Notes sur le cours RM2 : quelques rappels

Notes sur le cours RM2 : quelques rappels

Frédéric Hélein, L1 MIASH, Université de Paris Janvier 2021

1 Propriétés de base de R

1.1 Rappels sur N, Z, Q et R

On a les inclusions N⊂Z⊂Q⊂R (et, au delà, R⊂C).

(i) dans N, on peut ajouter et multiplier les entiers naturels : (a, b)−→a+b, (a, b)−→a×b =ab

l’entier 0 est un élément neutre pour l’addition et l’entier 1 est un élément neutre pour la multiplication, c’est à dire :

∀a∈N, a+ 0 =a, a×1 = a

mais, aucun entier naturel non nul a ∈ N^∗ n’admet d’inverse pour l’addition—ce qu’on appelle couramment un opposé—, c’est à dire un entier b tel que a+b = 0; en effet b serait négatif, ce qui n’existe pas dans N. De même, si a ∈ N\ {1}, a n’admet pas d’inverse pour la multiplication. Ainsi par exemple, 2 n’a pas d’inverse pour la multiplication dans N.

N est muni d’une relation d’ordre ≤compatible avec l’addition et la multiplication, c’est à dire telle que :

∀a, b, c∈N, a≤b =⇒a+c≤a+c et ac≤bc

(ii) dans Z, à la différence de N, tout entier a ∈ Z admet un unique inverse pour l’addition :

∀a∈Z, ∃!b ∈Z, a+b= 0 et on note b=−a

Mais, comme dans N, les entiers relatifs n’admettent pas d’inverse pour la multi- plication en général (seuls deux entiers relatifs admettent un inverse : lesquels ?).

La relation d’ordre ≤ s’étend sur Z, elle est compatible avec l’addition :

∀a, b, c∈Z, a ≤b =⇒a+c≤a+c

et avec la multiplication, mais à condition de faire attentionaux signes :

∀a, b, c∈Z,

a≤b et 0≤c =⇒ ac≤bc a≤b et c≤0 =⇒ bc≤ac

(iii) dans Q, on a les mêmes propriétés que dans Z, avec, en plus : tout rationnel x∈Q\ {0} admet un inverse pour la multiplication, on le note x⁻¹ = _x¹.

(iv) si on n’a pas les bonnes lunettes, R ressemble en tout point avec Q et il n’est pas complètement évident de visualiser une différence entre la droite des rationnels et la droite des réels... sauf que... les grecs avaient remarqué il y a plus de 2000 ans un petit grain de sable, un petit problème avec les rationnels, à savoir que√

2n’est pas rationnel.

Une brève démonstration du fait que √

2 est irrationnel — On le montre par l’absurde, en supposant le contraire, c’est à dire qu’il existe (p, q) ∈ N×N^∗ tels que (^p

q)² = 2. Un travail préliminaire permet de se ramener au cas où, au moins un des deux entiers pet q est impair. On examine alors les conséquences de la relationp² = 2q² : cela entraîne alors que p est pair, donc s’écrit p = 2p1, ce qui entraîne à la suite que q est aussi pair, une contradiction.

Notons enfin que Qet R possèdent une propriété supplémentaire :

Proposition 1.1 Q (respectivement R) estarchimédien, ce qui signifie :

∀a, b∈Q (resp. R), si a >0 et b >0, ∃n ∈N^∗, a+· · ·+a

| {z }

n

≥b

On peut traduire cette propriété plus simplement en

∀a, b∈Q (resp. R), si a >0et b >0, ∃n∈N^∗, na≥b.

et, si on change le nom de a en ε,

∀ε, b∈Q (resp. R), siε >0 etb >0, ∃n ∈N^∗, b n ≤ε.

Corollaire 1.1

∀ε >0, ∃n ∈N^∗, 1 n < ε Une propriété bien utile quand on veut montrer que limn→+∞

1 n = 0.

1.2 Partie entière et densité de Q dand R

En utilisant la propriété que R est archimédien, nous allons montrer que :

Théorème 1.1 Pour tout réel x∈R, il existe un unique entier relatif p∈Z tel que p≤x < p+ 1

On notera ⌊x⌋ ∈Z cet entier et on l’appelle lapartie entière dex.

Démonstration — (1) Commençons par montrer que, si un tel entier existe, il est unique.

En effet, si nous supposons qu’il existe deux entierspetqpossédant cette propriété, alors p≤x < q+ 1 et q≤x < p+ 1

entraînent p−q <1 et−1< p−q, soit |p−q|<1, ce qui n’est possible que sip=q car p etq sont entiers.

(2) Montrons maintenant l’existence de p.

— supposons d’abord que x > 0. Considérons l’ensemble A := {n ∈ N ; n ≤ x}. Nécessairement A 6= ∅ car 0 ∈ A. Comme R est archimédien, ∃N ∈ N tel que x < N, ce qui prouve qu’un élémentn ∈Ane peut pas être supérieur ou égal àN. Donc A est borné et contient un nombre fini d’éléments (plus précisément, moins deN éléments). Soitp∈A le maximum deA (c’est à dire le plus grand élément de A). Commep∈A, p≤x et, commep est le plus grand élément de Aet p+ 1> p, nécessairement p+ 16∈A, ce qui s’écrit x < p+ 1. Donc p≤x < p+ 1.

— si x= 0, on choisit p= 0.

— si x < 0, comme R est archimédien, il existe N ∈ N tel que −x = |x| ≤ N, donc

−N ≤ x et −N ∈ Z. Soit A := {n ∈ Z ; −N ≤ n ≤ x}. Cet ensemble est non vide (−N ∈ A) et est majoré par 0. Il contient donc un nombre fini d’éléments.

Nous choisissons le maximum p de A et nous vérifions comme précédemment que p≤x < p+ 1.

On note

E : R −→ Z

x 7−→ ⌊x⌋ la fonction « partie entière ».

On en déduit le résultat que, pour tout n ∈ N, tout réel x ∈ R peut être approché par un nombre décimal « avec n chiffres après la virgule », ce qui signifie qu’il existe un nombre rationnel de la forme ₁₀^ann, où an ∈Z, tel que

an

10ⁿ ≤x < an+ 1 10ⁿ Par exemple, pour x=π,

n 0 1 2 3 4 5

an 3 31 314 3141 31415 314159 10⁻ⁿan 3 3,1 3,14 3,141 3,1415 3,14159 Il suffit de prendre an=⌊10ⁿx⌋.

Le théorème précédent nous permet aussi de montrer que Q est dense dans R.

Définition 1.1 Soit X ⊂R. On dit que X est dense dans Rsi, ∀a, b∈R tels que a < b,

∃x∈ ]a, b[ ∩ X (cette condition peut également s’écrire ]a, b[ ∩ X 6=∅.)

Théorème 1.2 Q est dense dans R.

Démonstration — Soit a, b ∈ R tels que a < b et soit N ∈ N tel que N(b −a) > 1 (l’existence de N s’obtient à nouveau grâce au fait que R est archimédien) et soit

x= ⌊N b⌋ −1 N Il est clair que x∈Q. D’autre part

N b ≤ ⌊N b⌋< N b+ 1 ⇐⇒ N b−1≤ ⌊N b⌋ −1< N b

⇐⇒ b− 1

N ≤ ⌊N b⌋ −1 N < b

et comme N(b−a)>1⇐⇒b−a >1/N entraînea =b−(b−a)< b−1/N, on en déduit

que a < x < b.

Connaissant au moins un exemple de réel dans R\Q (par exemple √

2), on en déduit le corollaire du théorème précédent :

Proposition 1.2 R\Q est dense dans R.

Démonstration — Soita, b∈Rtels quea < b. Alorsa−√

2< b−√

2, donc on peut utiliser le fait queQest dense dansRpour affirmer qu’il existey∈Qtel quea−√

2< y < b−√ 2.

Donc a < y+√

2 < b. Or il se trouve que x := y+√

2 est dans R\Q. Cette dernière assertion se montre par l’absurde : si nous supposons que x ∈ Q, alors √

2 = x−y est rationnel carx et y le sont, ce qui est impossible. Doncy ∈(R\Q)∩]a, b[.

1.3 Mais qu’a donc R de plus que les autres ?

La différence fondamentale est que :

Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

(Rappelons qu’une partie de R est un sous-ensemble de R. De même, toute partie non vide et minoré de R adment une borne inférieure.)

Définition 1.2 Une partie A de R est majorée si

∃M ∈R, ∀x∈A, x≤A

Tout réel M ∈R tel que ∀x∈A, x≤M est appelé un majorant de A.

Définition 1.3 Soit A⊂R. Une borne supérieure de A est un réel ℓ tel que (i) ℓ est un majorant de A : ∀x∈A, x≤ℓ;

(ii) ℓ est inférieur ou égal à tous les autres majorants de A :

∀b ∈R, [b majore A] =⇒ ℓ≤b.

En d’autres termes, la¹ borne supérieure de A, si elle existe, estle plus petit majorant

1. Nous verrons un peu plus loins que, si la borne supérieure existe, celle-ci est unique.

de A.

On traduit souvent la propriété (ii) par sa contraposée :

∀b ∈R, b < ℓ =⇒ [b ne majore pas A]

c’est à dire :

∀b ∈R, b < ℓ =⇒ [∃x∈A tel que b < x]

et, finalement, comme tout réel b tel que b < ℓ est de la formeℓ−ε, où ε >0,

∀ε >0, ∃x∈A, ℓ−ε < x

Proposition 1.3 Soit A⊂R et ℓ ∈R. Alors ℓ est une borne supérieure de A si

∀x∈A, x≤ℓ (1)

∀ε∈R, ∃x∈A, ℓ−ε < x (2)

Une première propriété importante est :

Proposition 1.4 Soit A⊂R. Si A admet une borne supérieure, celle-ci est unique.

Par conséquent, si A admet une borne supérieure,on note supA la borne supérieure de A.

Démonstration — Supposons que ℓ1 ∈R et ℓ2 ∈ R soient deux bornes supérieures deA.

Alors

— comme ℓ1 est inférieur ou égal à tous les majorants de A et comme ℓ2 majore A, ℓ1 ≤ℓ2;

— comme ℓ2 est inférieur ou égal à tous les majorants de A et comme ℓ1 majore A, ℓ2 ≤ℓ1.

Donc ℓ1 =ℓ2.

Le résultat fondamental qui distingue Rde Q est : Théorème 1.3 Soit A⊂R. Si

(i) A 6=∅;

(ii) A est majoré.

Alors A admet une borne supérieure.

Un résultat très utile est :

Proposition 1.5 Soit A une partie non vide majorée deR et ℓ ∈R. Si ℓ majore A et si ℓ∈A, alors ℓ est la borne supérieure de A. Dans ce cas ℓ est le maximum de A.

Remarque — On définit de même une partie minorée de A ⊂ R, un minorant de A, la borne inférieureinfA, avec les mêmes propriétés. En particulier, toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure.

1.4 Complément hors programme : étude d’un exemple

Considérons, par exemple, les ensembles

AR:={x∈R| 0≤x et x² ≤2} et

AQ :={x∈Q|0≤x etx² ≤2}=AR∩Q

Les ensemblesARetAQsont tous les deuxnon vides, puisque, par exemple,1∈AQ ⊂AR. L’ensemble AR est majoré, par exemple, par 2. En effet, ∀x∈[0,+∞[,

x≥2 =⇒ x² ≥4 =⇒ x² >2

donc, par contraposée, ∀x∈[0,+∞[,

x² ≤2 =⇒ x <2

Donc AR estmajoré par 2 et, commeAQ ⊂AR, AQ est aussi majoré par 2.

D’après le théorème précédent, AR et AQ admettent des bornes supérieures dans R : soit

αR:= supAR etαQ := supAQ

Nous allons étudier plus particulièrementα =αR. Commeαest le plus petit des majorants deAR et comme 2 majoreAR, on en déduit en particulier que α≤2.

Théorème 1.4 On a α >0 et α² = 2.

Démonstration² — (i) Nous montrons que 2 ≤ α². Nous utilisons la propriété (i) de la définition de la borne supérieure (id est α majore A) :

∀x∈R, [0≤x etx² ≤2] ⇐⇒ x∈AR =⇒ x≤α Donc ∀x∈R tel que x >0,

x² ≤2 =⇒x≤α=⇒x² ≤α²

De cette implication nous pouvons déduire en raisonnant par l’absurde que 2 ≤ α². Pour cela nous supposons que α² < 2 ⇐⇒ 2−α² > 0 et nous cherchons à obtenir une contradiction, en montrant qu’il existe x ∈ AR tel que α < x, ce qui est impossible car α est un majorant de AR. Nous cherchons x sous la forme x = α+ε. Nous supposons que ε > 0, de sorte que α < x. Il reste donc à trouver ε de façon à ce que x ∈ AR. Nous calculons x² = (α+ε)² = α² + 2αε +ε², qui implique, à cause de α ≤ 2, que x² < α²+ 4ε+ε². Il suffit alors de choisir ε >0tel que 4ε+ε² <2−α² pour avoir alors x² < α²+ 2−α² = 2 et doncx∈AR, ce qui est impossible car α est la borne supérieure deAR et on a en même tempsx > α.

2. cette démonstration est un peu difficile, il n’est pas demandée de la retenir dans tous ses détails

Pour être complet nous devons trouver une condition suffisante surεpour que4ε+ε² <

2−α². Pour ne pas se casser la tête, il est commode de remplacer cette inéquation un peu compliquée par une autre condition, plus simple, et qui sera néanmoins suffisante. Pour cela nous supposons que ε <1, car alors ε² < ε et donc 4ε+ε² <5ε. Nous voyons alors que, si de surcroît5ε <2−α², alors 4ε+ε² <5ε <2−α². Ainsi une condition suffisante pour avoir cette majoration est que 0< ε <inf(1,(2−α²)/5).

(ii) Nous montrons queα² ≤2. Pour cela nous utilisons la propriété (ii) de la définition de la borne supérieure :

∀ε >0,∃x∈AR, α−ε < x =⇒ (α−ε)² < x² ≤2 Donc

∀ε >0, α²−2αε+ε² ≤2 ⇐⇒ α² ≤2 + 2αε−ε²

Comme cela est vrai pour tout ε >0, cela entraîneα² ≤2.

Ainsiα= supAR=√

2. On peut montrer en adaptant la preuve précédente et en utilisant la densité de Qdans R que, αQ =√

2.