LE CALCUL DES BARRAGES TRIANGULAIRES EN TENANT COMPTE DES SOUS-PRESSIONS

LÀ HOUILLE BLANCHE 115

Le Calcul des Barrages triangulaires en tenant compte des sous-pressions

P a r E. BATICLE, Ingnieur en chef des Ponts et Chaussées

La question de l ' i n t r o d u c t i o n des sous-pressions d a n s le calcul des b a r r a g e s a é t é t r è s discutée. L a circulaire d u Ministre des T r a v a u x Publics sur les b a r r a g e s , du 19 o c t o b r e 1923, a d m e t qu'on p e u t négliger c e t t e h y p o t h è s e à la condition toutefois que des p r é c a u t i o n s spéciales soient prises p o u r empêcher t o u t e infiltration soit d a n s le corps du b a r r a g e , soit à sa b a s e . Mais si on observe quelle m i n u t i e exige l'exécution correcte de ces dispo­

sitifs spéciaux on p e u t ê t r e c o n d u i t à se d e m a n d e r si, t o u t c o m p t e fait, il ne serait pas préférable de calculer le b a r r a g e avec l'hypo- ihèse de l'existence des sous-pressions. Le cube de maçonnerie est supérieur, p r a t i q u e m e n t , de 15 à 20 % , il est vrai ; mais une telle économie doit-elle e n t r e r en ligne de c o m p t e q u a n d on songe à l ' i m p o r t a n c e q u e p r e n n e n t au p o i n t de v u e de la sécu­

rité, les efforts d'extension d a n s un b a r r a g e ?

Le calcul, d ' a p r è s la r é s i s t a n c e des m a t é r i a u x , de la stabilité des barrages, avec l ' i n t r o d u c t i o n d ' u n e sous-pression s'exerçant suivant un plan horizontal, est classique. Mon i n t e n t i o n est de montrer c o m m e n t on p e u t faire le calcul p a r la t h é o r i e de l'élas­

ticité, d a n s le cas d ' u n b a r r a g e t r i a n g u l a i r e h o m o g è n e .

On p e u t envisager les sous-pressions de d e u x manières diffé­

rentes : Ou bien elles s'exercent effectivement d a n s t o u t le corps du b a r r a g e ; ce serait le cas d ' u n b a r r a g e exécuté avec un m a t é ­ riau p o r e u x , ou bien, le b a r r a g e é t a n t lui-même c o n s t i t u é avec un m a t é r i a u d é p o u r v u de porosité, bien homogène, la sous-pres­

sion s'exerce u n i q u e m e n t sur le sol de f o n d a t i o n . Ce dernier cas sera, é v i d e m m e n t , le plus fréquent. D a n s les d e u x cas, la loi de distribution p e u t ê t r e t r è s v a r i a b l e ; j ' e x a m i n e r a i l ' h y p o t h è s e d'une sous-pression égale à la pression h y d r o s t a t i q u e (c'est la sous-pression m a x i m u m ) , e t celle d ' u n e sous-pression v a r i a n t suivant u n e loi linéaire de l ' a m o n t à l ' a v a l , égale à la pression hydrostatique à l ' a m o n t e t nulle à l'aval, c o m m e cela se passe­

rait dans le cas d ' u n s u i n t e m e n t avec u n e p e r t e de charge p a r mètre linéaire c o n s t a n t e .

I^o Sous-pressions dans toute la masse du barrage.— U n élément prismatique infiniment p e t i t de côtés dx et dy, est soumis a u x forces indiquées sur la figure (1) (l'axe des y est dirigé s u i v a n t la verticale d e s c e n d a n t e ) .

En é c r i v a n t q u e ces forces s o n t en équilibre, on a : D NX D T _ dp

dx ¡>g~ dx

a T a N y ^¿p

On a une i n t é g r a l e d é p e n d a n t de q u a t r e c o n s t a n t e s arbitraires

^ p r e n a n t :

Nx = ax + $ij — P

On d é t e r m i n e les 4 c o n s t a n t e s en é c r i v a n t q u e sur les pare­

ments, les c o m p o s a n t e s de la force moléculaire sont égales a u x Passions s u p p o r t é e s p a r les dits p a r e m e n t s .

On sait que sur u n e droite inclinée de 6 l'effort moléculaire a p o u r c o m p o s a n t e s :

X = N^x sin 6 — T cos 9 y

= t

On a ainsi, p o u r c h a q u e p a r e m e n t , 2 é q u a t i o n s . C'est la m é ­ t h o d e classique : elle s'applique d a n s le cas p r é s e n t si p est de la forme : p = ax + by.

J e vais considérer le cas simple d ' u n b a r r a g e à p a r e m e n t a m o n t vertical, i é t a n t l'inclinaison du p a r e m e n t a v a l . J ' a p p e l l e k le poids du m è t r e cube d'eau. On a p o u r : x = o :

N^x = Kg e t T o.

D ' o ù : a = o e t ¡3 — b = K e t p o u r : y = xigi ;

-Tf^{T +}%*,)A=c

F i g . 1 On tire facilement de ces é q u a t i o n s :

a = — - tgi + 2 Ktg* i — 2 atg² i + big i

¡5' = x — ktg² i + atgL

Supposons la sous-pression uniforme e t égale à la pression h y d r o s t a t i q u e . On a u r a : a = o b = K .

i N^x — Kg

D ' o ù : N^r=[2IUgH — (-—K)tgi}x + (T. — k—ktg*i)g

( f = Kxtq* L

L a condition pour qu'il n ' y ait p a s d'effort d'extension sur le p a r e m e n t a m o n t est

ou t g i ^ y / * — K

Tout se passe d'ailleurs dans ce cas comme si la densité du bar- rage était uniformément diminuée de K.

Supposons maintenant que la sous-pression, égale à la pres- sion hydrostatique sur le parement amont, soit nulle sur le pare- ment aval ; on a alors : b = K et a + blgi = o d'où : a = — KtgL Les expressions des efforts moléculaires deviennent :

N^X = Ky

[4 Kig* i - ( - - K ) lgi\ x + (T. — K — 2 Ktg* i) y T = Kxig* i.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1924024

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a m o n t il faut et il suffit q u e l'on ail :

- — K — 2 Ktg* i 7 o

On voit q u e c e t t e h y p o t h è s e est b e a u c o u p plus défavorable que l ' h y p o t h è s e de la sous-pression égale en tous p o i n t s à la p r e s - sion h y d r o s t a t i q u e . Ce calcul m o n t r e le très g r a n d i n t é r ê t que p r é s e n t e , au p o i n t de v u e de la sécurité, la compacité du m a t é - r i a u , d'où d é p e n d l ' i m p e r m é a b i l i t é du b a r r a g e .

2° Sous-pression ne s'exercant que dans un plan horizontal — C'est le cas, ai-je d i t plus h a u t , d ' u n b a r r a g e e x é c u t é avec un m a t é r i a u r i g o u r e u s e m e n t i m p e r m é a b l e , mais où n é a n m o i n s des injiltrations r e s t e n t possibles, e n t r e la fondation e t le terrain d'assise.

J e supposerai t o u j o u r s q u e l a sous-pression est linéaire et de la forme :

p = ax + by⁰. yⁿ é t a n t la h a u t e u r du b a r r a g e (fig. 3).

T o u t se passe c o m m e si c h a q u e b r a n c h e Àa, d'épaisseur dx P

a v a i t sa densité diminuée de r~r- d a n s la p a r t i e à l'aval de oy, e t de

y⁰ — xtgio

d a n s la p a r t i e à l ' a m o n t de oy.

D a n s ce cas, les é q u a t i o n s indéfinies d'équilibre sont :

DR DT

dx

£ T O-Ny ax dx~^"~Jy~ ^,fc y^~ xtgi⁰

p o u r la p a r t i e à l ' a v a l de Oy e t un s y s t è m e analogue ou z⁰ est remplacée p a r — i^t p o u r la p a r t i e à l ' a m o n t de oy.

Fig. 2

On a u r a la solution de ces systèmes d é p a n d a n t de 4 constantes et d ' u n e fonction arbitraires en p r e n a n t :

N^x - ax + $y

N i = dx + è'y-y „ ^y°Z.„^: + /o (*)

M

T = (ic — £') x - ax + gy

et [ N

=

+ ¡1 (*) [ T =

On p o u r r a d é t e r m i n e r f^Q(x) et f¹ (x) de façon que les termes non linéaires s ' a n n u l e n t a u x frontières, c'est-à-dire, respective- m e n t , p o u r y = xlgi⁰ et y = —- a ; / ^ . D ' o ù :

i/o — ^(/<o œ + by^Q

L e s t e r m e s non linéaires a u r o n t ainsi la forme s u i v a n t e : y — xtgi^Q y + xtgi^x

~r-(ax + by⁰ ) et ^t ( ax + by⁰ ) y^Q — xtgi^{t J O} y⁰ + xtgit

Si on r e m a r q u e que leurs v a l e u r s s o n t égales p o u r x = o ; ce q u i fait q u e , quels que soient les (a, (i) les v a l e u r s des (N, T) sont égales sur oy, il suffira, p o u r a c h e v e r . d e d é t e r m i n e r les eiîorls i n t é r i e u r s , d'écrire les 4 é q u a t i o n s e x p r i m a n t les conditions sûr les p a r e m e n t s :

Nx'ffïo — T = o

T / y i⁰ — N^y = o p o u r y = xtgi⁰ N^x^ " i + T = K y ^ *^x

T/y/x + N^y = Kz/ p o u r y = / y ^ .

On r e t r o u v e , en définitive, les m ê m e s (a, q u e s'il n ' y avait p a s de sous-pression. Seule N^y est diminuée du t e r m e compté-

Fig. 3

m e n taire, qui v a r i e l i n é a i r e m e n t sur u n e verticale, à p a r t i r du p a r e m e n t , où il est nul, j u s q u ' à la base, où il est égal à la sous- pression.

C o m m e p r é c é d e m m e n t , j e v a i s expliciter les formules don n a n t les N et T p o u r le cas simple d ' u n b a r r a g e à p a r e m e n t amont v e r t i c a l .

On a :

N^x = ocx + gj/

, . y — xiqi

T = (t.—$)x — m

p o u r x = o N^x — Ky e t T ~ o. D'où : (3 = K a = o p o u r : y = xtgi N^x/ y î — T = o

e t T/yi — N^y = o

c'est-à-dire : KlgH — (~ — g') = o

(r. — 3') /0/ — a' _ g' tyf = o.

D ' o ù : 3' = v—Ktg*i

a' = (T: — 2 3') /fli - (2 KlgH — w) /yf.

On a p a r c o n s é q u e n t : N^x = K y

// — xtgi N^y = (2 Kty*î — ic) /j/te + (TC — K/flr'O y-

y v ' ' ' ° ~'^u Uo — xtgi T = KlgH.x

L a condition de n o n - e x t e n s i o n sur le p a r e m e n t a m o n l (x = o) e s t : * — KlgH — b > o

Si ft = K, on r e t r o u v e , ç«cZ que soit a, la condition de Maurice L é v y :

yo⁰ + xigi^ tgi ^{. „ / i c} — K