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Plus précisément, on suppose que Vˆ(t

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Mécanique quantique II Serie 8´ 24 avril 2013

Exercice 1 Perturbation limitée dans le temps

Dans cet exercice, on s’intéresse à l’évolution d’un système soumis à une perturbation Vˆ(t) dont l’effet est limité dans le temps. Plus précisément, on suppose que Vˆ(t) = 0 si t0ou si tT, et queVˆ(t) est une fonction continue ent= 0 et ent=T. On rappelle que si à l’instantt0 le système est dans un état propre non perturbé|ii, la probabilité pour qu’à l’instant t > t0 il soit dans un autre état propre non perturbé |ni est donnée par

Pi→n=

i

¯ h

Z t t0

dt1ei(En−Ei)(t1−t0)/¯hhn|Vˆ(t1)|ii

2

(1) Par la suite, on suppose quet0 <0 ett > T.

1. Démontrer que Pi→nne dépend ni de t0 ni det.

2. Démontrer que Pi→nest aussi donnée par Pi→n=

1 EnEi

Z T 0

dt1ei(En−Ei)t1h d

dt1(hn|Vˆ(t1)|ii)

2

(2) 3. On considère désormais une perturbation définie par

Vˆ(t) =

0 si t0

2t

TVˆ si 0t T2 (22tT) ˆV si T2 tT

0 si tT

, (3)

Vˆ est un opérateur indépendant du temps.

(a) Calculer Pi→n.

(b) Déterminer les valeurs de T pour lesquelles Pi→n= 0.

(c) On suppose que

hn|Vˆ|ii

≤ |EnEi|. A quelle condition sur T peut-on être sûr que Pi→n 1, même sans ajuster T pour que la condition de la question (b) soit satisfaite? Donner une interprétation physique du résultat.

Exercice 2 Perturbation harmonique

Considérons une perturbation harmonique de la forme suivante:

V(t) =

(0 si t0

V eˆ iωt+ ˆVe−iωt si t0 , (4)

(2)

Vˆ est un opérateur indépendant du temps. On pose hn|Vˆ|ii = Vni, hn|Vˆ|ii =Vin et

¯

ni=EnEi, où|ii et|nidénotent des états propres non perturbés aux énergies Ei et En.

1. Calculez Pi→n défini dans l’exercice précédent en fonction deVni etVin.

2. En se plaçant dans un régime tel que ni1, montrez que Pi→n est de la forme t2

¯ h2

|Vin|2f

niω)t 2

+|Vni|2f

ni+ω)t 2

Simplifier cette relation en utilisant le fait que

α→∞lim

sin2αx

αx2 =πδ(x) Conclure sur le résultat obtenu.

2

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