Comparaisons quantitatives avec des expériences

Le modèle présenté ici a permis d’établir des résultats présentant un accord qualitatif avec les mesures ex-périmentales. Nous allons voir dans quelle mesure des comparaisons quantitatives avec un jeu de données expérimentales couvrant un large panel de valeurs pour la fraction volumique sont réalisables. Des profils de viscosité apparente en régime transitoire, lors d’une inversion de cisaillement ont été mesurés par Blanc et al. (2011a). En régime établi, Couturier et al. (2011) et Dbouk et al. (2013b) ont réalisé des mesures de différences de contrainte normale. Ces trois jeux de données expérimentales ont été mesurées dans des suspensions dont les propriétés physiques sont variables. Blanc et al. (2011a) ont préparé des suspensions de sphères en PMMA d’un rayon der_p = 16 µmdans un fluide d’une viscosité η₀ = 1.02 P a.s. La fraction volumique maximale annoncée parBlanc et al.(2011a),φ_m= 0.535est assez faible, cela pourrait être lié au procédé de fabrication des sphères, responsable de la présence de cellulose à la surface de celles-ci.Couturier et al.(2011) ont préparé des suspensions de sphères en polystyrène d’un rayon der_p = 35µmdans un fluide de viscositéη₀ = 2.15P a.s. La fraction volumique maximale annoncée parCouturier et al.(2011),φ_m = 0.62 est assez élevée.Dbouk et al.(2013b) ont aussi utilisé des sphères en polystyrène d’un rayon de rp = 70µm

et différents fluides de viscosité variable0.056η₀6 0.5.Dbouk et al.(2013b) annoncent une fraction volu-mique maximale φ_m = 0.58. En outre, les fluides suspendant utilisés sont différents d’une expérience à une autre. En dépit des différences entre les différents protocole expérimentaux que nous venons de mentionner, nous cherchons un unique jeu de paramètres indépendants de la fraction volumique,{a, δ^¯₂ β^¯_i, i∈ {1,2,3}} pour lequel les prédictions de notre modèle sont en accord à la fois avec les mesures de viscosité apparente lors d’une inversion de cisaillement et avec celles de différences de contrainte normale en régime établi. La librairie de résolution d’équations différentielles ordinaires lsode développée par Radhakrishnan et Hind-marsh (1993) est utilisée pour résoudre (4.4a)-(4.4c) ainsi que (4.5a)-(4.5d) lorsque σ_xy est imposé et que γ˙ est inconnu. Cette librairie a été utilisée à travers une interface vers le langagepython. Cette interface a été implémentée dans l’environnementnumpy-scipyproposé parJones et al.(2001–). La librairie d’optimisation lmfit proposée par Newville et al. (2016), implémente entre autre une interface vers python de netlib. Nous allons utiliser celle-ci pour ajuster les valeurs des six paramètres matériels indépendants de la fraction volumique. La méthode utilise de manière simultanée les données provenant d’expériences réalisées en régime établi par Blanc et al.(2011a) et celles provenant d’expériences réalisées en régime établi par Dbouk et al.

(2013b). Les détails de la méthode de minimisation seront données dans la partie4.5et les valeurs obtenues sont regroupées dans la table4.1.

Nous commentons à présent la comparaison entre les prédictions du modèle intégrant les valeurs des para-mètres matériels ajustées et les observations expérimentales. À noter que la valeur de la fraction volumique maximale donnée par Blanc et al. (2011a) est assez faible comparée à celle donnée par toutes les autres mesures,φ_m = 0.535contre 0.56 6φ_m 60.58. Cette différence s’explique par la présence de rugosités dues à la fabrication des billes d’aprèsBlanc et al. (2011a).

3 3.5 4 4.5 0 2 4 6 ηapp (Pa.s) φ= 0.30

γ

experiment model 0 10 20 30 0 1 2 3 4 ηapp (Pa.s) φ= 0.44

γ

experiment model 0 100 200 300 0 1 2 3 ηapp (Pa.s) φ= 0.50

γ

experiment model 1 101 102 103 10−2 10−1 1 ηapp(Pa.s) −2 1−ψ model experiment

Figure 4.2 : viscosité apparente en fonction de la déformation pendant une inversion de cisaillement : comparaison entre les prédictions du modèle et les mesures expérimentales de Blanc et al. (2011a) pour plusieurs valeurs de la fraction volumique ψ. En bas à droite : la viscosité apparente en fonction de la fraction volumiqueψ.

−0.2 0 0.2 0 0.5 1

N

₁

η

_app

|γ˙|

ψ

Dbouk et al. Couturier et al. present 0 0.3 0.6 0 0.5 1

−N

₂

η

_app

|γ˙|

ψ

Dbouk et al. Couturier et al. present

Figure 4.3 : Les différences de contrainte normale en cisaillement simple en fonction de la fraction volu-mique : comparaison entre les prédictions du modèle et les mesures expérimentales deDbouk et al. (2013b) etCouturier et al.(2011)

La figure 4.2 représente le comportement transitoire de la viscosité apparente ηapp(γ) en fonction de la déformation totale γ(t), pour plusieurs valeurs de la fraction volumique. Rappelons ici que la déformation totale est définie par :γ(t) =Rt

0|γ˙(s)|dset que l’expérience à l’origine des données a été réalisée à contrainte imposée, c’est-à-dire que le taux de cisaillementγ˙(t)varie et il est une inconnue du problème. On notera que l’accord entre les prédictions du modèle et les mesures expérimentales est bon pour toutes les valeurs de la fraction volumique. On remarque que pourφ= 0.30 le modèle prévoit un maximum local suivi d’une lente relaxation. En bas à droite de la Fig. 4.2, la valeur en régime permanent de la viscosité apparente prédite par (4.7a) est comparée aux données expérimentales et l’accord est excellent.

La figure4.3 représente les différences de contrainte normale en fonction de la fraction volumique en régime établi. Les prédictions du modèle sont comparées aux mesures expérimentales deDbouk et al.(2013b) et Cou-turier et al.(2011). On rappelle queN₂ est négative et domineN₁, dont le signe est sujet à controverse, voir par exemple (Denn et Morris,2014). On observe que le modèle reproduit correctement les comportements qualitatifs des différences de contrainte normale :N₂ <0et|N₁|<|N₂|. Les deux jeux de données expérimen-tales font état d’une amplitude assez petite pourN₁ devant celle deN₂ mais les auteurs n’obtiennent pas le même signe pourN₁. Le modèle présenté ici prédit pour la première différence de contrainte normale réduite

α₁ = ^N1

ηappγ˙ un profil non monotone en fonction deψ, s’annulant pourψ= 0 et pourψ= 1. L’amplitude de

α₁ est en accord avec les observations, le signe deα₁ prédit est le même que celui mesuré par Dbouk et al.

(2013b). Les prédictions pour la deuxième différence de contrainte normale réduite α₂ = ^N2

η_appγ˙ présentent des valeurs négatives, en accord quantitatif avec les deux jeux de données expérimentales, le profil en fonction deψ est croissant en amplitude.

La figure 4.4 compare la pression particulaire pp calculée à l’aide du modèle présenté ici avec les mesures deDeboeuf et al.(2009). On notera que l’accord avec les données expérimentales est assez bon, en particulier pour des particules de rayon r = 80µm. À noter que ces prédictions ont été obtenues avec les paramètres matériels donnés dans la table4.1, qui avaient été ajustés avec les données deBlanc et al.(2011a) et deDbouk et al.(2013b), c’est-à-dire que le fluide et les particules utilisés pour effectuer les mesures de pression (Deboeuf et al.,2009) sont différents de ceux utilisés pour régler les paramètres du modèle. Ce résultat est cohérent avec les simulations discrètes de Gallier et al. (2014b) qui prévoient une faible dépendance de la pression

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1

p

_p

η

_app

|γ˙|

ψ

Deboeuf r = 40µm

r = 80µm

r = 140µm

present

Figure 4.4 : La pression particulaire en cisaillement simple en fonction de la fraction volumique : compa-raison entre les prédictions du modèle et les mesures expérimentales deDeboeuf et al.(2009) effectuées avec trois distributions de particules dont le rayon est notér.

particulaire aux paramètres expérimentaux. Ces prédictions, réalisées indépendamment de la procédure de calibration du modèle constituent donc une validation de celui-ci.

Remarque 4.4. Le calcul des profils deα₁ et α₂ en fonction de ψreprésentés à la figure 4.3a nécessite le choix des paramètresa,b,ω,η¯_e,_δ¯

iet_β¯

i, présentés dans la table4.1. Le calcul des profils de viscosité apparente en fonction γ représentes à la figure4.2a nécessité le choix des valeurs deη(ψ),η_e(ψ),δ_i(ψ), β_i(ψ) et de a

pour différentes valeurs deψ. Le paramètre de dérivationaa été pris constant pour toutes les comparaisons effectuées. Les valeurs deδ₁(ψ)sont définies à partir de celles de _δ¯

1 debinjectées dans l’équation (4.9a). Les valeurs deη(ψ),η_e(ψ),δ₂(ψ)et deβ_i(ψ) n’ont pas été fixées en injectant les paramètresb,ω,η¯_e,_δ¯₂,_β¯_i dans les équations (4.9b)-(4.9e). Nous renvoyons à la section4.5pour plus d’explications. La figure 4.5permet de voir la corrélation entre les lois en ψ définies par les équations (4.9b)-(4.9e) dans lesquelles les paramètres utilisés pour tracerα₁ et α₂ à la figure4.3 ont été injectées et les valeurs utilisées pour tracer les profils de viscosité apparentes à la figure 4.2. L’accord entre les deux jeux de paramètres n’est pas parfait. On peut expliquer cela par une légère dépendance de ces paramètres aux conditions expérimentales.

Dans le document Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration (Page 90-93)