - [ • - . , . -I- y^,

d'entre elles, q u e nous avons appelées pri/wpahy, (*(, q u i sout (;oll(*s pour lesquelles

F II ^

I I est possible de trouver un système de q u a n t i t é s / ^ / J o u i s s a n ! des trois propriétés suivantes ;

r,⁰ Toute relation qui existe ontre les rrr^ existe entre les ^, cor- respondantes,/désignant un indice donné d'ailleurs quelconque $

2° On a, quels que soient p, i,j\

/p/y-= /py^;

3° Les quantités^^^r^^a^, c'est-à-diro pour lesquelles P^» p 2 ^ î

peuvent être prises arbùraimnenl.

SUR LÀ STRUCTURE DES GROUPES INFINIS DE TRANSFORMATIONS. 167

Remarquons d'après cela que, si l'on désigne par

Xp^o ( p > c r , )

l'équation q u i d é t e r m i n e l'expression non p r i n c i p a l e r^/ au moyen des ^principales dont le second i n d i c e est i n f é r i e u r ou égal à i el sÏ l'on désigne par

X ^ = o ( / S / , p > a / )

r é q u a t i o n qu'on en d é d u i t en y r e m p l a ç a n t tous les ^7 par les /?'/'/•

c o r r e s p o n d a n f s , on obtient ainsi un système cl'ëcfuations definusanî complètement les 4^ non principales au moyen des /?/•/ principales, 11 su f'fi t de prendre de proche en proche les é q u a t i o n s

X,pi==o; X ^ = o , Xp2, :=:o; Xp,=o, X|3=:o, X ^ = = o ;

Cela é t a n t on peut prdonger le système i n v o l u t i f d o n n é en considé- r a n t , par définition, les cr, -4- 2cr^ -+-...-+-^0}, expressions b i l i n é a i r e s

(2<3) r^iCT-p/i -{- ûJâ^p/a +. . .4- œ^îîTp^ (p == ï , 2y . . ., .s'; ^"=: 1 , 2 , . . ., p),

q u i joueront ici le même rôle que les expressions ( 2 2 ) pour le système donné, et où les ^/y = t^p^ sont liées exactement par les mêmes rela- t i o n s que les /p/y. Pour ce nouveau système, on a

a\ "::::; o-i ~\- 0-2 -+-. .. "4- a'p, c^ =: 0-2 +. . .4- cr^,

Je dis quilesl encore iwolutif,

En effet, n o u s a l l o n s d é t e r m i n e r d e l à m a n i è r e s u i v a n t e u n système

. s p ( p -4- i ) ( p 4- ^ ) ... ,

<|(. _iz——^.li———^ q u a n t i t é s

/p/y^.==: /py//t. ==- ^p/Vt-/ ^^ ^p/'/'./' ::=: ^pyA-/ =::: ^p/i',//-

Nous prendrons a r b i t r a i r e m e n t les q u a n t i t é s

^^ ( ^ à / â ^ p S ^ )

({ne n o u s appellerons principales. Q u a n t aux autres, elles seront corn""

ï ( ) 8 K. CAHTAN,

p l è t e m e n t déterminées au moyen des précédentes par les é q u a l i o n s

X^rr: o (À-,;,/;;/, p > a/)

obtenues en r e m p l a ç a n t dans Xp/ les n/^' par les /p'/'//» correspondants, On rangera ces é q u a t i o n s d a n s le sens des f c r o i s s a n t s ; celles q u i correspondent à la même v a l e u r de i é t a n t rangées d a n s le sens des y croissants (de i à i) et celles q u i c o r r e s p o n d e n t a u x mêmes v a l e u r s

de i et / é t a n t rangées dans le sens des k c r o i s s a n t s (de i ày}*

Cela é t a n t , on d é m o n t r e sans p e i n e q u e les q u a n t i t é s /p/^ a i n s i dé- t e r m i n é e s j o u i s s e n t de la propriété q u e tonle relation en/re ley vn^

existe entre /ef>' 4/%^ corn^po/u/unis, (fuels (fiw soient les indiacs (hnuîé^ ^ et p ; de même, par suite, t o u t e r e l a t i o n e n t r e les tïTp// existe entre !es /p//'a correspondants, q u e l q u e soit, r i n d i c e d o n n é oc.

Les lçi)/( j o u e n t donc par raj)port î i u x •m^^ 1(* niénie rôl^* ( j u e le.s 1^^

j o u a i e n t par ra|)port a u x TïTp/. Or le noinin'e de celles de ces q u a n t i t é s q u i sont arbitraires est p r é c i s é m e n t

7\ 4-^cr; 4-/^î

l|)ar suite, le système considéré est bien i n v o l u t i f .

H, Les systèmes i n v o l u t î l s de q u a n i i l é s r / ^ & J D u i s s e î ï t encore d ' u n i * a u t r e propriété q u i nous sera u t i l e . Si. l ' u n c/uîrch^ à ^/^/w/wr /f

^leme le plus général (l'expremon^ hiUnéaiïw 11^ annula/if, ide/ïtiffïu^

meni les expressionn trilinéaires

( ^4 ) ^i ÏÏ?! + f'b Upï 4". . . 4- ft)(, Ïfp/, ( p — ï , a, . . . ^ ],

et reliées entre ellea par leff mêm.e^ relations (/w lea m^^ (m tnmye

( a;) ) II?/ •= ^)i ^^i 4- r^ Zprt + * . . ••-{- fi.sp Y^tf^

où lef Y^'j =: '^çji^^- àe}î wpre^ton^ de P/a/ar/nira/re^ (WUf€Uif^ seif- lemeni à être liées par les rnfim^ relatio'/'/^ (fue le^ 4r*

Dans renoncé, on suppose que le^ 11^ sont des exprimgîong b i l i "

uéaires par rapport a u x û), cl à un n o m b r e q u e l c o n q u e d'aidtre^ ex- pressions de Ptaff i n d é p e n d a n t e s ,

11 est d'abord évident que» si l'on prend pour lesil^ des expregsiolîs

SUR. LA STRUCTURE DES G R O U P E S I N F I N I S DE T R A N S F O R M A T I O N S . 169

de la forme (25) elles satisfont à la question. C'est la réciproque qu'il s'agit de démontrer.

Or, les ïlçi s'annulant avec les ou, comme il est facile de le voir, peuvent toujours se mettre sous la forme (2:5), les y^ étant provisoi- rement quelconques; de plus, on peut supposer q u e toute relation entre les IIp^ existe entre les y^a» qu^l q u e soit l'indice donné a. Cela étant, supposons démontré qu'il existe un entier h <; p tel que l'on ait

7-pa^^Zppa (a, (3, == i, 2, .. ., A ) .

Je dis que cette propriété peut aussi être supposée vraie pourA 4- i.

En ne t e n a n t pas compte des termes en

C«)//,+.2, ^h\--À7 . . . » G»)/;»

l'expression (24) prend, en effet, la forme

(x)i W/t+i (%p,i,A-H — %p,A-(-i,i ) -4- . . .4- C»)//C«)/^_i (7p,/z,/^i — %P,^-1-1,/J*

11 résulte de là q u e l'on a, en ne tenant pas compte non plus de co/^,,

l %p,l,/^-M ^Zp./H-l,! -L- ^ p l l & )! 4-. . . 4- I p i / / , G)//,, ( 2 6 ) . . . . ' 7. p. //, //. +• i "^ 7, p, A -i-1, h -4- "A ? /, i 0) i -l" . . . -4- }, ? // ^ 6) /,,

les^p/y étant des quantités finies satisfaisant à

Ap/y r^: h^jt' ( / , / = = I , 2, . . ., A ) ,

Par suite, on p e u t poser, en négligeant o)/^, . . . , o) ,

IIpi z-r r^i^pn 4-. . .4- ^)//./,piA 4- &)/^[-i%p,//,^i.i — ^pn ^i c»)/^i — . . .—}.?,/, Wk^/t,\~\f

'••••«*••••*••••••••••••-•••«••*<••••«••»••*».••..»».,......,..,...^..,y

IIp//, =-= W^ J^h\ 4- . . . 4- ^h'/^lih 4- M/A+i %p,/A.}..l,A — ^p//.i C'h &->À-H — . . . — ^çifih ^h ^)/<4 i •

On peut manifestement, en ajoutant au besoin aux '/p/, principciles des expressions de la forme [j-p^û^,,,, faire en sorte que l'on ait

' X p / y = = 0 ( ^ y = = ï , 2, . . . , / À ; p ^ C 3 - / , p ^ C T y ) , ^ , „

cette modification entraînant nécessairement des modifications ana-

Ann. Ec. Norm., ( 3 ) , X X Ï . — A.vnrL r9o4. â2

Î^O K" CARTAN,

logues pour les, y^j non principales, ainsi que p o u r les /^./,M,<?;

mais en ce qui concerne ces dernières, comme elles l'rentrent dans llp^ ...,HpÀ <ï^ multipliées par co/n-i, cela n'a aucune importance, On voit dono finalement que les 11^ se présenteront sous la forme v o u l u e , abstraction faite d'expressions bilinéaires telles que

lF p / = Âp/iO)i6r)/H..i -4-. . .-+- ^p/7, ^)/^>/u"i (^r: Ï , 2, . . , , / ^ )

avec

},p/y= À p y / (/, y := Ï , 2 y . . , , / / ) ,

À p / y = = 0 ( P ^ / , ? ^ ; ^=1, ^, ' . ^ P ; J ^ î , ^ - .1, ^ ) .

En exprimant les relations nécessaires entre les 11^, on voit q u e ces relations doivent également exister entre les Tp,; par suite, les A^

satisfont aux propriétés fondamentales des /p^, et comme ocll^ d'cnffr elles (jui sont principales sont nulles, il en est de même des autres. Le théorème est donc démontré,

9. A l'aide des deux théorèmes précédents, on p e u t , en ^ wvan/

unic/uement de Vulendté fondamentale^ démon t r e r q u e , si l'on prolonge un système en involution, on obtient encore un système en invo"

lution, propriété qifon pourrait déduire (acilement, a pnon, de¹ l'existence et de l'indétermination des m u l t i p l i c i t é s intégrales du système donné.

Si aux équations du systèmi? on ajoiîte les nouvelles équations ( ^7 ) ^ = ^ - i^, ^ - ^ ^ -,.. ^ i ^ - o ^ ' ^î » ^ • - ^ \,

\i "rr 1^, < -./V

les covariants des premiers membres des nouvelles équations du sys- tème sont manifestementy en tenant compte de ces é q u a t i o n s elles- mêmes et des équations primitives, de la forme

( a8 ) Wp< = ^ y^t 4- r,^ y^ 4.., . , 4.,,. ^^ ^^ ^,,.. ^ ^

les termes^ion écrits ne dépendant que des c^ les j^/ n'étant autres, aux co, près, que les différentielles. d[^. Or, en appliquant l l d e n t i f é fondamentale aux covariants

^ 1. ^p = 6)iïî7pi 4- ^Spz •+- ^iypp (mod^, . « ^ ^5^

SUR LA STRUCTURE DES G R O U P E S I N F I N I S DE TRANSFORMATIONS. 17!

on obtient évidemment

0 : = G ) i W p i 4 - G ) 2 ^ p â 4~. . .4~0)/,CTp^, ( m o d ^ i , .. . , 5.ï; ^cri» • • • ï ^ c r / J »

et, par suite, d'après le théorème du n0 8, on a

( 2 Ç ) ) OTp,== C > ) i % p / i 4-. . .4- ^pj^i'p (mod 0 i , . .., Os; ÎÏT<TI, . . . , T Î T ( T ^ ) ,

les j.ij = 7py/ é t a n t liées par les mêmes relations que les /p^-.

Comme, d'après la formule (28), lesy^y principales sont nécessaire- ment indépendantes entre elles et des o^, on voit, en appliquant le théorème du n° 7, que le système prolongé est bien en i n v o l u t i o n .

REMARQUE. — Ce théorème pourrait tomber en défaut si l'on se con- tentait d'un prolongement partiel du système donné, c'est-à-dire si l'on adjoignait à ce système quelques-unes seulement des équations (^7)* On en a u n exemple si l'on prolonge le système en i n v o l u t i o n

^ = = G ) l W l , ff^ == r,).^:;,

par l'adjonction de l'équation u n i q u e

m :== CTI -•h 7^2 — // ^l "1"" " r ^ï ^ 0 •

lu. Après cette étude des systèmes en i n v o l u t i o n , nous allons con- sidérer un système de Pfaffpour lequel les co variants hi linéaires on tété réduits à la forme (10) et nous supposerons que le n o m b r e des para- mètres arbitraires dont dépend l'élément intégral le plus général d'ordre/? est inférieur à l'entier

ai 4- ^ cr^ 4- . . . 4- p a-f, •4- p (<7 — o-i ---• ^ — .. . — o^ ),

où les CT sont les nombres définis au moyen de la matrice (i4). Nous allons montrer que le système de Pfaflf peut être prolongé de manière à satisfaire aux conditions du théorème du n° 6.

Nous dirons que les covariants bilinéaires du système sont mis sous forme normale lorsque, en tenant compte des équations du sys- tème et en n'écrivant que les termes qui c o n t i e n n e n t les ^ on peut partager les covariants en un certain nombre de groupes ayant les

I^r? E, CA'UTAN.

propriétés suivantes. A chacun d'eux, est associé un e n t i e r N de sorte qu'il contient a u t a n t de covariants ,IÏa,.a,...a, q u ' i l v a de combinaisons d'entiers a positifs ou n u l s satisfaisant à

a, •+• a.j, 4-. .. -4-" <%/, "= -N ;

de p l u s

"•01,02. ....a/,'""¹' '''•h^ari-î, as. ..".a,, + ^â^i.^r"»'!. ...,^u""^' • • ^{- 1!} ' ^/^iy-pa¹:....,;^¹¹¹!¹ t *

Nous supposerons de p l u s qu'on peut associer à chacun de ces groupes un autre entier h compris entre o ^ i p tel q u e si

//, /^ //, .,.

sont les entiers associes aux Ie r, 2*', 3^, ... groupes, les r?x du p r e m i e r groupe, pour lesquels les p — li dernic*!^ i n d i c e s sont n u l s , les ^ ù\\

deuxième groupe p o u r lesquels les / > - — / i d e r n i e r s i n d i c e s sont nuls, e(,c., sont i n d é p e n d a n i s e n t r e < » u x et- q u e de p l u H t o u s les autres ÎTT, ^/, . . . d é p e n d e n t des p r é c é d e n t s ; nous appellerons ces dernières expressions les e^pre^io/^ ^ f)^l//€lpfd(•fs.

Si. l'on effectue sur les û) u n e s u b s t i t u t i o n l i n é a i r e (fr/ninn/r, les covarianis ne cessent pas d^étre sous u n e forme normale, les cw d ^ u n même groupe subissant une siibstitu(,ion l i n é a i r e .

Si l'on établit entre les variables u n e relation q u e l c o n q u e , cela se traduit par une relation linéaire entre CT, m\ * . . <*t les û>. Supposons qu'elle contienne efïectivement les expressions principales a r d u pre- mier groupe et q u e les entiers /^ associés a u x groupes d o n t les expressions principales entrent en lout ou en partie d a n s hi relation considérée soient tous supérieurs ou égaux a h. Alors on peut, par une substitution linéaire effectuée s u r o , , ..., o^, (aire en sorte que la relation contienne effectivement

^<w.. N+M».. <» ( y'/f. -T:i:- ^ 4111- o»

S'il, en estainsi, to-us l e s ^ y ^ , , . - s'exij-riment ail moyen des expres- sions principales des ^ 3e, .« groupes cf. ^ cwffîctwu {le û),, ,.., o^1....,., dans le premier groupe. On peut alors remplace!* le premier groupe par un certain nombre d'autres groupesy/w/r^y^^ l'entier li est diminué d'âne unité»

SUR LÀ STRUCTLTxE DES G R O U P E S I N F I N I S DE T R A N S F O R M À T t O N S . 1^3

Enfin, remarquons que si l'on veut prolonger le système par le procédé du n° 4, les eovariants du n o u v e a u système sont encore sous u n e forme c a n o n i q u e , avec le même nombre de groupes, les mêmes entiers À, h\ . .., les entiers N sont augmentés d ' u n e unité et il peut y avoir des relations linéaires nécessaires entre les nouvelles expres- sions principales. En effet, en négligeant au besoin des combinaisons de o),, ..., o->^ dont les coefficients ne d é p e n d e n t que des variables primitives, on a des formules de la forme suivante

^a,, as, ...,a/, ^ ^a,4-i,a^ ...,a^ ^ï + ^cc,, 0^4-1, a/, ^a 4--. . . 4- ty.^ a.., ...,a/,M ^»

et les t, / / , ... ne d é p e n d e n t que de ceux du premier groupe pour les- quels les p — h derniers indices sont nuls, e t c . ; il s u f H t de prendre pour expressions principales du système prolongé les d i f f é r e n t i e l l e s de ces coetîficienis /; seulement, si ces / ne sont pas réellement i n d é - pendants, les nouvelles expressions p r i n c i p a l e s doivent être liées par des relations dont chacune, comme nous l'avons vu t o u t a l'heure, dissout un groupe de eovariants en d i m i n u a n t d'une u n i t é l'entier//.

associé.

1 I. Cela étant, désignons par

le nombre des groupes de eovariants du système p r i m i t i f pour lesquels l'entier h est respectivement égal à

Supposons qu'on n'arrive jamais à un prolongement laissant inva- riables les entiers v. Alors l'entier Vp ne peut pas augmenter, et il arrivera nécessairement un moment où il ne changera plus; à partir de ce moment l'entier v^,, ne pourra pas augmenter, et il arriverit un moment où il ne changera plus. On peut raisonner ainsi successive- ment pour tous les entiers v et démontrer qu'à partir d'un certain prolongement aucun de ces entiers ne p e u t changer.

Or, dire qu'aucun1 des .entiers v ne change, c'est dire''que dans le prolongement tous les l pour lesquels les p — h derniers indices sont

" ^ J ^ E. CAFTAN.

nuls, tous: les î! pour lesquels les p — A' derniers indices son) nuls, etc., sont arbitraires. Si m a i n t e n a n t

^ désigne le nombre des expressions principales pour lesquelles le premier i n d i c e est au moins égal a ï ;

^ le nombre des expressions principales pour lesquelles le premier indice est nul sans que le second le soit ;

-, le nombre des expressions principales pour lesquelles les d e u x premiers indices sont nuls sans que le troisième le soit, etc. ; le nombre des /, t\ ... arbitraires est, comme il est f a c i l e de le voir, égal à

(3 0) ^ l 4 - 2 T 2 4 • •B3 T , 4 •l-B. . . 4 - ^ ^ ,

et de plus le nombre des CT, m\ . . , , i n d é p e n d a n t s est

T, 4-rr-1-1.. .4-'r//,

Or, p o u r le système considéré, on a m a n i f e s t e m e n t

^l::'7î,

o - t - h e r g ^ r i -h v.^

^i-h^-h.^-h^,.^ ,-7,4--îy c^4-as4-. ..4"^ ^••Ti4-:y

On a à la dernière ligne une égalité, chacun deg deux membre étant égal an nombre des ^ nr\ ... indépendants. Deg inégalités ( 9 1 ) on

déduit les suivantes : ];] " '

( 3 2 )

^ :•:.; T;^

y^-^i "-l•ll•l•• ffp ^ r^ „..„., i 4- T^

cr^4' • • " "'{'"' '7//-l + ^/> " r^-\~. .. 4- ?y....,i •4-11 T/,, ai 4- cr, + ,.. ...i-. ^.,.,..., 4- 0^ -:^ r^ -.^ r, 4--, ,. 4- r^..,,, - h r/,, et aussi, par addition,

(33) ^ •1•+" ^^ -+-. • - '-i- i.^, :. v, + ^ 4- ... -4- pr^

,Le nombre des paramètres1 arbitraires dont dépend réIémenNufé- gral le plus général d'ordre? est done m moins égal, d'après (33), h

Sl'B LA STÏUîCTUBK HES GROUPES ÏÎSBMS DE TRAKSFOK'MATIOISS. 173

l'entier

0-1-h 2 0-2 4 - . , . 4~ p c r ^ ;

(l'autre part, d'après un théorème précédent (n°6), il lui est cm plus é^al; donc il lui esterai et le système eâten involution. De plus l'indé- t e r m i n a t i o n est d é f i n i e par les nombres

^ •::::: T J , .^:rr: T-a, . . ., .s'^r;: Tp.

•là* La dénKmstration précédente est analogue, comme on peut le remarquer, aux diverses démonstrations connues de la possibilité de ramener à un système en i n v o l u t i o n un système quelconque d'équa- tions aux dérivées partielles. J'appellerai n é a n m o i n s l'attention sur l'importance pratique du théorème du, n°6 : pour rendre en involution par prolongements successifs, un sytème de Pfatr donné, on calculera, chaque prolongem.ent étant elfectué, les valeurs des entiers c^, a^,..., cr^

et Fon s'arréteni dès que le nombre des nouvelles variables q u e four- n i r a i t le prolongement suivant atteindra l'entier 0^ -+" 20-y + ... 4- p^^

Une fois ce système en i n v o l u t i o n , un prolongement de plus d o n n e r a i t les nouvelles valeurs

ff\^ O'i4- (7;; 41- . . . -I" 0^, er^ oy4-" . . . 4 " î r ^ ,

\ <7^^ 0-^

•

Ilemarquons encore (\w si un système est en i n v o l u t i o n avec une valeur de rentier cr. au moins égale à i, une relation arbitraire entre les variables m a i n t i e n d r a i t le système en involution, o^ étant simple- ment d i m i n u é d'une u n i t é ; au. lieu d'une relation on pourrait en prendre un nombre quelconque, i n f é r i e u r ou égal à o^, qui serait alors d i m i n u é de ce nombre-là, 'Sans vouloir insister sur ce¹ point, cette remarque prouve néanmoins qu'un système arbitraire de m équations aux dérivées partielles (non nécessairement du même ordre) à m f o n c t i o n s i n c o n n u e ^ est toujours en i n v o l u t i o n lorsque l'on a dérivé les équations du système d'ordre i n f é r i e u r à l'ordre m a x i m u m jusqu'à les rendre toutes de ce même ordre maximum.

i 7 G E. ÇA H TAN*

CHAPITRE IL

LES GROUPES CONTINUS ET LEUR STRUCTUKK

'13. Considérons un groupe c o n t i n u do t r a n s f o r m a t i o n s d é f i n i par un sytéme en i n v o l u t i o n d'équations a u x .dérivées partielles. Pour rester dans le cas le plus général, supposons (jue les variables trans- formées soient

'^•'1> •''"si» • • • •) ^ ' / i t v ^ ' / / / M » ' * « » ''^'fii

q u e le groupe adinede// — m i n v a r i a n t s i n d é p e n d a n t s et q u e les// ••¹¹¹- w v a r i a b l e s ^ , , , ..., ^ soient précisément i n v a r i a n t e s . Alors si l'on désigne par

A, i » A ^, . * , , X ,if

les m premières variables traTisformées, ce nont m fondions des /i friables x que Fon peut d é f i n i r par un système (m invollîtbn d'équa- lions de Pfafr, Ces é q u a t i o n s f o r m e n t h catégories si les é q u a t i o n s de définition sont d'ordre À ; la première catégorie est de la forme^{, Ul}

^ X i — c^ da-^ — a^ ^r¹- * ' . -- ^ ^r^— o, ( î î i )

^X,//— a,/n^rî— ce,^,^.- . .. — ^/^/.r,/

où les coefiïcients a^ sont des f o n c t i o n s des,^ des X e t d e / ^ q u a n t i t é s nou^velles ¹

yî».r^ • -ï y/»,;

la seconde catégorie est de la forme

^ri- pn^i- |3i2^- • * . - ^^ - o,

(E.)

cly^— ^^dx^ — p^^^.yg— . . , ^ ^^l^,, :^;....::, <¹^

où les côefïicients p^ sont des fonctions des y, des X, ûw y et de/^

Sîm LA STIUÎCTUnE DES G R O U P E S ÏINFINiS BE TRANSFOUMATlOINS. 177

quantités nouvelles • • •

*•'!» -^a» • • • » ^y î

M ainsi do suite, la /^wi catégorie étant do la, .forme 1

/ du^ — An ^FI —" . . . •— ),?, dx^-=- o,

(E/,) ) . . . ... • , ,

f1 ^^/. » — >'7-/..., i ^'1 — ... — }.^ ^ // r/.r//, = o, •

les À//(. élant dos fonctions des ,2?, d e s X , des a^, des (il^, etc., et des^

( [ n a n t î t e s nouvelles

^n c^ " - • » ^/,-

I^ir livpotliese l^* systèrne des équations (E) est en involution, les variatïles indépendantes élant x^x^, ...,,z^. Or les covariants l)ili-- îiéair<*s des premiers membres des équations (E) ne dépendent, lorsque l'on tient compte de ces équations elles-mêmes, que des<^

ot des r/e/,; de pins les d{^ n'interviennent que dans les covariants des équations de la dernière catégorie (E^)

ïli •:::;.:•. /^t^•/?.ll -•1|-... 4- dx^dl^n,

Up/, .;;:..'• ^^i^^,/.^i41" . . . '+ d^n.^)^. .-,/<;

iuîs covariants permettent, comme il a été montré au Chapitre L de définir // entiers

0-1,. o-a, . . . » cr//

q u i in.diquent le de^ré d'arbitraire des transformations du groupe.

Si le groupe est f i n i , il n'y a pas de quantités ^ et les covariants sont tous n u l s en t e n a n t compte des équations (E),

•H* Au lieu de d é f i n i r le groupe par les é q u a t i o n s (E), nous allons le d é f i n i r comme l'ensemble des transformations q u i laissent inva- riantes un certain nombre d'} expressions de Pfalf.

Tout d'abord, il résulte d'un théorème connu que toute transforma- tion p o r t a n t sur les x, K , y , ^, * . *, P qui laisse invariantes les X ainsi.

'queo^..,,.,, ^ ^ ^ qui transforme entre elles les x et qui, laisse inva- -riant le système do Pfafr(E), donne pour les variables x une transfoiv

^ÏM. É€, Kurm^ (3), XXI. — MAI î()n^ ' 23

3 8 - 2

.Nous poserons

E. CAKTAN.

u.-,/- p=i,..../^

( 6 ) œ;. = ^ <^, r.)^y 4- ^ r?/^, r,.)^p 4-... ( /" ::.:,: r , '<, . . . , / " ) ,

«/) <-~i....,/-

les termes non, écrits c o n t e n a n t F u n e des d i f f é r e n t i e l l e s r / X , , ..., c/K En u l i l i s a n l l a remarque do n0 I I , nods pouvons d o i ï n e r ^ u x X / d ^ s valeurs constantes et négliger par s u i l e l e u r s ( l i n e r e n U e l l e s ^X E n f i n ^ n o u s pouvons r e m a r q u e r que d/après l-origiîu- meîn(» des q u a n t i t é s ^ elles f o r m e n t u n système i n v o l u t i f (n0 7). NO(ÎS arri- vons donc au tlieorème s u i v a n t :

Étant donné un groupe continu G Imns formant !^ wnnh/^ ^, .^•y, ..., ^ et admettant les inmriants Indépendants (!,/|î.., . _ , F o//

^^^, ^ ajoutant au hem/n de nouvelles wriables UiuCwr^ ^on^nnre un groupe iV transformant entre elles les ^ comme le groupe C ,./ nui peut être défini comme le plus grand groupe lufsmnt inmriantes \tn eer^

tain nombre r d'expressions de P/a/f

^•^ ^a» ..., (t^

e.t h étions M, dont le, ^^//.//.^ç^/y/^//^,.^^

Iwes des co a ^ffîcle^ Jonctions ^, (?. ^ cwaria^ ^ son, ,tr

la j orme /'

( 7 ) ^;,:-=^ C i ] k ^ i ' ^ J -'-^^/p/^"'^»

le^elami, nowel^ ^pr^ion. ^ P/af Ind^ndan^ ^ ^ (,, coejjw.enls e,,, e(, a^ étant ^, fowuom ^ V, ^ ^antit^ n , /„/.- mant un système involutif. ^ "

17. Réciproquement, si l'on a /•-(-/; cxprc.sdons (le (»(•«»•

"l» ..., M/.; GT|, ..., Vf,,

et À fonctions U satisfaisant aux conditions de renonce pm.Mcuf 1, transfonnafon la plus générale qui laisse invariantos lesl; <;t le. ;^.l';

Sl;R LA STtlUCTUHE DES OKOUPES INFilNïS DE TÎU^SKWMATIONS. l83

d o n n é e par le système de Pfafr

( 8 ) i 4 ~ ^ = o ( Â — ï , 2 , .... r)

on l'on désigne par Q^ ce q u e d e v i e n t (^ par la s u b s t i t u t i o n des n o u - velles'varial).les aux anciennes. Et ce système esl en involalion, car l'on a, e n t, e n a n t c o i n y t e d e s é q u a l i o n s ( 7 ),

( 9 ) ^/, — r.4 =^ tf/p/, r,)/ ( lîp — w? ),

et, par hypothèse, les a^ (bnnent un système i n v o l u t i f .

Au. sujet des théorèmes précédents qui. sont f o n d a m e n t a u x , on peut f a i r e les r e m a r q u e s s u i v a n t e s :

En p r e m i e r l i e u si l ' o n a den,v groupes (Ypour lesquels les entiers r, A, p ont les mêmes valeurs, pour lesquels les invariants s'expriment, par des corn- In/ulisons linéaires des co dont les coefficients sont les mêmes /onctions des iïïmria..nt.s, pour lesefuels enfin les c/^ et, les a/^ sont les mêmes fondions des invaria/fts, ces deu^ groupes sont, semhialdes ; car le système de PlalT q u i f o u r n i t la t r a n s f o r m a t i o n la p l u s générale p e r m e t t a n t de passer de l ' u n a l'autre, esten i n v o l u t i o n , comme r i n d i q u e n t les f o r m u l e s (8) et ('<} ) où les ii/, et les IL se r a p p o r t e n t a l ' u n des groupes, les œ/,. et les T^

a F autre.

Hn second l i e u , sans changer le groupe (.i'', on peut, an, lieu. de /•

expressions co^ prendre r autres expressions q u e l c o n q u e s combinai- sons l i n é a i r e s i n d é p e n d a n t e s des premières, les coefïïcients é t a n t des f o n c t i o n s des t j ; de même on p e u t remplacer les vî par p nouvelles expressions q u e l c o n q u e s , combinaisons linéaires des co et des^ indé- pendantes par rapport aux m et ayant pour coefficients des fonctions des U.

Si le groupe est transitif, les c/j/c ot les a/y^ sont des constardes. Si le groupe est f i n i y il n'y a pas d'expressions 0 et dans les formules (7)

il ne subsiste que les coellicients c^/^

'181. Tout ce q u i précède peut être envisagé d'un point de vue nou- veau, fondamental pour la théorie de la structure des groupes, si l'on définît l'isomorplusme de la xnâmère suivante.!

j8() • ! . K. CAHTAN,

en taisant toujours la même hypothèse sur les termes n o n écrits. M a i s comme o^- est égale a o^ on voit que chaque dHïerence try^.— r^/.. p e u t s'exprimer l i n é a i r e m e n t au moyen des o\- et des f/X<. Par s u i t e e n f i n AY parmi les mû expressions T^. 0/2 considéré p ^ (T entre elles inïlépe/îda^^les el (fw Von exprime toutes les autres au moyen de celles-là^ les eoef/icienfs sont (les invariants par rapport auv transformations ( i ) et pctr saite so/u des forictionf! des X et de .r,,/^, . . « , .'r^.

A u t r e m e n t d i t on peut supposer (fue les mn e^pres^io/is T^^ se^'prime/a¹ Unéclirejnent au moyen de />, ex'pre^iony rn, , . . , rrr. , les eoef/ïcie/ils etafil des fonctions des X/ et des c,^^, , , . , x^. Cîes /^ expressions se repro- (luisent p a r , l e s transformations ( î ) à des combinaisons l i n é a i r e s près de

<YXi — r»)i, d'X^— h)^ . . . » //X,,/— ^/.

On peut aller p l u s l o i n ; considérons l ' u n e des expressions ny^ q u i ne soit pas i d e n t i q u e m e n t n u l l e et c o î ï s i d é r o r ï s dans c»,^ les t e r m e s en ù.)/(, r/X,

(^ =;: ^^if, +_^ Aj w/.d.^j i i-i l[i- . , . „

on peut supposer que tous les Aj sont n u l s en a j o u t a n t au besoin aux ^ d e s c o m b i n a i s o n s linéaires des premiers nombres de ( K ( )^ alors il est évident que ^u, se reproduira par toutes les trîinsiormaiiorîs ( î ).

En faisant cela pour/^ expressions indépendantes, on voit q u e les î^/

peuvent être choùis de manière à rester inmri.an(es par (.outes les îrans»

formations ( f ) ,

Une Ibis an tel choix tai(» il est c l a i r q u e tous les coefîicients des covariants ^ sont des i t i v a r i a n t s j ) o u r les t r a n s f o n n î t t h m s ( î ) , e t ' p a r suite ne dépendent q u e des X et de ^,.,.^ * . . , x^

En résumé, les cownanis hilinéaires des expressions o^ sont des expressions bilinéaires par rapport aux (o/, 'aux dt, et a p^ nowellcs expressions ^; les coeffiments de ces coçariants ne dépendent (fue d^ X et de x^ ..n, ..., x^, Enfin les p^ expressions m sont des combinaisons linéaires des premiers membres des équations (Hg) (H(li,) (pn. so.nf. indé- pendantes entre eUes et indépendantes des premiers membre des équa-

tions (lî,).

SUR ÎA STRUCTURE DES GROUPES ÎISTÎiNIS DE TRANSFORMATIONS. l 8 ï

16. Formons de même les covariants des expressions ^; on mon- trera de la même façon, quelles peuvent s'exprimer b i l i n é a i r e m e n t par rapport aux co/, aux d'X^ aux CT^ et a/^ nouvelles expressions indépen- d a n t e s y ; les coefficients de ces covarianis ne d é p e n d e n t que des X e t de ^4,11 .. * y <T,/, les /?^ expressions y sont des combinaisons l i n é a i r e s des premiers membres des é q u a t i o n s ( E;^), ( E ^ ) e t ( E i ) , qui s o n t i n d é "

j î e n d a n t e s des premiers membres des é q u a t i o n s (E^-) et (E,). Enfin elles sont i n v a r i a n i e s par t o u t e t r a n s f o r m a t i o n ( i ) .

On peut c o n t i n u e r ainsi de proche en proche jusqu'à ce que l'on arrive à. p / ^ ^ expressions 0, c o m b i n a i s o n s linéaires des premiers membres dos équations (E/0, (E^), — • > ( E < ) . et invariantes par les t r a n s f o r m a t i o n s (i). Leurs covariants bilinéaires d é p e n d e n t des o), des r/X, des 0, y, , » , , 0 et des d i f f é r e n t i e l l e s ch/ç

0^ = Miu/i + ... -h &)rt^^+. .. (/=:: î , 2, . .., A^^i ),

les termes non écrits ne d é p e n d a n t que des eu, dK., ^, .,,, 0. On verra comme tout à rbeure q u e , si parmi les u/^ on en prend h^ i n d é p e n d a n t s et q u e t o n exprime tous les autres au moyen de ceux-là, les coeiïi- cients ne d é p e n d e n t que des X et de ^,n, . . , , x,^ autrement dit tous les U/À peuvent s'exprimer en fonctions l i n é a i r e s de h^ expressions nouvelles u ^ u^, » - . * » Uy^ les co efficients ne d é p e n d a n t que des X et d e ^ n , ..., x^ Si l'on ajoute à ces expressions des combinaisons linéaires à coefficients arbitraires des co, dX, tîï, ..., 0, on peut dis- poser de ces arbitraires de manière à annuler le plus grand nombre possible des autres coefficients des 0 ^ ; alors les autres coefficients seront nécessairement des invariants pour toutes les transforma- t i o n s ( i ) .

Finalement, en changeant les notations, on voit que l'on arrive à obtenir un certain nombre r d'expressions de Pfaff,

o.)i, r,)^ ..., ô),» (/•= n 4- pi "+-,.. -+-p/^i),

dont les comricints bilinéaires s'expriment au moyen des o), des d X , et de ph expressions nowelles 0, et s'annulent avec les o), les coefficient ne dépendant que des X et de ;r^-.r, • . - , ^. Les transformai (i) sont les plus générales, qui laissent invariante chacune de ces expressions

de Pfaff.