Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

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Submitted on 15 Jul 2019

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de la migration

Olivier Ozenda

To cite this version:

Olivier Ozenda. Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration. Analyse numérique [math.NA]. Université Grenoble Alpes, 2019. Français. �NNT : 2019GREAM011�. �tel- 02101366v2�

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DOCTEUR DE LA

COMMUNAUTÉ UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES

Spécialité : Mathématiques Appliquées

Arrêté ministériel : 25 mai 2016

Présentée par

Olivier OZENDA

Thèse dirigée par Pierre SARAMITO, DR1, CNRS

et codirigée par Guillaume CHAMBON, Chercheur, IRSTEA préparée au sein du Laboratoire Laboratoire Jean Kuntzmann dans l'École Doctorale Mathématiques, Sciences et

technologies de l'information, Informatique

Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

Continuous modelisation of suspension rheology and migration processes

Thèse soutenue publiquement le 1 avril 2019, devant le jury composé de :

Monsieur PIERRE SARAMITO

DIRECTEUR DE RECHERCHE, CNRS DELEGATION ALPES, Directeur de thèse

Monsieur GUILLAUME CHAMBON

DIRECTEUR DE RECHERCHE, IRSTEA CENTRE DE GRENOBLE, Co- directeur de thèse

Monsieur FRANÇOIS PETERS

MAITRE DE CONFERENCES, UNIVERSITE NICE-SOPHIA-ANTIPOLIS, Rapporteur

Monsieur SEBASTIEN BOYAVAL

INGENIEUR EN CHEF DES PONTS, EAUX FORETS, ECOLE DES PONTS PARISTECH, Rapporteur

Madame ELISABETH GUAZZELLI

DIRECTRICE DE RECHERCHE, CNRS DELEGATION PARIS CENTRE, Examinateur

Monsieur STEPHANE LABBE Monsieur CLAUDE SMUTEK

MAITRE DE CONFERENCES, UNIVERSITE LA REUNION, Invité PROFESSEUR, UNIVERSITE GRENOBLE ALPES, Président

Je remercie mon directeur Pierre Saramito d’avoir su me donner le goût de l’exploration du monde merveilleux du calcul numérique appliqué à la modélisation des fluides complexes. Son implication, ses conseils précieux ainsi que son enthousiasme ont guidé mes efforts tout au long de ce travail.

Je remercie mon codirecteur Guillaume Chambon d’avoir introduit des problématiques issues de la physique dans ma réflexion, élargissant mon approche orientée mathématiques. Son investissement et ses questions aussi fécondes que pertinentes ont été structurantes pour mes travaux.

Au delà des aspects purement techniques, le travail du doctorant sous-entend l’acquisition d’une certaine maturité vis à vis de sa spécialité et plus généralement des sciences, merci à tous les deux d’avoir orienté mes actions en ce sens.

Je remercie Sébastien Boyaval et François Peters d’avoir accepté de rapporter cette thèse. Leur lecture attentive a permis d’améliorer la qualité de ce manuscrit. En outre, je suis très honoré de l’intérêt porté à mes résultats. Merci également à Élisabeth Guazzelli et Stéphane Labbé d’avoir accepté de faire partie du jury.

Les discussions avec l’équipe rhéologie des suspensions concentrées de l’institut de physique de Nice ont été très profitables, je les en remercie.

Merci aussi à Claude Smutek qui fut aussi à l’origine de ce projet, Noé Bernabeu qui avait participé à l’encadrement de mon stage de M2 et Antoine Deharveng qui a mis en oeuvre une idée originale durant son stage de M2.

J’ai une pensée particulière pour le groupe de doctorants qui m’avait accueilli en 2014 ainsi que pour ceux avec qui j’ai partagé quelques moments de convivialité par la suite.

Je tiens aussi à rendre hommage à ceux qui m’ont formé, d’abord en classe préparatoire a Marseille puis Lyon et enfin à Grenoble, sans oublier mes camarades avec lesquels je partageais le banc dans l’amphi.

Une tranche de vie s’achève alors que de nouveaux horizons s’ouvrent. Je m’adresse enfin à tous ceux avec lesquels j’ai partagé autre chose que des sciences. Chaque route croisée est porteuse de sens et je remercie ceux qui m’ont permis de construire, à leur insu pour la plupart, les convictions qui m’ont conduit à mener à bien cette thèse.

J’ai enfin une pensée chalereuse pour ceux qui m’ont fait confiance ou qui m’ont soutenu depuis plusieurs années.

Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d’une phase solide granulaire et d’une phase liquide, présentent de nombreuses applications aux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis en jeu dans ces applications suggère d’étudier des cas très complexes alors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviaux qui ne sont pas parfaitement compris. C’est pourquoi nous proposons ici des avancées sur la modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses. Nous revisitons d’abord la formalisation mathématique du lien entre les modèles continus diphasiques et les lois de conservation à l’échelle d’un grain en moyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nous construisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce système ne peut être résolu numériquement sans l’adjonction de plusieurs hypothèses, nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdales dans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologique intégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenter la déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permet de reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériences de laboratoire. Le premier concerne l’anisotropie que présente la micro-structure d’une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de paires moyenne.

Le second est observé lors d’une inversion brutale de cisaillement, la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxer vers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entre l’évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l’évolution d’une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduit pas correctement l’évolution d’autres quantités macroscopiques comme les différences de contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension. Ce nouveau modèle permet d’envisager la modélisation de phénomènes mettant en jeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échelles de temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d’améliorer la prédiction des phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules ne suivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuient les zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normales jouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggère d’intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation que nous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses, celle du mélange et celle de la phase granulaire. L’originalité de notre contribution réside dans l’introduction d’une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension. Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphères dures qui ne peuvent pas s’inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s’interpréter comme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle de fluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné, comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule.

Mots clefs

suspension, rhéologie, Navier-Stokes à deux vitesses, modélisation, migration

1

Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phase and a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences. Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studying very complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are not perfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding of a reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averaged versions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities at the scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical building of continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws. Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posed mathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidal suspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological model including a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformation of the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproduce two effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy of the microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function. The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to a steady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between two continuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.

However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stress differences.

This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On larger time scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines, for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extended rheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stress differences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate our new rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, we process it into a new mathematical problem. We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one. We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interaction between two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of our proposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems. The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressible congested viscous system, like those used to model crowd motions.

Keywords

suspension, rheology, two velocities Navier-Stokes, modelisation, migration

3

1 Introduction 9

1.1 Motivations . . . . 9

1.2 État de l’art. . . . 9

1.2.1 Panorama . . . . 10

1.2.2 Modélisation discrète. . . . 12

1.2.3 Modélisation continue . . . . 15

1.3 Plan . . . . 17

2 Modélisation continue des suspensions 19 2.1 Modélisation discrète . . . . 19

2.1.1 Formulation du problème . . . . 19

2.1.2 Quelques outils techniques. . . . 24

2.2 Outils permettant de construire un modèle continu . . . . 24

2.2.1 Choix d’un noyau. . . . 25

2.2.2 Fonctions d’état . . . . 27

2.2.3 Moyennes . . . . 28

2.3 Équations de conservation . . . . 31

2.3.1 Conservation de la masse . . . . 31

2.3.2 Conservation de la quantité de mouvement – première version. . . . 31

2.3.3 Notations additionnelles . . . . 33

2.3.4 Moments . . . . 34

2.3.5 Forces à la surface des particules . . . . 35

2.3.6 Cinétique particule par particule . . . . 38

2.3.7 Conservation de la quantité de mouvement – deuxième version . . . . 42

2.3.8 Terme d’inertie et variance de la vitesse . . . . 43

2.3.9 Lois de conservation – version finale . . . . 44

2.4 Suspensions newtoniennes à faible nombre de Stokes . . . . 46

2.4.1 Suspensions stokésiennes diluées . . . . 47

2.4.2 Suspensions à nombre de Reynolds nul pour une fraction volumique quelconque. . . . 51

2.4.3 Vers des modèles plus généraux . . . . 53

3 Inversion de Couette 55 3.1 Introduction. . . . 55

3.2 Mathematical model . . . . 57 5

3.2.1 Rheological model . . . . 57

3.2.2 Problem statement . . . . 59

3.3 Stationary shear flows and microstructure anisotropy . . . . 60

3.4 Time-dependent simple shear flows . . . . 63

3.4.1 Shear startup, reversal and pause. . . . 63

3.4.2 Comparison with experiments. . . . 65

3.5 Discussion and conclusions. . . . 68

3.6 Appendix A : Computation of the probability distribution function . . . . 70

3.7 Appendix B : System of ODE for imposed stress . . . . 71

4 Différences de contraintes normales 75 4.1 Introduction. . . . 75

4.2 Modélisation mathématique . . . . 77

4.2.1 Équations constitutives . . . . 77

4.2.2 Présentation du problème . . . . 77

4.3 Cisaillement simple et inversion de cisaillement . . . . 78

4.3.1 Problème réduit . . . . 78

4.3.2 Solution explicite en régime stationnaire . . . . 79

4.3.3 Expression des paramètres matériels en fonction de la fraction volumique . . . . 80

4.3.4 Comparaisons quantitatives avec des expériences . . . . 83

4.4 Conclusion . . . . 86

4.5 Annexe : Identification des paramètres matériels . . . . 87

4.5.1 Méthode numérique . . . . 87

4.5.2 Étude de sensibilité . . . . 89

5 Modèle à deux vitesses avec congestion 93 5.1 Introduction. . . . 93

5.2 Hypothèses de fermeture . . . . 94

5.3 Formulation du problème . . . . 96

5.3.1 Dérivation d’un problème couplé à partir de la proposition 2.46 . . . . 97

5.3.2 Modification de(P0)en un problème plus classique . . . . 98

5.4 Migration dans un tuyau circulaire . . . 101

5.4.1 Lois de conservation dans le mélange . . . 101

5.4.2 Contrainte particulaire. . . 102

5.4.3 Lois de conservation dans la phase particulaire . . . 104

5.4.4 Présentation du problème réduit 1D . . . 104

6 Conclusion et perspectives 109

Table des notations

Ω ouvert borné contenant la suspension étudiée Ω_f, Ω_p phase fluide et phase granulaire, resp

R dimension caractéristique deΩ

n, ne normales à une surface

r_p rayon d’une particule

Λ = 4π

3 r_p³ volume d’une particule

h·i, h·im moyennes du mélange

h·ip, h·is moyennes dans la phase granulaire

h·if moyenne dans la phase fluide

ω, u vecteur rotation des particules et vitesse, resp

w=hui − hu_pi différence de vitesse entre le mélange et la phase granulaire

φ fraction volumique

˙

γ=D(u) = ∇u+∇u^T

2 taux de déformation

W(u) = ∇u−∇u^T

2 tenseur de vorticité

f_l, f_c interactions hydrodynamiques et interactions de contact, resp

g accélération de la pesanteur

ρ_s, ρ_f masse volumique du fluide et des particules, resp Re, St nombre de Reynolds et de Stokes, resp

τ_l, τ_c moment d’ordre un def_l etf_c, resp

σ tenseur de contrainte de Cauchy

τ_p tenseur de contrainte particulaire

p_f, p_p, p_b, p_c pression fluide, particulaire, du mélange et de contact, resp b_e, γ_e tenseur de conformation et tenseur de texture, resp

˙

γ taux de déformation (scalaire)

γ(t) =R_t

0|γ˙(s)|ds déformation

θ_e angle de déplétion

φ_m fraction volumique maximale

ψ= φ

φ_m fraction volumique réduite

D

Dt dérivée convectée supérieure

D_a

Dt dérivée de Gordon Schowalter de paramètrea

η₀ viscosité du fluide suspendant

η_app viscosité apparente

N₁, N₂ différences de contraintes normales

η, η_e, δ₁, δ₂, β₁, β₂, β₃ paramètres physiques du modèle rhéologique présenté au chapitre4 η_p, η_n, Q paramètres physiques du modèle SBM deMiller et Morris (2006) U, Q, P,Σ_p grandeurs caractéristiques au chapitre5

06a⊥b>0⇔a>0 etb>0etab= 0 inéquation de type contact unilatéral

Introduction

1.1 Motivations

L’étude de nombreux phénomènes géophysiques fait apparaître une grande variété de problèmes de mécanique des fluides. Certains sont dominés par les forces internes aux matériaux qui les composent. C’est le cas par exemple des mouvements des masses de glace ou des coulées de lave. D’autres, tels que les mouvements des masses d’air dans l’atmosphère ou les phénomènes de déferlement, ont un caractère plus inertiel. Les sujets d’étude que nous venons de citer présentent des régimes d’écoulement très variables mais ont en commun le fait d’être modélisés usuellement par des milieux continus homogènes. Cela étant, les écoulements diphasiques sont aussi très bien représentés dans notre environnement. Certains sont violents comme les avalanches en aérosol ou les lahars. D’autres sont moins spectaculaires et plus quotidiens comme les mouvements des nuages de particules fines. D’autres, enfin, sont essentiels à la vie comme la circulation du sang, qui est une suspension de particules déformables. Des écoulements de matériaux complexes composés d’un fluide transportant des particules sont aussi au cœur de nombreux procédés industriels, par exemple la confection de matériaux composites. Issus de la nécessité de renforcer des matières plastiques pour les utiliser dans des domaines exigeants comme l’aéronautique ou l’automobile, ces matériaux trouvent actuellement de nouvelles applications car ils constituent aussi un procédé de fabrication de produits recyclés. La volonté d’améliorer la compréhension des écoulements de lave torrentielle en montagne et de lahars sur des édifices volcaniques, qui fut notre point de départ nous a conduit à nous focaliser sur certains problèmes particuliers. Chaque année, dans les Alpes notamment, ces phénomènes mettent en jeu le déplacement d’une grande quantité de sédiments, comme on peut le voir sur la figure1.1. À l’instar de toutes les coulées de débris, la granulométrie des matériaux transportés est très variable, de l’ordre du micron pour les particules d’argile les plus fines à celui du mètre pour les plus gros blocs. Ce type de problème est proche de celui des écoulements de béton.

Une manière de se ramener à un matériau modèle consiste à considérer une suspension mono-disperse dans un fluide à seuil, voir par exemple les expériences d’Ovarlez et al. (2015) ou de Dagois-Bohy et al. (2015).

Cela étant, la modélisation mathématique du cas plus simple où le fluide suspendant est newtonien présente encore de nombreuses zones d’ombre. C’est pourquoi nous allons nous consacrer par la suite à la modélisation de suspensions non-colloïdales de sphères dures dans un fluide newtonien, en d’autres termes, nous étudierons des particules dont la diamètre est supérieur à10⁻⁵m. La taille de ces particules est suffisante pour que les interactions responsables du mouvement brownien soient négligées.

1.2 État de l’art

En dépit de l’apparente simplicité de ce système, les écoulements de suspensions non-colloïdales donnent lieu à des effets non-triviaux. L’article récent deGuazzelli et Pouliquen(2018) réalise une synthèse des différents phénomènes observés ainsi que de leur modélisation. DepuisEinstein(1906), on sait que la viscosité apparente d’une suspension augmente avec de la proportion en volume de la phase granulaire par rapport au mélange. À noter que cette proportion est appelée fraction volumique. Cette première approche théorique ne s’appliquait qu’au cas très dilué et a été complétée pour les cas plus concentrés par la loi empirique deKrieger et Dougherty

9

Figure1.1 : Lave torrentielle ayant coulé en 2009 le dans le briançonnais, son volume est d’environ5000m³. L’image est extraite de (Cossart,2014).

(1959). Suite aux travaux de Gadala-Maria et Acrivos(1980), l’observation d’effets plus complexes tels que la présence de contraintes normales, ou la migration des particules des zones les plus cisaillées vers les zones les moins cisaillées, a conduit à la création de modélisations diphasiques. L’effet du cisaillement sur la phase granulaire d’une suspension est illustré par la figure1.2, tirée de (Guazzelli et Pouliquen,2018). Une sphère seule dans un fluide est soumise uniquement à sa trainée, à son poids et à la poussée d’archimède. La figure1.2 montre que les particules d’une suspension sont aussi soumises à des forces inter-particulaires.

Enfin, l’effet des contacts entre les particules est étudié selon deux axes. Les suspensions très concentrées ont un comportement granulaire, c’est-à-dire que celles-ci se comportent comme un fluide à seuil dont le seuil dépend de la pression particulaire, voir (Boyer et al.,2011b). Des effets transitoires courts ont été observés même dans des cas plus dilués parBlanc et al. (2011a), une partie de ce travail s’attachera à modéliser ces phénomènes.

1.2.1 Panorama

Lorsque l’on aborde le problème de modéliser et de simuler numériquement un écoulement pour une sus- pension de sphères rigides, l’idée la plus immédiate est d’effectuer des simulations directes, c’est-à-dire de représenter individuellement chaque particule en interaction avec le fluide suspendant. Ce choix est celui qui nécessite le moins d’hypothèses de modélisation. En régime dilué, les particules sont le plus souvent éloignées les unes des autres. Chaque particule modifie les valeurs de la vitesse et de la pression dans le fluide, et perturbe donc la trajectoire des autres particules. On peut interpréter ce phénomène comme une interaction hydrodynamique à longue portée entre les particules. À l’heure actuelle, des calculs numériques directs de cette interaction sont possibles, voir par exemple la méthode de Gallier et al. (2014a). En re- vanche, lorsque une majorité de particules sont très proches, c’est-à-dire en régime plus concentré, on doit tenir compte d’interactions hydrodynamiques à faible portée ou d’interactions de contact. Ces deux notions posent des difficultés particulières. Si la force qu’une boule applique sur une autre est de type hydrodyna- mique, c’est-à-dire que celles-ci sont séparées par une couche mince de fluide alors le calcul de l’interaction nécessite celui de la vitesse du fluide entre les deux particules et donc l’utilisation d’un maillage très fin.

Pour diminuer la précision du maillage, il est possible d’utiliser des modèles de lubrification obtenus par analyse asymptotique, comme le modèle de Maury (2007). Si les deux particules se touchent, alors on doit imposer une interaction de contact. La composante normale de celle-ci permet d’assurer une condition de non-pénétration et la composante tangentielle modélise la force de friction qu’elles exercent l’une sur l’autre.

Si la composante normale de l’interaction de contact est modélisée comme une force élastique, on parle alors

Figure 1.2 : La figure (a) décrit une méthode de mesure de la pression que les particules appliquent sur la grille. La figure (b) décrit une méthode de mesure de la pression de la phase fluide. Les figures (c) et (d) représentent des expériences de resuspension, mettant en évidence les forces d’interaction de la phase particulaire dans deux directions différentes. Cette figure est extraite de (Guazzelli et Pouliquen,2018)

de d’un conctact hertzien. Si la contrainte unilatérale est modélisée comme une condition de non-pénétration, on parle alors de contact inélastique. La deuxième approche paraît plus cohérente avec un modèle de type sphère dures pour les particules mais celle-ci nécessite l’utilisation de notions mathématiques plus avancées que la première, du fait de son caractère non-régulier. En pratique, le modèle de contact hertzien est le seul à avoir permis pour l’instant de réaliser des expériences numériques dans le domaine des suspensions. Les modélisations discrètes se placent donc dans le cadre de la mécanique à N corps. Mathématiquement on peut exprimer de tels systèmes en utilisant l’équation deSmoluchowski. Cette équation a pour solution une loi de probabilitéP_N définie sur l’ensemble des configurations possibles pour lesN particules (Morris,2009).

Dans le cadre de l’étude des suspensions, il peut être plus pertinent de ne conserver que deux marginales deP_N,P₁ correspondant à l’intégration de P_N par rapport à toutes les configurations possibles pourN −1 particules et P2 correspondant à l’intégration de P_N par rapport à toutes les configurations possibles pour N −2 particules. Ainsi, la probabilité que le centre de masse d’une particule b se trouve à la position y sachant que le centre de masse de la particulease trouve à la positionxs’écritP_2|1(y,x) =P₂(y,x)/P₁(y). Certains des modèles décrits par la suite n’intègrent que la fonction de distributionP1 et la fonction de dis- tribution de pairesP_2|1, voir par exemple (Brady et Morris,1997) et (Lionberger et Russel,1997) pour plus de détails. Cette fonction de distribution de paires peut permettre de définir deux variables d’état macrosco- piques : la fraction volumiqueψcorrespondant à une moyenne deP1 sur un volume élémentaire de référence et la fonction de distribution de paires moyenneP_1|1 correspondant à une moyenne deP_2|1 par rapport à la première variabley sur un volume élémentaire de référence. Cela nous amène au deuxième point de vue qui consiste à considérer des modélisations continues, c’est-à-dire de penser une suspension commne un milieu continu diphasique, comportant une phase granulaire et une phase fluide. Les grandeurs calculées : vitesses, fraction volumique ou contraintes sont macroscopiques. Elles correspondent d’une part aux grandeurs qui sont mesurées lors d’expériences en laboratoire et d’autre part à des moyennes statistiques sur une des deux phases ou sur le mélange. Ces modélisations impliquent de faire des hypothèses assez fortes, c’est pourquoi il est important de garder à l’esprit que la modification de la microstructure d’une suspension et son compor- tement macroscopique sont des phénomènes couplés, voir (Morris, 2009). Ainsi, il est tout à fait pertinent

d’introduire une modélisation de l’anisotropie de la microstructure. Cette anisotropie peut être modélisée de manière quantitative par un tenseur d’ordre deux appelé tenseur de texture. Cette variable ne correspond pas à une grandeur macroscopique proprement dit mais doit être interprétée comme la déformation d’une micro-structure, nous donnerons plus de détails au chapitre 3. Nous nous attacherons dans ce document à construire un nouveau modèle continu pour les suspensions de sphères dures. Notre réflexion sera orientée selon trois axes. Tout d’abord nous chercherons comment effectuer un lien rigoureux entre les grandeurs ma- croscopiques, exprimées mathématiquement par des moyennes statistiques sur des variables microscopiques, et ces variables microscopiques et ainsi obtenir un système de lois de conservation marcrosopique. Ensuite, nous discuterons de l’ utilisation de la description continue de la microstucture par le tenseur de texture pour déduire des équations de fermeture complétant le système évoqué au premier axe. Enfin, nous verrons quelle structure mathématique donner au système issu des deux premiers points afin d’en garantir une résolution suffusamment précise pour juger de la validité des nombreuses hypothèses que nous aurons posées. Avant de développer cela, nous présenterons un état de l’art des différentes modélisations discrètes ou continues.

1.2.2 Modélisation discrète

L’idée générale poursuivie dans ce type de modélisation est de considérer une suspension comme un problème de mécanique àN corps oùN représente le nombre total de particules. Les premières simulations deTezduyar et al. (1992) et Hu et al. (1992), qui présentaient le mouvement de deux particules dans un fluide, avaient permis de calculer le mouvement relatif de deux particules chutant dans un fluide newtonien,drafting, kissing and tumbling observé par exemple parFortes et al.(1987). Ce premier type de méthode a donné des résultats à plus grande échelle quelques années plus tard (Johnson et Tezduyar, 1999). D’autre part, les algorithmes ont progressé en ce qui concerne le traitement de la phase fluide avec les méthodes Arbitrary Lagrangian Eulerian, voir (Hu,1996) et (Maury et Glowinski,1997). Le nombre de particules simulées a été ainsi porté à cent. Ces méthodes seront développées par exemple pour étudier le comportement marcroscopiques de suspensions de particules rigides (Lefebvre et Maury,2005) ou pour des problèmes de type interaction fluide- structure (Bost et al.,2010). Enfin, des représentations plus efficaces des particules sont entrées en action, par exemple la méthode des domaines fictifs (Glowinski et al.,1999) permettant de déplacer les particules sans devoir modifier le maillage du domaine de calcul. Le chapitre deux du livre (Prosperetti et Tryggvason, 2007), les articles (Haeri et Shrimpton, 2012) et (Wachs et al., 2015) donnent un panorama de ce type de méthode. Dans le cas d’un fluide suspendant complexe, il n’y a pas de modèle classique concernant l’interaction entre une particule et le fluide, on peut citer (Wachs et Frigaard,2016) qui traite l’exemple de la boule dans un fluide de Bingham. En revanche, l’interaction entre un fluide newtonien et une structure a été abondamment étudiée. Ainsi, des méthodes de calcul plus rapides ont pu être développées. Ces méthodes remplacent une résolution numérique dans la phase fluide à une certaine échelle par le calcul explicite d’une interaction hydrodynamique à deux solides. Certaines méthodes prévoient uniquement le calcul explicite des interactions hydrodynamiques de courte portée. D’autres prévoient le calcul d’interactions hydrodynamiques à courte portée et longue portée. Ces approches présentent des hypothèses de modélisation plus fortes mais permettent aussi de simuler un nombre plus grand de particules. D’autre part, lorsque la suspension modélisée est concentrée, l’interaction de contact entre les particules doit être intégrée au calcul numérique.

Nous allons présenter une collection de modèles de simulation directe classés en trois catégories, les modèles de type dynamique stokésienne s’appliquant à des particules en interaction hydrodynamiques dans un écou- lement visqueux non-inertiel, les modèles implémentant une interaction de contact régulière, de type hertzien et ceux de type Coulomb implémentant une interaction de contact singulière. À noter l’article de synthèse récent (Maxey,2017) développant un panorama de différentes méthodes évoquées dans cette sous-section.

Dynamique stokésienne

La compréhension de force de trainée d’une sphère dans un fluide newtonien en régime non-inertiel, la compréhension des interactions hydrodynamiques entre deux sphères (Goldman et al.,1966), (Batchelor et Green, 1972a) ainsi que la modélisation de la force responsable du mouvement brownien (Batchelor,1976), ont donné lieu à la modélistion d’une suspension comme un ensemble de particules en interaction hydrody-

namique. Ainsi, la phase particulaire est modélisée par un système deN corps en interaction. Les calculs des interactions hydrodynamiques à longue portée nécesssitent celui de la vitesse du fluide. En réalisant ce calcul par intégration d’une fonction de Green,Bossis et Brady(1984) ont développé des simulations numériques de particules soumises à des interactions hydrodynamiques à longue portée, voir aussi (O’brien,1979), et (Brady et Bossis,1988) pour plus de détails. Les simulations de type Dynamique Stokésienne ont ensuite été utilisées afin de construire des modèles macroscopiques pour les suspensions, notamment les premières versions du suspension balance model (Nott et Brady, 1994), (Mills et Snabre, 1995) ou (Morris et Boulay, 1999) ou plus généralement pour prédire la rhéologie de suspensions non-colloïdales à partir d’une étude de la micro- structure (Brady et Morris, 1997). La dynamique stokésienne avait à cette occasion prévu une anisotropie de la fonction de distribution de paires moyenne dans des suspensions non-colloïdales qui a pu depuis être observée expérimentalement par Blanc et al. (2013). Ensuite, les prédictions numériques de la dynamique stokésienne ont permis le calcul de contraintes normales liées à la présence d’une phase granulaire dispersée dans un fluide newtonien. L’intégration des interactions de lubrification a été effectuée plus tard, lorsque la prise en compte de la rugosité des particules dans le calcul de la fonction de distribution de paires est apparue comme nécessaire (Rampall et al., 1997) et (Wilson et Davis,2000). Ainsi des interactions de lubrification ont été intégrées par Sierou et Brady (2001) dans l’implémentation d’une méthode de résolution accélérée.

Les phénomènes d’irréversibilité créés par une phase granulaire non-colloïdale ont alors été simulés (Sierou et Brady,2002). Les premières méthodes numériques de type dynamique stokésienne n’étaient pas conçues pour simuler un écoulement en interaction avec une paroi et à fortiori un écoulement viscosimétrique. Une évolution de celle-ci a permis de simuler le comportement d’une suspension lors d’un écoulement de Poiseuille, voir (Swan et Brady,2007) et (Swan et Brady,2011). Depuis une quinzaine d’années, les simulations de type dynamique stokésienne ont été plus fréquemment appliquées aux suspensions colloïdales, traitant aussi le cas polydisperse (Wang et Brady, 2016). On peut aussi noter la variante (Pan et al., 2009). Les méthodes particulaires appliquées aux suspensions non-colloïdales intègrent à présent d’autres phénomènes physiques tels que la présence de termes d’inertie dans la phase liquide d’une part et la présence de forces de contacts solides d’autre part.

Modèles intégrant un modèle de dynamique des contacts réguliers

Nous allons dans cette partie évoquer plusieurs familles de modèles. Celles-ci ont en commun d’intégrer une interaction de contact issue de modèles granulaires secs. Ces modèles présentent une force d’interaction de contact non singulière, voir (Cundall et Strack,1979) et (Luding,2008), contrairement aux méthodes de type non smooth contact dynamics que nous évoquerons au paragraphe suivant. Cambou et al. (2012, chap. 4) donne un comparatif de différentes méthodes de modélisation numérique des interactions de contact dans un milieu granulaire.

La première est un mélange d’un modèle régulier et de dynamique des contacts et d’une version simplifiée de la dynamique stokésienne développée parBall et Melrose(1997) qui ne modélise que des interactions à deux corps. Ce modèle présenté parMari et al.(2014) a permis, entre autres, la simulation de phénomènes observés dans des suspensions très concentrées (Mari et al.,2015), ou dans des écoulements élongationnels (Seto et al., 2017), ainsi que la simulation du comportement d’une suspension lors d’une inversion de cisaillement (Chacko et al., 2018). Les différences de contrainte normale ont aussi été simulées recemment par Seto et Giusteri (2018).

La deuxième est assez proche de la dynamique stokésienne, cependant, elle s’en différencie par la possibilité de rajouter des effets inertiels dans des simulations de suspensions de sphères non-colloïdales en interaction hydrodynamique au cas inertiel. La force coupling method, developpée à l’origine pour des applications de type aérosol (Maxey et al., 1997), a été adaptée aux suspensions par Maxey et Patel (2001) et Lomholt et Maxey (2003). L’intégration d’une interaction de lubrification, a permis de développer le modèle (Yeo et Maxey, 2010b) appliqué à un écoulement de Poiseuille par Yeo et Maxey (2011) et à un écoulement de Couette parYeo et Maxey(2010a). Ensuite, l’ajout d’une interaction de contact régulière a permis de réaliser la simulation d’une inversion de cisaillement (Peters et al.,2016).

La troisième méthode a été developpée par Gallier et al. (2014a). Cette méthode implémente une version améliorée de la méthode des domaines fictifs (Patankar et al.,2000). Le domaine occupé par une particule doit

être en translation-rotation solide. Cela est imposé explicitement au lieu d’être imposé par un multiplicateur de Lagrange associé à une contrainte de non-déformation comme dans la version originale de la méthode des domaines fictifs (Glowinski et al.,1999). En associant à cette méthode une interaction de contact régulière, il a été possible de simuler les effets de la rugosité des particules sur la rhéologie des suspensions (Gallier et al., 2014c) et de simuler des phénomènes de migration sous écoulement (Gallier et al.,2016). Nous renvoyons à l’article récent de Gallier et al. (2018) pour une comparaison entre cette troisième méthode et la première méthode exposée, pour des suspensions colloïdales bidisperses. Il est important de préciser que cette compa- raison est effectuée avec le même modèle pour les contacts, la seule différence réside dans la résolution des interactions hydrodynamiques à longue portée.

On peut remarquer que la troisième méthode ne peut résoudre correctement la vitesse et la pression dans la phase fluide lorsque les particules sont trop proches, c’est-à-dire à une distance inférieure à la taille d’une maille. Cependant les phénomènes impliqués comme le drainage par exemple, ont des effets importants et sont modélisés par une interaction hydrodynamique. Nous allons voir comment l’utilisation d’interactions de contact non régulières permet d’affiner la modélisation de ces phénomènes. On notera cependant que l’approche plus technique que nous présentons au paragraphe suivant n’a pas encore été développée sur un large champ d’applications.

Modèles intégrant un modèle de dynamique des contacts non-régulier

L’interaction entre deux solides se modélise de manière classique par une force de type Coulomb. Le problème d’intégrer cette interaction à des milieux granulaires secs est assez technique car il nécessite l’intégration d’une contrainte unilatérale (Moreau,1985) à un système d’équations différentielles (Moreau,1988). Les problèmes de type contrainte unilatérale avaient trouvé une formulation mathématique rigoureuse dans le contexte de la mécanique des milieux continus (Duvaut et Lions, 1972), puis ils ont été intégrés dans des systèmes dy- namiques discrets faisant appel à des équations différentielles ordinaires non régulières (Paoli et Schatzman, 1993), voir l’article de synthèse (Stewart,2000). Des méthodes numériques de dynamique des contacts non régulières ont alors vu le jour (Moreau,1993). L’article (Dubois et al., 2018) donne un panorama du déve- loppement de ces méthodes. Bien souvent, celles-ci sont appliquées au cas d’un contact de type granulaire sec. Nous nous focalisons sur des applications au cas où le contact est immergé dans un fluide visqueux.

L’algorithme de dynamique des contacts non régulière (Maury, 2006) couplé avec une méthode de péna- lisation a permis d’effectuer une simulation de sphères en suspension dans un fluide newtonien (Lefebvre, 2007a) ou (Verdon et al., 2012). Lorsque le nombre de particules devient très grand, ce modèle tend vers un modèle macroscopique voir (Lefebvre,2007b), (Lefebvre-Lepot et Maury,2011). La dynamique des mou- vements de foule, qui peut être vue comme un phénomène granulaire (Faure et Maury, 2015), en est une première application (Maury et al.,2010). Plus généralement on peut voir ce problème comme une limite de fluide compressible congestionné, voir (Bresch et al.,2014) et (Perrin,2016). Nous reviendrons plus tard sur l’utilisation de ce résultat récent dans la construction d’un modèle continu de suspensions.

À la frontière entre les modèles discrets et les modèles continus on peut citer les simulations de type Lattice Botzmann. Nous renvoyons à la sous-section 4.2 de (Maxey,2017) pour plus de détails.

L’utilisation de simulations discrètes intégrant des modèles de contact réguliers a permis de mettre en évi- dence des liens entre la rhéologie des suspensions et leur microstructure. En particulier l’anisotropie de la microstructure en cisaillement simple entraine la présence de contraintes normales et d’effets transitoires rapides. Certains modèles sont issus d’hypothèses plus fortes que d’autres et on peut se demander quel est l’effet de ces hypothèses. Des comparaisons ont été effectuées récemment pour les interactions à longue portée parGallier et al.(2018) mais celles-ci restent à faire pour les interactions de contact, ceci étant probablement dû aux difficultés de résolution posées par les modèles non-réguliers. Pour contourner cette difficulté il se- rait envisageable d’intégrer des modélisations macroscopiques non-régulières de l’interaction de contact à un modèle continu capable de reproduire l’anisotropie de la microstructure observée en cisaillement simple par exemple. En outre l’utilisation de modèles continus permet d’effectuer des simulations à plus grande échelle car le nombre de particules discrètes simulées est de l’ordre de 10³. Les modélisations discrètes permettent donc d’observer uniquemment des effets à l’échelle de quelques volumes élémentaires de référence.

1.2.3 Modélisation continue

Lorsqu’on se pose le problème de la modélisation d’une suspension comme un milieu continu, on fait face à des phénomènes se produisant à des échelles très diverses. La déformation du réseau des voisins d’un grain a des effets macroscopiques en temps court. Sur des échelles de temps ou de déformation suffisamment longues pour que les réarrangements microscopiques soient en régime stationnaire, les suspensions montrent tout de même des comportements non newtoniens très marqués. Enfin sur des échelles de temps plus longues, les particules migrent dans le fluide. Nous présentons ces différents sujets d’étude en les regroupant en deux paragraphes. Le premier traite de la rhéologie des suspensions, ce qui correspond aux phénomènes observés aux deux échelles de temps les plus courtes. Le deuxième traite de la modélisation des suspensions comme un milieu diphasique, cela permettra de couvrir les trois échelles de temps et d’espace mentionnées.

Rhéologie

La viscosité apparente d’une suspension est un sujet d’étude depuis plus d’un siècle. Pour les suspensions très diluées, on doit des résultats théoriques pour un fluide suspendant newtonien à Einstein(1906) et Bat- chelor et Green(1972b) donnant un développement asymptotique de la viscosité apparente d’une suspension respectivement à l’ordre un puis à l’ordre deux. Les résultats concernant des régimes plus concentrés sont plus empiriques. Il a été d’abord observé que la viscosité apparente d’une suspension diverge vers l’infini lorsque sa fraction volumique tend vers une valeur maximale. La loi de Maron-Pierce (Maron et Pierce, 1956) modélise ce phénomnène par une divergence quadratique. Plus tard, Krieger (1972) propose une loi pour la viscosité apparente d’une suspension très proche de celle de Maron et Pierce (1956) mais dont le développement de Taylor en régime très dilué correspond à celui proposé par Einstein (1906). Une autre variante est aussi proposée dans (Morris et Boulay, 1999). Mais les suspensions dans un fluide newtonien ne sont pas simplement des fluides newtoniens à viscosité variable, la présence de particules induit celle de contraintes normales proportionnelles au taux de cisaillement. Celles-ci ont été obervées pour la première fois par Gadala-Maria et Acrivos (1980). Ensuite, Nott et Brady (1994) a intégré celles-ci à la première version du suspension balance model, un modèle continu diphasique fondé sur des versions moyennées des lois de conservation. La compréhension de ces contraintes normales a fait l’objet d’études théoriques (Brady et Morris, 1997) et de mesures expérimentales (Zarraga et al., 2000), (Singh et Nott, 2003) ou bien plus tard (Couturier et al., 2011) et (Dbouk et al., 2013b). Ainsi l’article (Miller et Morris, 2006) donne une modélisation de la rhéologie des suspensions semi-concentrées en cisaillement simple. Outre le fait que la formulation donnée parMiller et Morris (2006) ne peut s’appliquer qu’à des écoulements viscosimétriques, deux effets ne sont pas modélisés.

Tout d’abord, lorsque l’on s’approche de la fraction volumique maximale, des effets granulaires impliquant un seuil dépendant de la pression apparaissent, voir par exemple (Boyer et al., 2011a) qui propose une variante de la rhéologie granulaire µ(I) (Jop et al., 2006) pour prédire le comportement d’une suspension très concentrée. Ces lois empiriques ont pu être comparées à des résultats théoriques issus d’une approche de type micro-macro (DeGiuli et al., 2015). D’autre part, ces phénomènes granulaires peuvent aussi être interprétés comme un rhéo-épaississement brutal (Wyart et Cates,2014). L’article (Lecampion et Garagash, 2014) intègre ces termes granulaires au suspension balance model.

Ensuite, lors d’une inversion de cisaillement, une suspension présente une baisse de la viscosité apparente suivie d’une relaxation vers un état stationnaire, voir (Gadala-Maria et Acrivos, 1980), (Narumi et al., 2002), (Kolli et al., 2002) ou (Blanc et al.,2011a). Ce phénomène peut être modélisé à l’aide d’un tenseur de texture, certains modèles font aussi intervenir un tenseur d’ordre quatre (Phan-Thien, 1995), d’autres présentent un nombre de paramètres ajustables très important (Goddard,2006). L’article (Stickel et al.,2006) donne un lien explicite entre ce tenseur de texture et l’anisotropie de la microstructure. Nous reviendrons sur ce sujet plus tard, à la lumière de mesures expérimentales de la fonction de distribution de paires (Blanc et al.,2013).

Les modèles à tenseur de texture présentent l’intérét de produire des contraintes exprimées indépendamment de la géométrie de l’écoulement, ce qui n’est pas le cas de ceux proposés parMiller et Morris (2006) ouLe- campion et Garagash(2014). En outre, la modélisation explicite de la microstrucutre qu’ils proposent permet

à elle seule de reproduire des effets en temps courts. Cela étant, aucun des modèles à tenseur de texture cités ici ne présente de comparaison convaincante avec des données expérimentales et aucun ne présente de modélisation explicite macroscopique des effets granulaires.

Milieu diphasique

Lorsque l’on met en mouvement une suspension de sphères dures par exemple dans un rhéomètre de Couette, on peut observer une évolution de la distribution de particules. Plus précisément, un échantillon présentant une fraction volumique uniforme au repos présentera des variations spatiales importantes de fraction volu- mique après avoir été mis en mouvement, voir (Gadala-Maria et Acrivos, 1980) ou (Lyon et Leal, 1998).

Cela nous amène à ne plus considérer une suspension uniquement comme un fluide complexe homogène mais aussi comme un milieu diphasique. Dans ce contexte, il apparaît comme tout à fait pertinent d’étudier le mouvement relatif d’une phase par rapport à l’autre ainsi que les interactions qui les relient. Ce sujet très vaste peut être décrit selon quatre thématiques :

Un premier axe consiste à étudier les suspensions comme un milieu continu incompressible aux proprié- tés physiques hétérogènes. Ce point de vue a été utilisé pour simuler numériquement des phénomènes de migration sous écoulement lorsque les densités des sphères et du fluide sont proches, voire égales. Les pro- blèmes mathématiques posés se présentent sous la forme d’un système de type Navier-Stokes incompressible à viscosité variable couplé à une équation de réaction-advection-diffusion. Aux premiers modèles de flux diffusifs (Leighton et Acrivos,1987) et (Phillips et al.,1992) succède une famille de problèmes continus issus dususpension balance model (Nott et Brady,1994). On peut citer par exemple (Mills et Snabre,1995), (Fang et al.,2002), (Miller et Morris,2006) ou (Ramachandran et Leighton, 2008). Ainsi, des simulations numé- riques ont pu être effectuées par exemple dans le cas d’un écoulement de Poiseuille (Dbouk et al.,2013a) ou autour d’un obstacle (Dbouk,2016). D’autre part, un terme de seuil granulaire a été rajouté par (Lecampion et Garagash,2014).

Un deuxième axe vise à dériver des lois de conservation sur des grandeurs moyennées à partir des conserva- tions de la masse et de la quantité de mouvement à l’interieur de la phase fluide et de la phase particulaire, voir par exemple (Zhang et Prosperetti,1994), (Jackson,1997) ou (Jackson,2000). Ces méthodes construites avec des arguments de physique statistique (Irving et Kirkwood, 1950) avaient été appliquées aux écoule- ments diphasiques depuis longtemps (Anderson et Jackson, 1967). Celles-ci ont été reliées à la dynamique stokésienne et aux modèles de flux diffusifs par Nott et Brady (1994). Etant à l’origine d’une majorité des modèles mentionnés ci-dessus, cette approche a représenté une grande avancée. Cela étant, celle-ci ne traite pas de manière très rigoureuse la moyenne des forces internes à la phase particulaire, voir (Lhuillier,2009) et (Nott et al.,2011).

Un troisième axe s’attache à appliquer les équations moyennées mentionnées ci-dessus au cas ou la phase granulaire est plus dense que la phase liquide, c’est-à-dire que l’on cherche à modéliser par exemple un transport de sédiments dans de l’eau ou une avalanche sous-marine. Dans ce cas, la phase granulaire est proche de la compaction maximale, elle constitue un lit fluidisé. Le livre (Jackson,2000) donne un fondement théorique à la modélisation de ce type d’écoulements. Une fermeture développée par Ouriemi et al. (2009) a permis le développement du modèle de transport de sédiments (Chauchat et Médale,2010). Parallèlement à cela des applications géophysiques ont motivé la dérivation de systèmes moyennés dans l’épaisseur. Un premier modèle moyenné issu de (Jackson,2000) est dérivé dans (Bouchut et al.,2015), celui-ci suppose une phase granulaire incompressible alors que celle-ci est dilatante, voir (Bouchut et al., 2016a). L’interaction entre le lit fluidisé et la zone dépourvue de particules peut aussi être modélisée par un système de typesaint venant exner (Fernández-Nieto et al.,2017).

Un quatrième axe a vu le jour plus récemment. La phase granulaire d’une suspension peut être ici vue comme un milieu continu compressible congestionné. Ce type d’approche a été développée pour modéliser le traffic routier ou les mouvements de foule (Faure et Maury,2015). Le cadre théorique exposé dans (Bresch et al., 2014) ouvre la voie à une modélisation continue du temps de latence impliqué dans les phénomènes de contacts visqueux, voir Bresch et al. (2018), qui expriment ce temps de latence comme l’évolution d’un paramètre scalaire. Les phénomènes physiques mis en jeu étant les mêmes, il est tout à fait raisonnable d’envisager un

lien entre ce paramètre de latence et le tenseur de texture que nous introduirons au chapitre 3.

L’idée de modéliser la phase granulaire d’une suspension comme un fluide compressible congestionné paraît très porteuse. En effet, elle permet entre autres d’introduire des formulations faisant appel à des outils mathématiques récents. Ces nouvelles formulations peuvent ouvrir des angles d’attaque différents face aux nombreuses difficultés que pose la résolution des systèmes continus proposés actuellement, du fait de leur complexité. La réalisation de cette idée nécessite cependant que des liens entre les trois premières approches citées et les modèles congestionnés soient réalisés rigoureusement. Il reste beaucoup à faire en la matière.

1.3 Plan

Parmi les différentes pistes de reflexion mentionnées à la section1.2, nous nous attacherons dans ce document à proposer un nouveau modèle rhéologique à tenseur de texture ne traitant pas explicitement les termes de friction mais permettant de reproduire quantitativement l’anisotropie de la microstrucure ainsi que ses effets macroscopiques. Ce modèle rhéologique sera intégré dans un système diphasique de lois de conservation.

Nous donnerons une construction rigoureuse de ce système avant d’en proposer une fermeture comprenant un sous-système de type fluide compressible congestionné. Nous obtiendrons un problème mathématique très différent de ceux issus dususpension balance model en dépit du fait que notre modèle partagera avec ceux-ci certaines hypothèses de fermeture. Les chapitres2,3,4et5 constitueront le corps de ce document que nous conclurons au chapitre6. Nous présentons ici brièvement l’organisation.

Le chapitre2 présente une réécriture et un approfondissement de l’article (Jackson, 1997). En apportant des précisions sur les outils mathématiques utilisés, nous montrons que les développements asymptotiques présentés parJackson(1997) contenaient quelques erreurs concernant l’ordre de certains des termes mention- nés. Ces développements permettent de faire un lien entre les grandeurs physiques microscopiques propres aux suspensions, c’est-à-dire la vitesse et la pression du fluide, la vitesse de chaque particule, les forces ap- pliquées à celles-ci et des grandeurs physiques macroscopiques. Cette étude s’inscrit dans la démarche initiée parLhuillier(2009) etNott et al.(2011). Le but est d’écrire des modèles diphasiques de suspension complets en effectuant des fermetures le plus rigoureusement possible. Nous concluons ce chapitre par une formulation de deux modèles classiques dans le cadre que nous avons défini.

Le chapitre 3 est constitué d’un article publié Ozenda et al. (2018). Nous présentons dans ce chapitre un nouveau modèle rhéologique permettant de prédire des effets transitoires observés notamment lors d’une inversion de cisaillement (Blanc et al.,2011a). Dans ce but, nous introduisons une dépendance du tenseur de contrainte de Cauchy à un tenseur de conformation, modélisant la déformation de la microstructure. Nous obtenons un modèle proche de celui d’un fluide visco-élastique de type Oldroyd, à ceci près que nous pré- voyons bon nombre de comportements typiques des suspensions, en particulier le fait que des phénomènes transitoires dépendent de la déformation et non du temps. L’apport de ce chapitre consiste en des comparai- sons quantitatives et simultanées du comportement transitoire de la viscosité apparente lors d’une inversion de cisaillement et de l’angle de déplétion que présente la fonction de distribution de paires.

Le chapitre 4 développe une extension du modèle présenté au chapitre 3. Ce premier modèle présentait l’interêt d’être minimaliste mais ne modélisait pas les contraintes normales correctement. En ajoutant quatre paramètres ajustables, nous avons pu améliorer ces prédictions en conservant les qualités du premier modèle.

Pour effectuer ces comparaisons, nous avons utilisé un jeu de données expérimentales hétérogènes. Cela nous a conduit à comparer des grandeurs les moins sensibles possible aux conditions expérimentales. Nous verrons qu’il est possible d’utiliser des variables réduites pour contourner en partie ces difficultés. Les contraintes normales jouant une rôle prépondérant dans l’établissement de phénomènes de migration, ce nouveau modèle ouvre la voie à des modélisations en géométrie quelconque valables sur une grande plage d’échelles de temps, de la déformation du réseau de voisins à l’établissement d’un profil de fraction volumique stationnaire.

Le chapitre 5 reprend les résultats du chapitre 2 et les place dans le cadre mathématique des systèmes compressibles congestionnés (Bresch et al.,2014). Nous construisons ainsi un système comportant cinq in- connues : deux vitesses, deux pressions et la fraction volumique. Ce cadre est compatible à la fois avec des rhéologies empiriques (Miller et Morris,2006) et avec le nouveau modèle rhéologique présenté au chapitre4.

L’originalité de ce système par rapport aux modèles plus classiques est double. Premièrement nous conser- vons une inconnue de type vitesse pour la phase particulaire, cela permet de contrôler facilement le flux de particules au bord du domaine. Deuxièmement nous imposons explicitement au niveau continu la condition de non-pénétration des particules en ajoutant une contrainte unilatérale sur la fraction volumique. Nous terminons ce chapitre par une application de ce nouveau système à l’écoulement dans un tuyau cylindrique.

Modélisation continue des suspensions

Le but du présent chapitre est de justifier la construction de modèles continus pour les suspensions de sphères dures à partir du tenseur de Cauchy du fluide suspendant, des forces d’interaction entre les particules ainsi que de l’interaction entre le fluide et les particules. La méthode utilisée consiste à effectuer des moyennes sur des domaines grands devant la taille des particules considérées, c’est-à-dire à l’échelle mésoscopique. Le but de cette démarche est de formuler des systèmes de lois de conservation à l’échelle macroscopique. Les résultats et raisonnements présentés dans les trois premières sections de ce chapitre sont très proches de ceux présentés dans l’article de Jackson (1997) ou des chapitres un et deux du livre (Jackson,2000). Cependant ces trois premières sections constituent plus qu’une réécriture dans la mesure où les outils mathématiques supplémentaires utilisés ont permis de justifier rigoureusement les développements asymptotiques présentés.

Ainsi, nous mettrons en évidence que les systèmes de lois de conservation présentés dans (Jackson, 1997) présentent des termes négligeables devant l’ordre de l’approximation annoncée. L’intérêt de ces trois premières sections est purement théorique dans la mesure où il est nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires pour obtenir un modèle permettant de prévoir le comportement macroscopique d’une suspension. C’est pourquoi nous donnerons par la suite une construction de modèles classiques sans inertie. Nous commencerons par le modèle original d’Einstein (1906) puis nous effectuerons celle dususpension balance model (Miller et Morris,2006). Ce chapitre sera donc structuré en quatre sections.

Une première section permettra de donner une formulation à l’échelle de la particule des différentes vitesses et interactions mises en jeu. Une deuxième section traitera des méthodes mathématiques utilisées pour effectuer des moyennes sur les quantités introduites précédemment et donc réaliser notre modélisation continue. Une troisième section présentera des développements asymptotiques de nos grandeurs moyennées et conduira à l’établissement de systèmes de lois de conservation. Enfin, après avoir présenté la construction de modèles non inertiels, nous argumenterons dans une quatrième section la pertinence de supposer que le nombre de Reynolds est non nul d’une part et d’autre part celle de chercher de nouveaux modèles rhéologiques.

2.1 Modélisation discrète

Dans ce chapitre, on utilisera librement la notation d’Einstein afin d’alléger la typographie des certaines preuves.

2.1.1 Formulation du problème

On considère un ouvert Ω ⊂ R³ borné occupé par une suspension de particules rigides sphériques mono- disperses. Le nombre de particules contenues dans Ω est noté N et, pour 1 6 i 6 N, on note Λ_i(t) le domaine ouvert occupé par lai^eme particule à l’instantt:

Λ_i(t) ={x∈R³ ; |x−x_i(t)|< r_p}

où x_i(t) est le centre de Λ_i(t) et r_p son rayon voir la figure 2.1. L est une grandeur caractéristique de l’écoulement, par exemple le diamètre de Ω. On supposera par la suite que rp L afin de construire un

19

Ω

Λ

L

Figure 2.1 :

modèle continu pour la phase particulaire et donc pour le mélange. On note Λ = ⁴₃πr³_p le volume d’une particule et pour un domaine D,∂D désigne sa frontière. On définit :

Ω_p(t) = [N

i=1

Λ_i(t) Ω_f(t) = int (Ω\Ω_p(t))

IciΩ_p(t)représente la phase granulaire, c’est-à-dire l’union des domaines occupés par les particulesΛ_i.Ω_f(t) est l’intérieur de son complémentaire occupé par le fluide. La normale sortante àΩp(t)est notéen(t,x): elle est définie pour tout x∈∂Ω_p(t) et t>0. Elle est donc entrante dansΩ_f(t). On note ρ_f et ρ_s les densités respectives du fluide et des particules solides, supposées constantes, ainsi que

ρ(t,x) =

ρ_f six∈Ω_f(t) ρ_s six∈Ω_p(t)

On note u le champ de vecteur des vitesses dans le milieu continu composé du fluide et des particules et D(u) = ∇u+∇u^T

2 . On suppose qu’il y a adhérence du fluide aux particules :uest continu à la traversée de

∂Ω_p(t). La densitéρ_f étant constante, la conservation de la masse dans le milieu fluide se réduit àdivu= 0 dansΩ_f(t). Par ailleurs, les particules étant en déplacement rigide, on aD(u) = 0dansΩ_p(t). En particulier, en remarquant quetr(D(u)) = divu, on obtientdivu= 0 dansΩ_p(t) également. Finalement :

divu= 0 dansΩ_p(t)∪Ω_f(t) (2.1)

Signalons que même sidivu= 0dansΩ, la densitéρn’est pas globalement uniforme bien que celle-ci le soit dans chacune des deux phasesΩ_p(t) etΩ_f(t).

On noteu¯_i la vitesse du centre de massex_i de la i-ème particule : u¯i(t) = dx_i

dt (t) (2.2)

Par commodité, on note aussi, pour toutt>0 etx∈Ω : u(t,¯ x) =

u¯i(t) si x∈Λi(t) 0 sinon

Les particules étant en mouvement rigide, la vitesse dans lai-ème particule s’écrit :

u(t,x) =u¯i(t) +ωi(t)∧(x−xi(t)) dansΛi(t) (2.3)

oùω_i(t) est le vecteur rotation dansΛ_i(t). On note : ω(t,x) =

ω_i(t) si x∈Λ_i(t)

0 sinon

Les particules rigides satisfont une condition de non-pénétration

Λ_i(t)∩Λ_j(t) = ∅ ⇐⇒ |x_j(t)−x_i(t)| > 2r_p, ∀(i, j), i6=j

Lorsque les particules sont en contact, ce contact a lieu à l’intersection des bords des deux particules. Il est réduit à un point pour deux particules sphériques, et est noté x_i,j(t) :

∂Λ_i(t)∩∂Λ_j(t) =

∅ si |x_j(t)−x_i(t)|>2r_p {x_i,j(t)} si |x_j(t)−x_i(t)|= 2r_p

Lorsque i = j, on note x_i,i(t) un point quelconque de ∂Λ_i(t). De même, pouri 6= j et lorsqu’il n’y a pas contact, on désignera par xi,j(t) un point quelconque de ∂Λi(t) ∪∂Λj(t). En cas de contact, c’est-à-dire lorsque|x_j(t)−x_i(t)|= 2r_p, on ax_i,j(t) =x_j,i(t). Pouri6=j, le vecteur normal sortantnà Λ_i(t)au point de contactx_i,j est donné par

n_i,j(t) = x_i,j(t)−x_i(t)

|x_i,j(t)−x_i(t)| (2.4)

Lorsque i = j, on définit également n_i,i(t) = 0. Les vitesses à la surface de chaque particule au point de contact peuvent être différentes c’est pourquoi on distingue :

u_i,j(t) = u¯_i(t) +ω_i(t)∧(x_i,j(t)−x_i(t)) u_j,i(t) = u¯_j(t) +ω_j(t)∧(x_i,j(t)−x_j(t))

On définit f_c(i,j), la force que la particule i produit sur la particule j par contact. La force de contact est nulle lorsqu’il n’y a pas contact :

f_c,(i,j)(t) = 0, ∀(i, j) tels que|xj(t)−xi(t)| > 2rp

Lorsque i= j, on définit également f_c,(i,i)(t) = 0. Lorsqu’il y a contact, les vitesses et les forces sont liées par deux relations : une condition de type Signorini relie leurs composantes normales :

0 6 f_c,(i,j)(t)·n_i,j(t) ⊥(u_j,i(t)−u_i,j(t))·n_i,j(t) > 0, ∀(i, j) tels que|x_j(t)−x_i(t)|= 2r_p (2.5a) et l’équation de glissement-frottement deCoulomb relie leurs composantes tangentielles :





|f_tc,(i,j)(t)|6µ(f_c,(i,j)(t)·ni,j(t)) si u_t,(j,i)(t)−u_t,(i,j)(t) = 0 f_tc,(i,j)(t) =µ(f_c,(i,j)(t)·ni,j(t)) u_t,(j,i)(t)−u_t,(i,j)(t)

|u_t,(j,i)(t)−u_t,(i,j)(t)| si u_t,(j,i)(t)−u_t,(i,j)(t)6= 0 (2.5b) oùµ>0est le coefficient de friction du modèle de Coulomb. L’équation (2.5a), mentionne une inéquation de type contact unilatéral dont nous rappelons la signification :06a⊥b>0⇔a>0 etb>0etab= 0. Dans (2.5b) on a utilisé les notations suivantes pour les composantes tangentielles de la vitesse relative et de la force :

u_t,(i,j)(t) = ui,j(t)−(ui,j(t)·ni,j(t))ni,j(t) f_tc,(i,j)(t) = f_c,(i,j)(t)−(f_c,(i,j)(t)·ni,j(t))ni,j(t)

Enfin, suivant le principe de l’action et de la réaction, on a : f_c,(j,i)(t) =−f_c,(i,j)(t). On note g la gravité etσ le tenseur de contrainte de Cauchy. La conservation de la quantité de mouvement dans la phase fluide s’écrit :

ρ_f ∂u

∂t + (u· ∇)u

−divσ = ρ_fg dansΩ_f(t) (2.6)