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Contribution à la rhéologie des suspensions : migration,
rhéoépaississement
Anaïs Coline Machado
To cite this version:
THÈSE PRÉSENTÉE POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR DE
L’UNIVERSITÉ DE BORDEAUX
ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES CHIMIQUES SPECIALITE : Physico-chimie de la matière condensée
Par
Anaïs Coline MACHADO
Contribution à la rhéologie des suspensions : Migration,
rhéoépaississement
Soutenue le 10 octobre 2016 devant la Commission d’examen :
M. MANNEVILLE, Sébastien Professeur ENS Lyon Président
M. PETERS, François Maitre de conférence rapporteur
M. LEMAITRE, Anaël Ingénieur général des ponts rapporteur
des eaux et des forêts
M. POULIQUEN, Olivier Directeur de recherche Examinateur
M. MEEKER, Steven Ingénieur de recherche Solvay Examinateur
Mme. COLIN, Annie Professeur université de Bordeaux Encadrant
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier les deux directeurs du laboratoire, à savoir Patrick Maestro et Paul Deschrijver, pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire et m’avoir permis de réaliser ma thèse dans des conditions optimales. Je remercie également François Peters et Anaël Lemaître d’avoir accepté de rapporter mon travail de thèse avec implication et rigueur. Je remercie Sébastien Manneville et Olivier Poliquen pour avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse, ce fut un grand plaisir de pouvoir partager des discussions scientifiques avec vous.
J’ai bien sûr une pensée pour mes encadrants Annie et Hugues sans qui cette aven-ture n’aurait pas vu le jour. Merci encore pour votre implication et pour le partage de vos connaissances durant ces trois années de thèse. Annie, merci pour ta disponibilité et tes conseils notamment lors de ma troisième année qui m’ont permis d’avancer et finir cette thèse. Hugues, sans toi, je ne serais pas la différence entre une structure une cellule et une matrice Merci pour toutes ces heures de ´n cours particulier ˙z. Je tenais aussi à vous remercier également pour tous les encouragements qui m’ont permis de vaincre mes peurs le jour j. J’ai le sentiment d’avoir énormément appris à vos côtés et pour cela merci.
Je tiens aussi à remercier également les personnes avec qui j’ai collaboré : Brice et Sébastien qui ont largement contribué à une grande partie de ce travail. Merci aussi à Guillaume O. et Nicolas de m’avoir fait découvrir de nouvelles expériences et enrichie ce manuscrit dans une ambiance très détendu et sportive !!!
Un grand merci aux personnes avec qui j’ai pu travailler au cours de ma thèse. Je remercie notamment Alan,Nico, Nadia, David, Jordy et Marie pour votre aide et vos précieux conseils. Merci à Julien B., Nadia et Sarah pour m’avoir aiguillé et orienté dans le début de ma thèse.
Je tiens aussi à remercier mes anciens collègues d’open space David, Jordy, Guillaume, Bernard, Matthieu, Jean. Je n’oublierai pas les rires, les batailles de nerf ou encore les baskets que nous avons partagés. Merci à Jordy et David qui ont toujours une petite blague pour redonner le sourire.
Merci à Marie et Nadia qui ont toujours su dire ce qu’il fallait pour me motiver ou faire descendre le stress. Merci à toutes les deux.
Cest avec beaucoup démotion que je remercie tous les gens du LOF qui contribuent à faire régner la bonne humeur quotidienne. J’ai une pensée pour les fidèles du central, Nico, David, Patrick, Marie, Tiphaine, Baptiste, toujours prêt à aller prendre un verre qui remonte le moral.
Je noublie pas mes licornes qui ont toujours été là pour moi, même à des centaines de kilomètres. Sans vos messages quotidiens à nimporte quelle heure, les week-ends ´n fille ˙z, festoche et compagnie Je ny serais surement pas arrivé. Merci à Laure et Estelle pour toutes les heures que vous avez passées à mentendre me plaindre et vos précieux conseils. Coco et Julie les récits de vos péripéties (hebdomadaires !) ont été dune aide précieuse pour me changer les idées. Enfin merci à Aziliz toujours prête à geeker tout un week-end pour décompresser. Merci à vous 5 davoir été présente dans les moments les plus durs. Je noublie pas non plus ´n la suze pour tous ˙z qui a un sixième sens pour proposer une sortie les jours où ça ne va pas. Je remercie sincèrement mon frère pour toutes les heures qu’il a passé à lire cette thèse. Merci à Thierry, mes beaux-parents, mes frère et sur, et belle-sur pour leurs soutiens quotidiens. Je remercie particulière-ment ma mère qui a su me pousser à continuer et qui a toujours cru en moi. Pour finir, je remercie du plus profond de moi-même Lucas qui ma accompagné pendant toute cette aventure. Tu es une personne formidable et ta présence quotidienne ma donné la force daller jusquau bout de cette thèse.
Résumé
Les suspensions non browniennes présentent un comportement rhéologique très différent en fonction de leur concentration. Lécoulement de suspensions semi-diluées est newtonien et montre une migration des particules provoquant des hétérogénéités de concentration. Au contraire, les suspensions concentrées présentent un large éventail de phénomènes rhéologiques non linéaire. Ce travail cherche à mieux comprendre les écoulements de suspensions dans différente gamme de concentration. A basse concen-tration, une étude de la migration est réalisée afin de quantifier les forces responsables de ce phénomène. Pour cela, les forces de migration sont comparées aux forces de sé-dimentation, grâce à un écoulement unidirectionnel et confiné. Des techniques de suivi de particules avancées et la microscopie confocale, permettent une mesure systémati-quement à la fois des profils de fraction volumique et des profils de vitesse. Plusieurs systèmes sont comparés afin de mettre en évidence que les forces hydrodynamiques jouent un rôle important dans la migration. La seconde partie de ce travail consiste à caractériser lécoulement dun système rhéoépaississant. Des techniques de rhéologie locale, tel que la vélocimétrie ultrasonore et la tomographie RX sont utilisées dans différentes cellules de Couette. Ces techniques permettent de mesurer les profils de fraction volumique et les profils de vitesse. Nous soulevons que les propriétés rhéo-logiques dépendent fortement du confinement et de la rugosité, et parfois, nous avons observé instabilités dues aux interfaces.
Abstract
Flows of non-Brownian suspensions are present in different fields, and exhibit different behavior in function of concentration. Flows of semi-dilute suspensions are mainly governed by the spatial repartition of the particles. At low Reynolds numbers, it is indeed generally non-uniform due to cross-stream migration towards low sheared regions of the flow. In this work we aim at testing the idea that interactions between particles could also be involved in the shear induced migration phenomenon. In order to quantify the strength of shear induced migration, we take advantage of horizon-tal flow of buoyant particles in slits, where viscous resuspension is in competition with buoyancy.Using advanced particle imaging velocimetrie techniques and confo-cal microscopy, we measure systematiconfo-cally both volume fraction and velocity profiles. We compare two systems with and without interaction and any different was found. Concentrated suspensions exhibit a wide range of non linear rheological phenomena. This work characterizes the local rheology of a continuous shear thickening. We are used ultrasonic rheology and tomography RX in Couette cell for measured the volume fraction profile and velocity profile. We report that the rheological properties depend strongly of the confinement and roughness, and sometimes we observed instabilities due to the interface.
Table des matières
I
Ecoulement de suspension
25
1 Introduction 31
1.1 Notion de rhéologie . . . 31
1.1.1 Loi de comportement . . . 31
1.1.1.1 Cas du cisaillement simple . . . 32
1.1.1.2 Rhéologie non-linéaire . . . 33
1.1.2 Mesure des caractéristiques rhéologiques des fluides . . . 35
1.1.2.1 Rhéologie en volume . . . 35
1.1.2.2 Rhéologie locale . . . 37
1.2 Écoulements de suspensions . . . 38
1.2.1 Viscosité d’une suspension diluée ou semi diluée . . . 38
1.2.2 Migration induite par cisaillement . . . 40
1.2.2.1 "Suspension balance model" . . . 43
1.2.3 Mesure des contraintes normales . . . 48
1.3 Effet non linéaire : rhéoépaississement . . . 50
1.3.1 Phénoménologie . . . 50
1.3.2 Approche hydrodynamique . . . 51
1.3.3 Approche non hydrodynamique : Frottements . . . 53
1.3.3.1 Analogie suspensions granulaires . . . 53
1.3.3.2 Rhéoépaississement et contact non lubrifié . . . 54
1.3.3.3 Exemple de travaux expérimentaux . . . 57
1.4 Problématique de thèse . . . 59
2 Systèmes étudiés et méthodes d’étude. 61 2.1 Préparations et paramètres pertinents des suspensions . . . 62
2.1.1 Phase solide . . . 62
2.1.3 Variation de la densité. . . 62
2.1.4 Paramètres pertinents . . . 65
2.2 Rhéologie "Classique" des systèmes . . . 67
2.2.1 Effet de concentration : divergence de la viscosité . . . 68
2.3 Technique de PTV pour la détermination du profil de fraction volumique 69 2.3.1 Dispositif expérimental . . . 69
2.3.2 Détection des particules : transformée de Hough . . . 71
2.3.3 Suivi des particules : l’algorithme de Crocker . . . 73
2.4 Vélocimétrie locale par Ultrason . . . 75
2.5 Rhéometrie locale tomographie par rayon X . . . 78
3 Écoulement d’une suspension semi diluée 83 3.1 Présentation du système et paramétrage de l’expérience . . . 85
3.1.1 présentation des systèmes . . . 85
3.1.2 Dimensionnement et validation de l’expérience . . . 87
3.1.2.1 Invariance en y . . . 87
3.1.2.2 Bouchage dans le canal . . . 88
3.1.2.3 Auto-filtration . . . 89
3.1.2.4 Longueur d’établissement . . . 90
3.2 Migration d’une suspension isodense et isoindice . . . 93
3.2.1 Profils de fraction volumique . . . 93
3.2.2 Profils de vitesses . . . 94
3.3 Resuspension visqueuse . . . 98
3.3.0.1 Système non stabilisé . . . 98
3.3.0.2 Système stabilisé . . . 103
3.3.1 Comparaison . . . 104
3.4 Modèle utilisé . . . 107
3.4.1 Suspension Balance Model (SBM) . . . 107
3.4.1.1 Implémentation numérique . . . 110
3.4.2 Comparaison des résultats expérimentaux avec le modèle . . . 112
3.5 Discussion et conclusion . . . 115
3.5.1 Suspension Balance Model Revisité . . . 115
4 Écoulement de suspension dense en géométrie Couette 121
4.1 Présentation du système . . . 122
4.1.1 Courbes d’écoulement . . . 123
4.1.1.1 Courbes en fonction de la géométrie de la cellule . . 124
4.1.1.2 Courbes d’écoulement en fonction de la rugosité . . 126
4.1.1.3 Courbes d’écoulement en fonction du confinement . 127 4.2 Rhéologie locale d’une suspension dense . . . 128
4.2.1 Étude de la rhéologie locale d’une suspension dense à φ=47% 128 4.2.2 Étude de la rhéologie locale d’une suspension dense à φ= 49 % 139 4.3 Vers un rhéoépaississement discontinu. . . 143
4.4 Discussion . . . 147
4.4.1 Rhéoépaississement continu (CST) . . . 147
4.4.1.1 Variation de la fraction volumique . . . 148
4.4.1.2 Variation du signal ultrasonore . . . 149
4.4.1.3 Effet de la surface libre . . . 150
4.4.1.4 Rôle des conditions limites . . . 153
4.4.2 Transition CST à DST . . . 153
4.4.3 Rhéoépaississement discontinue(DST) . . . 156
4.4.4 Conclusion . . . 157
5 Conclusion 161
A modéle de viscosité 165
II
Instabilités élastiques de solutions de polymères en
écoule-ment
167
B Instabilités élastiques de liquides rhéofluidifiants en écoulement rectiligne173 C Instabilité géometrie complexe 187
Table des figures
1.1 Représentation schématique du principe d’une expérience de rhéolo-gie. L’échantillon est placé entre deux plaques infinies dont celle du dessus est animée d’une vitesse V, et d’une force F . . . 32 1.2 (a) Fluide rhéofluidifiant. (b) Fluide newtonien (c) Fluide
rhéoépais-sissant (d) Fluide à seuil (gauche) : Courbe d’écoulement dans le plan contrainte (σ), taux de cisaillement ( ˙γ). (droite) : viscosité (µ) en fonction du taux de cisaillement ( ˙γ)- http ://culturesciencesphy-sique.ens-lyon.fr. . . 34 1.3 (a) Représentation schématique d’une géométrie de Couette
cylin-drique. (a) Représentation schématique d’une géométrie de plan plan. (b) Représentation schématique d’une géométrie cône plan . . . 35 1.4 Représentation théorique des modèles pour une fraction volumique
maximale de 60 % . . . 40 1.5 Profils de fraction volumique et de vitesse dans un canal droit Lyon1998 41 1.6 Profils de fraction volumique pour deux concentrations φ= 20 et phi =
30 pour différentes oscillation [102] . . . 41 1.7 (a) : Profils de fraction volumique en géométrie Couette pour une
frac-tion volumique moyenne de φ= 40 %, extrait de l’article de Boyer al 2011 [12]. (b) : Profil de fraction volumique en canal droit pour une fraction volumique moyenne de φ= 34 %, extrait de l’article de Frank et al.de 2003 [36]. . . 46 1.8 Comparaison des résultats expérimentaux de différentes études tirées
1.9 Représentation de l’évolution des courbes de rhéologie en η= f( ˙γ) en fonction de la fraction volumique. Pour les fractions volumiques infé-rieures à 56 % le rhéoépaississement est continu. Pour la courbe à 58 % le rhéoépaississement est discontinu. Courbes extraites de l’article de Seto et al. [99] . . . 52 1.10 À gauche représentation des phases d’écoulement en fonction de la
fraction volumique et de la déformation appliquée [107].À droite courbes d’écoulement pour différentes fractions volumiques. Mise en évidence d’un changement de forme [19] . . . 56 1.11 Diagramme représentant les nombres de reseau en fonction du
ci-saillement appliqué, figure extraite de l’article de Mari et al. [70] . . . 57 1.12 Courbe de rhéologie de suspension de PMMA dans un fluide
newto-nien pour différentes fractions volumiques. La figure est extraite de l’article de Pan et al. [89] . . . 58 2.1 Images TEM des sphères de PMMA de diamètre 6 µm . . . 61 2.2 Images au confocal de particule de PMMA 6 µm dans un mélange
eau / NaI pour un φ= 20%. (a) La suspension est stabilisée avec un tensioactif non-ionique (NP10). (b) La suspension n’est pas stabilisée par un tensioactif. . . 64 2.3 À gauche : variation de la densité en fonction de la concentration
mas-sique en sel de NaI dans un mélange de 50% d’eau et 50% de glycérol. À droite : variation de l’indice optique en fonction de la concentration massique en sel de NaI dans un mélange de 90% d’eau et 10 % de glycérol. . . 64 2.4 "Diagramme de phase" Pe Rep de la rhéologie des suspensions basé
sur des arguments dimensionnels, d’après Stickel et Powell [103]. . . 66 2.5 "Diagramme de phase" PeÒRep de la rhéologie des suspensions basé
sur des arguments dimensionnels, d’après Stickel et Powell (2005). . . 67 2.6 Courbes d’écoulement pour différentes concentrations et différents
2.7 Viscosité en fonction de la fraction volumique pour les trois systèmes. La courbe en trait plein représente le meilleur ajustement possible des points. . . 68 2.8 Représentation schématique d’un dispositif de PTV dans un capillaire
microfluidique. h représente la hauteur du capillaire, w la largeur, l la longueur. Une difference de pression (∆P = P1 − P2) est appliquée entre l’entrée et la sortie . . . 70 2.9 Principe de la transformée de hough. . . 72 2.10 a : Image brute obtenue au confocal pour une suspension de
parti-cules de PMMA dans une solution de iodure de sodium à une fraction volumique de 20%, le fluide s’écoule de haut à bas. (b) Image après application d’un filtre passe bande. . . 72 2.11 Images des différents cas rencontrés lors de la détection. Une
suspen-sion de particules de PMMA dans une solution d’iodure de sodium à une fraction volumique de 20% s’écoule de haut à bas. (a) Les para-mètres choisis ne permettent pas la détection de toutes les particules. (b) Cas de détection de fausses particules. (c) Détection optimale . . . 73 2.12 Exemple de deux images successives issues des expériences de PTV,
dans un capillaire microfluidique pour un gradient de pression de 15 mbar à une vitesse d’acquisition de 60 images par seconde. Une sus-pension de particules de PMMA dans une solution de iodure de so-dium à une fraction volumique de 20% s’écoule de haut en bas, sui-vant l’axe y. Le déplacement des particules entre les deux images est schématisé par une flèche. . . 74 2.13 À droite : Images de l’accumulateur d’une suspension de particules
de PMMA dans une solution de iodure de sodium superposée avec les trajectoires détectées par l’algorithme de Cocker. À gauche : Valeur de l’accumulateur d’une particule en fonction de sa position verticale dans le canal. Le maximum de l’ajustement parabolique donne la po-sition exacte de la particule. . . 75 2.14 À gauche : Schéma représentant la géométrie de Couette utilisée. À
2.15 Schéma représentant une cellule Couette dans le tomographe. . . 78 2.16 Schéma représentant la géométrie de Couette utilisée, ainsi que les
faisceaux et les positions. . . 79 2.17 À gauche : Image représentant le rhéomètre dans un tomographe. À
droite radiographie de la cellule remplis de fluide suspendant (NaI) . . 80 3.1 Images prises au confocal d’une suspension de particules S2 à une
contrainte appliquée de 0.5 Pa (à gauche) et à une contrainte appliquée de 1 Pa (à droite. . . 86 3.2 Viscosité en fonction du taux de cisaillement pour un système stabilisé
(●), et pour un système non stabilisé (●). À gauche, pour une fraction volumique moyenne de 49 % et à droite, pour une concentration vo-lumique moyenne de 50 % . . . 87 3.3 Profils de vitesses de la vitesse transverse vy en foction de la position
en z normalisée par h2, pour une suspension isodence à une fraction volumique de 5% pour différentes pressions appliquées. Trajectoires des particules pour une suspension isodence à une fraction volumique de 5% et une pression appliquée de 5 mbar. . . 88 3.4 À gauche image du canal au début de l’agrégation des particules. Les
particules sont collées sur un côté du mur et s’écoulent de l’autre côté. À gauche image du bouchon formé . . . 89 3.5 Fraction volumique moyenne mesurée en fonction de la fraction
volu-mique imposée, pour 3 pressions appliquées ∆P = 5, 10et 15 mbar . 90 3.6 Schéma représentatif des particules dans le canal . . . 90 3.7 À droite, la longueur d’établissement d’un profil stationnaire en
fonc-tion de la fracfonc-tion volumique(φ(%). À gauche, vitesse des particules en z en fonction de la fraction volumique(φ(%)). . . 92 3.8 Profils de fraction volumique en fonction de la position normalisée
3.9 Profils de fraction volumique pour des différences de pression ∆P allant de 5 mbar à 20 mbar. À droite, profils pour une fraction volu-mique moyenne de 5%, à gauche, profils de fraction voluvolu-mique pour une concentration moyenne de 20% . . . 93 3.10 Profils de fraction volumique pour des concentrations s’échelonnant
de 5 % à 30 %. À gauche, profils pour une différence de pression ∆P = 5 mbar, à droite, profils de fraction volumique pour une diffé-rence de pression ∆P = 15 mbar . . . 94 3.11 Représentation schématique d’une particule dans un écoulement
lami-naire entre deux plaques infinies. . . 95 3.12 Profils de vitesses pour des différences de pression ∆P de 5 mbar
(∎), 10 mbar (∎), 15 mbar (∎). À gauche les profils pour une fraction volumique moyenne de 5%, à droite, la fraction volumique moyenne est de 20%. En pointillé Profils de vitesses calculés à partir des profils expérimentaux de fraction volumique. . . 97 3.13 Représentation schématique des cas limites rencontrés lors de
l’écou-lement de suspensions non isodenses en canal droit à fort rapport d’as-pect. La figure de droite représente le cas ou les forces de sédimenta-tion sont plus importantes que les forces de migrasédimenta-tions. La figure de gauche représente le cas contraire, i.e les forces de migrations sont plus importantes que les forces dues à la sédimentation. . . 98 3.14 Profils de fraction volumique pour une concentration moyenne de 10
% pour des différences de pressions ∆P appliquées allant de 15 à 150 mbar. . . 99 3.15 Profils de fraction volumique pour une concentration moyenne de 15
% pour différentes ∆P appliquées. À droite pour les faibles pressions. À gauche pour les hautes pressions . . . 101 3.16 Profils de fraction volumique pour une concentration moyenne de 30
% pour différentes ∆P appliquées. À droite pour les faibles pressions. À gauche pour les hautes pressions . . . 101 3.17 Profils de vitesses pour des ∆P de 5 mbar (∎), 10 mbar (∎), 15 mbar
3.18 Profils de fraction volumique pour une fraction volumique moyenne de 15 %. À gauche : pour des différences de ∆P allant de 5 mbar à 15 mbar. À droite : Pour des différences de ∆P allant de 2 mbar(bleu) à 30 mbar (vert) . . . 104 3.19 Profils de fraction volumique pour une fraction volumique moyenne
de 30 %. À gauche : pour des différences de ∆P allant de 5 mbar à 15 mbar. À droite : Pour des différences de ∆P allant de 2 mbar (bleu) à 30 mbar (vert) . . . 104 3.20 α en fonction de la contrainte à la paroi pour une suspension de billes
de PMMA dans un mélange eau/thioglycérol. Les différentes couleurs représentent les différentes fractions volumiques étudiées. . . 106 3.21 Représentation de la resuspension en fonction du nombre de Shields
pour 2 systèmes à trois concentrations différentes. Les (∎) représentent le sysème non stabilisé, et les (▲) representent le système stabilisé. . . 107 3.22 Résolution numérique du SBM pour une fraction volumique de 20%,
dans trois cas différents. De gauche à droite : (a) Pour un système isodense ; (b) pour un système dense pour une valeur du nombre de Shields faible (A=1.12) ; (c) pour un système dense pour une valeur du nombre de Shields élevée (A=6.75). Les courbes sont représentées pour 3 couples différents de ηn, ηs , formulés par Morris et Boulay
[83](bleu), Boyer et al. [13](orange) , et l Zarraga et al. [108](jaune). pour ces trois modèles la fraction volumique maximale φm choisi est
de 54%. . . 111 3.23 Résolution numérique du SBM pour une fraction volumique de 15%
(à gauche) et 30% (à droite) et pour différentes valeurs de Shields . . . 112 3.24 Résolution numérique du SBM pour une suspension isodense de
concen-tration φ = 20% et pour différentes valeurs de w. A gauche pour une suspension isodense, au milieu pour une suspension non isodense et une valeur de A = 1.12, et à droite une suspension non isodense et une valeur de A=6.75. . . 113 3.25 Comparaison entre les prédictions du SBM et les résultats obtenus
3.26 Comparaison entre les prédictions du SBM et les résultats obtenus pour un système non isodense stabilisé (●) et un système non stabi-lisé (●) à une fraction volumique de 15 % et à différentes pressions appliquées. . . 115 3.27 Comparaison entre les prédictions du suspension balance modèle et
les résultats obtenus pour un système non isodense stabilisé (●) et un système non stabilisé (●) à une fraction volumique de 30 % et à diffé-rentes pressions appliquées. . . 115 3.28 α en fonction du nombre de Shields A, pour différentes valeurs de
concentrations. Les (▲) représentent le système stabilisé, les (∎) le système non stabilisé, et les () le SBM . . . 115 4.1 Courbes viscosité en fonction du taux de cisaillement pour un système
stabilisé (S3) et un système non stabilisé (S2). À gauche pour une concentration en particules φ= 49%, à droite pour une concentration φ= 50%. Les systèmme stabilisé est rhéofluidifiant et le système non stabilisé présente un rhéoépaississant. . . 123 4.2 Viscosité en fonction du taux de cisaillement pour une solution de
billes de PMMA dans un mélange eau/ NaI à 40%, etudié dans une géométrie Couette de gap 2 mm. Il s’agit exactement de la même ex-périence afin de montrer la répétabilité des mesures . . . 124 4.3 Viscosité en fonction du taux de cisaillement pour 3 factions
volu-miques : φ = 47 %, φ = 49 %, φ = 50 %, dans 3 géométries : Cône plan rugueux d’angle 1 degrès et de troncature 140 µm (●), plan plan rugueux de diamètre 2 cm et de gap 1 mm (●), et une cellule Couette de gap 1 mm et de hauteur 65 mm dont le rotor est rugueux (●). . . 124 4.4 Viscosité en fonction du taux de cisaillement pour 3 factions
volu-miques : φ= 47 %, φ = 49 %, φ = 50 %, en géométrie Couette pour un gap de 1 mm en rotor lisse (●) et avec un rotor rugueux (●) . . . 125 4.5 Viscosité en fonction de la contrainte appliquée pour 3 factions
4.6 Viscosité en fonction du taux de cisaillement, pour 3 fractions volu-miques : φ = 47 %, φ = 49 %, φ = 50 %, en géométrie Couette pour trois gaps ;g = 0.5 mm (●), g = 1 mm (●), g = 2 mm (●) . . . 126 4.7 Viscosité en fonction de la contrainte appliquée, pour 3 fractions
vo-lumiques : φ= 47 %, φ = 49 %, φ = 50 %, en géométrie Couette pour trois gaps ; g = 0.5 mm (●), g = 1 mm (●), g = 2 mm (●) . . . 126 4.8 (a) : Courbes d’écoulement, contrainte σ en fonction du taux de
ci-saillement ˙γ pour une suspension de billes de PMMA immergées dans une solution de iodure de sodium à une concentration de 25 %, dans une cellule Couette de gap g=2 mm (∎), g=1 mm (∎), et pour une cel-lule Couette rugueuse g=1 mm (∎). (b) :courbe d’écoulement,visco-sité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour la même suspension, dans une cellule Couette de gap g=2 mm (∎), g=1 mm (∎), et pour une cellule Couette rugueuse g=1 mm (∎). . . 129 4.9 Vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes
im-posées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillement allant de 3.04 s−1à 715 s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
moyen mesuré au rhéomètre. . . 130 4.10 vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes
impo-sées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillement allant de 3.04 s−1à 715s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
moyen mesuré au rhéomètre. . . 130 4.11 Représentation des vitesses en fonction de la position dans le gap pour
les 32 premières voies (haut de la cellule) et les 32 dernières voies (bas de la cellule)pour un gap de 2 mm . . . 131 4.12 Représentation des intensités en fonction de la position dans le gap
pour les 32 premières voies (haut de la cellule) et les 32 dernières voies (bas de la cellule) pour un gap de 2 mm. . . 131 4.13 Cartographie(gap, hauteur) des signaux ultrasonores pour 4 contraintes
4.14 Cartographie (gap, hauteur) des signaux ultrasonores pour 4 contraintes appliquées dans les différents comportements pour une cellule de gap = 1 mm. Les images de gauche représentent l’intensité, les images de droite la vitesse . . . 132 4.15 (a) : courbe d’écoulement contrainte σ en fonction du taux de
cisaille-ment ˙γ pour une suspension de bille de PMMA immergée dans une solution de iodure de sodium à une concentration de 47%, dans une cellule Couette de gap g = 2 mm (∎), g = 1 mm (∎), et pour une cel-lule Couette rugueuse g = 1 mm (∎). Le glissement a été corrigé (b) : courbe d’écoulement, viscosité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour la même suspension, dans une cellule Couette e gap g = 2 mm (∎), g = 1 mm (∎), et pour une cellule Couette rugueuse g = 1 mm (∎). 134 4.16 Vitesse de glissement en fonction de la contrainte imposée σ sans une
cellule Couette de gap 1 mm. Les pointillés représentent le meilleur ajustement linéaire des points expérimentaux . . . 135 4.17 Représentation schématique d’une cellule Couette. Les lignes rouges
représentent les coupes effectuées pour obtenir les profils de fraction volumique en r (a) et en z (b). (c) : Image de la cellule Couette avec une suspension de pmma NaI à 47%. . . 136 4.18 Profils de fraction volumique pour une suspension de 47%, en fonction
de la position en z dans cellule. . . 137 4.19 Évolution de la fraction volumique totale dans la cellule en fonction
du taux de cisaillement appliqué (●). Valeur de la concentration mini-male atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) Valeur de la concentration maximale atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) . . . 138 4.20 Variation de l’intensité des rayons RX pour une suspension de 47%,
en fonction de la position en r dans cellule. . . 138 4.21 Vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes
impo-sées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillements allant de 3.04s−1 à 715s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
4.22 Vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes impo-sées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillements allant de 3.04 s−1à 715 s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
moyen mesuré au rhéomètre. . . 140 4.23 Vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes
impo-sées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillements allant de 3.04 s−1à 715 s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
moyen mesuré au rhéomètre. . . 140 4.24 (a) : Courbes d’écoulement, contrainte σ en fonction du taux de
ci-saillement ˙γ pour une suspension de bille de PMMA immergées dans une solution d’iodure de sodium , dans une cellule Couette de gap g = 2 mm(∎), g = 1 mm(∎), et pour une cellule Couette rugueuse g = 1 mm(∎). (b) :courbe d’écoulement,viscosité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour la même suspension, dans une cellule Couette e gap g = 2 mm(∎), g = 1 mm(∎), et pour une cellule Couette rugueuse g=1 mm(∎). . . 141 4.25 Profils de fraction volumique relatif à l’état initial pour une suspension
de 49%, en fonction de la position en z dans cellule de gap 2 mm . . . 142 4.26 Évolution de la fraction volumique totale dans la cellule en fonction
du taux de cisaillement appliqué(●). Valeur de la concentration mini-male atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) Valeur de la concentration maximale atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) . . . 142 4.27 Vitesse en fonction de la position r dans le gap. Les contraintes
impo-sées vont de 1.6 Pa à 150 Pa soit des taux de cisaillements allant de 3.04 s−1à 715 s−1. En pointillé le profil calculé à partir du cisaillement
moyen mesuré au rhéomètre. . . 142 4.28 Vitesse normalisée par la vitesse au rotor en fonction de la position r
4.29 (a) : courbes d’écoulement corrigé du glissement, contrainte σ en fonc-tion du taux de cisaillement ˙γ pour une suspension de bille de PMMA à 51%, dans une cellule Couette de gap g = 2 mm (∎), g = 1 mm (∎), et pour une cellule Couette rugueuse g = 1 mm (∎). (b) :courbe d’écoulement corrigé du glissement, viscosité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour la même suspension, dans une cellule Couette e gap g = 2 mm(∎), g = 1 mm (∎), et pour une cellule Couette rugueuse g = 1 mm (∎). . . 144 4.30 Profils de fraction volumique relatif à l’état initial pour une suspension
de 51%, en fonction de la position en z dans cellule de gap 3 mm . . . 145 4.31 Agrandissement du profil de fraction volumique relatif à l’état initial
pour une suspension de 51%, en fonction de la position en z dans cellule de gap 3mm . . . 145 4.32 Évolution de la fraction volumique totale dans la cellule en fonction
du taux de cisaillement appliqué (●). Valeur de la concentration mini-male atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) Valeur de la concentration maximale atteinte dans la cellule pour chaque taux de cisaillement appliqué (●) . . . 145 4.33 Profils de fraction volumique relatif à l’état initial pour une suspension
de 51%, en fonction de la position en z dans cellule de gap 3 mm . . . 146 4.34 Cartographie instantanée des intensités ultrasonore pour une solution
à 49 % en gap de 2 mm et pour différentes contraintes . . . 148 4.35 Signaux bruts d’intensité pour deux contraintes à deux temps différents. 149 4.36 Cartographie instantanée pour des fractions volumiques φ allant de
10% à 40 %. . . 150 4.37 Extrait de l’article de Seto et Mari ??. Représentation des réseaux en
fonction du cisaillement et du temps, pour une fraction volumique de 50% en régime CST . . . 151 4.38 Photos montrant les effets de surface lors d’experience sur une
solu-tion de 49 % . . . 151 4.39 Profils de vitesses normalisées dans une cellule Couette de gap 2 mm
4.40 À gauche : courbes d’écoulement, viscosité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour une suspension à 47 %, dans une cellule Couette en gap g=2 mm (∎), g =2 mm (∎) à moitié remplie. À droite : courbes d’écoulement, viscosité η en fonction du taux de cisaillement ˙γ pour une suspension à 49 %, dans une cellule Couette en gap g = 2 mm (∎), g = 2 mm (∎) à moitié remplie . . . 152 4.41 Diagramme représentant les différents types d’écoulements en
fonc-tion de la fracfonc-tion volumique . . . 154 4.42 Viscosité η en fonction de la fraction volumique φ. À gauche : valeur
du cisaillement en fin de rhéoépaississement en fonction de la fraction volumique. . . 155 4.43 figure représentant la forme de la courbe d’écoulement en σ = f( ˙γ).
Les traits pleins bleus représentent la courbe de rhéologie, les droites en pointillées représentent les deux branches basses (orange) et hautes (vert) contraintes, les pointillés bleu représentent la transition entre les deux branches. . . 156 4.44 Courbe d’écoulements σ = f( ˙γ) pour une suspension à 51 %, dans
une cellule Couette de gap 1 mm ((∎)), dans une cellule Couette de gap 2 mm ((∎)), dans une cellule Couette rugueuse de gap 1 mm ((∎)) 156 4.45 Taux de cisaillement en fonction du temps pour une suspension à 51
%, dans une cellule Couette de gap 1 mm (en haut), dans une cellule Couette de gap 2 mm (au milieu), dans une cellule Couette rugueuse de gap 1 mm (en bas), pour 4 contraintes . . . 157 A.1 Images représentant plusieurs conséquences de l’instabilité élastique.(a)
Première partie
Les suspensions granulaires au sens large sont omniprésentes dans notre quotidien. Ces mélanges complexes de particules solides dans une matrice fluide trouvent des ap-plications dans des domaines très variés tels que l’agroalimentaire, la cosmétique, la pharmaceutique, la biologie, les ciments, etc. La grande diversité des systèmes en font des fluides complexes aux comportements rhéologiques très différents (thixotropie, rhéofluidifiaction, rhéoépaississement, contrainte seuil..). Établir les lois d’écoulement des suspensions est donc aussi bien un moyen d’améliorer les conditions d’achemine-ment et de stockage dans le monde industriel, que de mieux comprendre l’écouled’achemine-ment sanguin. Le cas simple d’une suspension de sphères dures non browniennes s’appa-rente à un fluide complexe dont la fraction volumique en particules joue un rôle majeur dans son comportement. Parmi les démonstrations expérimentales, on peut naturelle-ment retenir l’existence d’une fraction volumique maximale au voisinage de laquelle la viscosité diverge, ce qui se manifeste par le blocage de la suspension. Einstein en 1906 [28] a établi le premier modèle théorique de viscosité à partir d’un calcul de dé-formation du champ des vitesses créé par une particule. Son résultat très général n’est valable que pour des suspensions très diluées (fractions volumiques inférieures à 3 %). Par la suite, plusieurs modèles semi-empiriques ont été développés, intégrant la limite d’Einstein pour les faibles fractions volumiques. Nous pouvons citer notamment ceux de Krieger-Dougherty [54] et de Zarraga [108].
ou le gradient de cisaillement est très important. Bien que très utilisé, ce modèle a été récemment remis en question par plusieurs auteurs [64], [86], soulevant l’intérêt des forces non hydrodynamique dans le phénomène de migration. À plus haute concen-tration une suspension peut présenter des comportements très différents. Par exemple une suspension peut être : rhéofluidifiante, c’est à dire la viscosité décroît en fonction du taux de cisaillement. rhéoépaississante, c’est à dire la viscosité croît en fonction du taux de cisaillement
Dans le cas très intéressant du rhéoépaississement, on distingue deux types de rhéoépaississement : le rhéoépaississement continu où la viscosité croît de doucement avec le taux de cisaillement et le rhéoépaississement discontinu ou la viscosité du fluide augmente de manière brutale. L’amplitude de la viscosité peut augmenter de plusieurs ordres de grandeur à une vitesse de cisaillement critique. Ce dernier cas est particulièrement intéressant.
La diversité des systèmes rencontrant un rhéoépaississement discontinu suggère un comportement universel, cependant la provenance physique de cette divergence reste de nos jours une question ouverte.
Ces dernières observations compliquent les mesures expérimentales de la visco-sité, les lois d’écoulement des suspensions sont difficiles à établir et des problèmes de blocage ou de structuration mettent en défaut un modèle de type fluide visqueux simple. La rhéométrie classique, basée sur l’homogénéité du liquide étudié, n’est plus pertinente et l’utilisation de la rhéométrie locale devient d’un intérêt majeur.
Dans cette thèse, nous souhaitons apporter une contribution expérimentale à ces études. Pour cela, nous avons choisi d’étudier une suspension, la plus simple possible, à savoir une suspension de particules parfaitement sphériques, non browniennes dans une phase liquide newtonien, puis de faire varier la phase liquide afin de faire varier les interactions entre les particules, et de mettre en avant le rôle ou non de celle-ci dans les écoulements. Afin de mieux comprendre les écoulements des suspensions, deux grandes études sont menée. La première est consacrée à l’étude de la migration induite par cisaillement en canal droit. La seconde est consacrée à l’étude de suspensions concentrées en géométrie Couette. Cette partie du manuscrit est composée de quatre chapitres.
Le chapitre 1 permet d’inscrire la thèse dans son contexte en rappelant les études importantes sur les écoulements de suspension.
utilisées pendant ces travaux. En particulier, une méthode de micro-PIV confocal per-mettant la mesure simultanée des profils de vitesses et de fraction volumique dans des canaux droits. Ou encore des méthodes non intrusives de rhéométrie locale, les ultra-sons pour l’obtention des profils de vitesses ou de tomographie RX pour l’obtention des profils de fraction volumique.
Le chapitre 3 est consacré à l’étude de la migration en canal droit. Nous regar-derons en détails les paramètres qui influent sur la migration Dans un premier temps nous regarderons l’impact des contraintes appliquées et de la fraction volumique sur la migration. Puis nous mettrons en compétition les forces dues à la migration et les forces dues à la sédimentation. Enfin en variant les interactions entre particules nous pourrons conclure sur l’importance de ces dernières sur les phénomènes de migration et si une approche basée uniquement sur les forces hydrodynamiques caractérise de tels systèmes.
C H A P I T R E 1
Introduction
1.1
Notion de rhéologie
1.1.1
Loi de comportement
Pour identifier le comportement du fluide et le mouvement des éléments d’un fluide les uns par rapport aux autres, on se place dans le cadre de la mécanique des milieux continus qui exprime la loi de comportement, c’est-à-dire la relation entre les champs de contraintes appliquées et de déformations sous forme tensorielle. Le tenseur des contraintes de Cauchy, σ, représente les forces surfaciques exercées par le fluide. Les termes tangentiels σij sont à l’origine du cisaillement. Les termes
nor-maux σiisont à l’origine des compressions et des élongations. La contrainte σij est la
contrainte appliquée dans la direction i sur une surface normale à j. Son expression gé-nérale dans le repère (1,2,3) représentant les directions de l’écoulement, du gradient, et de la vorticité est donnée par :
σ= ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ (1.1) Lorsque le fluide est au repos, les contraintes sont normales et isotropes. Les termes diagonaux sont identiques et opposés à la pression hydrostatique. Le tenseur des contraintes peut alors se décomposer en une partie représentant les forces de pression et une partie représentant les forces visqueuses.
σ = −pI + τ avec p= 1
où τ représente le tenseur de contrainte visqueuse. Ce tenseur existe à la condition que le fluide subisse une déformation.
1.1.1.1 Cas du cisaillement simple
𝜎𝜎11 𝜎𝜎33 𝜎𝜎22 𝜎𝜎12 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 2 1 3 𝑉𝑉 = 𝛾𝛾̇𝑒𝑒 F = 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥𝑆𝑆 h
FIGURE1.1 : Représentation schématique du principe d’une expérience de rhéologie. L’échantillon est placé entre deux plaques infinies dont celle du dessus est animée d’une vitesse V, et d’une force F
Pour déterminer le tenseur de contrainte il faut appliquer au fluide une déforma-tion. La déformation est exprimée par le tenseur de déformation E. Pour obtenir E, on s’intéresse à l’écoulement le plus simple à savoir l’écoulement entre deux plaques infinies. Dans un tel cas le taux de cisaillement ˙γ est défini comme la dérivée de la vi-tesse dans la direction normale de l’écoulement y. Il correspond au gradient de vivi-tesse et est égal au ratio de la vitesse maximale (celle du plan supérieur) par l’épaisseur e.
˙γ=∂u ∂y =
V
e (1.3)
com-posantes tangentielles dans le tenseur des contraintes σ12et son symétrique σ21. σ= ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ −P σ12 0 σ21 −P 0 0 0 −P ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ (1.5) Toujours dans le cas d’un écoulement simple, la contrainte de chaque plan dans la direction du mouvement est constante dans l’épaisseur. Il est alors possible de montrer que les composantes tangentielles sont directement les forces par unité de surface.
τ = σ12=
F
S. (1.6)
Dans le cas d’un fluide newtonien le tenseur des contraintes visqueuses est direc-tement lié au tenseur de déformation par la viscosité du fluide ηf
τ = 2ηfD soit ηf =
τ
γ (1.7)
Il est important de noter que dans le cas de fluides non newtoniens la viscosité peut être dépendante du taux de cisaillement. Les expressions de viscosités sont alors non linéaires. Dans certain cas il est possible de voir apparaître des forces normales aniso-tropiques autres que la pression. On les définit alors comme la première et la seconde différence de contraintes normales N1et N2, les différences des termes diagonaux :
N1 = σ11− σ22 (1.8)
N2 = σ22− σ33 (1.9)
τ ,N1etN2caractérisent l’écoulement d’un fluide. S’il est possible de les mesurer dans
un type d’écoulement, il est alors possible de prédire l’écoulement en géométrie plus complexe.
1.1.1.2 Rhéologie non-linéaire
- les fluides rhéoépaississant : la viscosité du fluide augmente avec le taux de ci-saillement (figure 1.2 (c)). L’exemple le plus connu est la Maïzena. Ce fluide, mélange concentré de petits grains de fécule de maïs et d’eau, est un exemple assez parlant. Si l’on souhaite introduire une cuillère dans un verre de Maïzena, il vaut mieux y aller doucement, car dans ce cas la viscosité du fluide sera plus petite car peu cisaillée . Ce type de fluide est actuellement très étudié car pas encore bien compris.
- Les fluides rhéofluidifiants : C’est le comportement inverse du cas rhéoépais-sissant : la viscosité du fluide diminue avec le taux de cisaillement ((figure 1.2 (a)). Plus on cisaille le fluide, plus il s’écoule facilement : par exemple les shampoings, des solutions de polymères, le ketchup. Les courbes de tels fluides se décomposent en trois parties : Au faible taux de cisaillement, il existe un plateau de viscosité η0, puis
passé un γcla viscosité décroît avec le taux de cisaillement, c’est la zone de
rhéoflui-dification. Pour les plus grands taux de cisaillement, la viscosité est quasi constante. On mesure alors la viscosité du solvant η∞.
- Les fluides à seuil : Ils ne s’écoulent que lorsque la contrainte de cisaillement appliquée a dépassé une valeur critique nommée contrainte seuil (figure1.2 (d)). En dessous de cette valeur, la viscosité est infinie quelle que soit la contrainte appli-quée. Un exemple de fluide à seuil est le dentifrice. Pour faire sortir le dentifrice, il faut appuyer suffisamment sur le tube, sinon la contrainte est trop faible et celui-ci ne s’écoule pas. De tels fluides peuvent ainsi supporter leur propre poids ou encore résister à l’écoulement lorsqu’on les dispose sur un plan incliné.
1.1.2
Mesure des caractéristiques rhéologiques des fluides
1.1.2.1 Rhéologie en volume
Pour caractériser les écoulements dans les fluides complexes, on utilise générale-ment un rhéomètre rotatif constitué d’un axe de rotation lié au moteur (à vitesse ou couple imposé) et d’une cellule de mesure. La cellule de mesure est composée d’une partie mobile liée à l’axe de rotation (le rotor) et d’une partie fixe (le stator). Le fluide est confiné entre le stator et le rotor (entrefer). Dans les deux cas, la mise en mouve-ment de l’axe de rotation du rhéomètre cisaille l’échantillon placé dans l’entrefer. La géométrie la plus simple pour la mesure des propriétés rhéologiques est celle générant un écoulement de cisaillement simple, comme représenté figure 1.1, où la contrainte est constante dans l’ensemble de la géométrie. Dans la pratique, les géométries sont des approximations de cette géométrie simple, et les plus fréquemment utilisées sont la géométrie cône-plan, et la cellule de Couette (Fig. 1.3).
Γ, Ω
R
Γ, Ω
FIGURE1.3 : (a) Représentation schématique d’une géométrie de Couette cylindrique. (a) Représenta-tion schématique d’une géométrie de plan plan. (b) ReprésentaReprésenta-tion schématique d’une géométrie cône plan
La géométrie Couette
Une cellule de Couette est constituée de deux cylindres concentriques R1 et R2
(R1 < R2) et de hauteur H (voir Fig.1.3). Le rhéomètre impose un couple Γqui met
en rotation le cylindre intérieur (rotor) à la vitesse de rotation Ω. Compte tenu de la symétrie de la géométrie, le champ de vitesse est de la forme Ð→v = v(r)Ð→θ , et la seule composante non nulle du tenseur des contraintes est σrθ, donnée par :
σrθ(r) =
Γ
Dans cette géométrie la contrainte n’est pas constante et varie en 1/r2. Dans ce cas
le cisaillement dépend également de la position dans l’entrefer, il est donné par : ˙γ(r) = −r ∂
∂r( v
r) (1.11) Or pour un fluide newtonien σrθ(r) = η ˙γ. Les valeurs moyennes de contrainte σ et de
cisaillement ˙γ sont donc directement liées par : σ= R 2 1+ R22 4πhR2 1R22 Γ et ˙γ= R 2 1+ R22 R2 1− R22 Ω. (1.12) Ces formules sont utilisées telle quel, même si le fluide est non newtonien. Dans le cas d’un fluide non newtonien, il peut y avoir un décalage entre le résultat donné par le rhéomètre et le comportement réel du fluide.
La géométrie cône plan
Dans une cellule cône-plan (Fig.1.3 (b)), l’écoulement est généré par la rotation du cône de rayon R et d’angle α entre le cône et une surface plane. Au sein du fluide dans l’entrefer, le champ de vitesse est de la forme Ð→v = v(z)Ð→θ . Si l’angle α est suffisamment petit (< 5○
), le cisaillement et la contrainte sont homogènes dans tout l’entrefer, et sont données par :
˙γ= Ω
tan α. et σ= 3Γ
2πR3. (1.13)
La géométrie plan plan
Dans un rhéomètre plan-plan, le fluide est entre deux disques circulaires de rayon R coaxiaux séparés par un entrefer e comme présenté sur la figure 1.3. . L’écoulement dans cette géométrie est généré par la rotation du cylindre supérieur. Dans une telle géométrie la contrainte et le taux de cisaillement dépendent de la distance à l’axe de rotation et sont donnés par :
σ(r) = 2Γ
πr3. et ˙γ(r) =
Ωr
1.1.2.2 Rhéologie locale
Différentes techniques non intrusives permettent de déterminer une viscosité lo-cale. Ces méthodes sont basées sur la mesure du profil de vitesse local. Dans certaine géométrie il est facile de remonter à la viscosité locale du fluide. Les exemples donnés ci-dessous sont non exhaustifs. La mesure des profils de vitesse permet de remonter à des informations relatives à la rhéologie locale du fluide. Une expérience classique consiste à étudier l’écoulement dans un canal micro fluidique à fort rapport d’aspect h << w. Dans une telle géométrie, on peut supposer le champ de vitesse unidimen-sionnel, la contrainte est invariante en x et en y et directement proportionnelle à la pression, et est maximale proche des murs :
σ(z) = ∂P ∂xz= ∆P L z. et σwall = ∆P L e 2. (1.15) Par ailleurs, le champ de vitesse étant unidirectionnel, le cisaillement local ˙γ subit par le fluide est tel que :
˙γ=∂V(z)
∂z . (1.16)
Ici on liste quelques exemples de techniques non intrusives pour la mesure de vitesse locale :
PIV
La mesure d’un tel profil de vitesse est possible par exemple par des techniques de vélocimétrie par suivi de particules fluorescentes (PIV). Dans cette technique le fluide est ensemencé de particules colloïdales fluorescentes, nous suivons leurs dépla-cements dans une tranche de l’écoulement en enregistrant des couples d’images (PIV) ou une série d’images (PTV) [27], [73]. Cette technique est plus largement expliquée dans le chapitre 2.
Ultra son
la répartition des diffuseurs le long du faisceau ultrasonore. Par interprétation des cor-rélations entre les speckles obtenus par plusieurs tirs consécutifs, on remonte au profil de vitesse. Cette technique sera détaillée dans le chapitre 2.
IRM
Le principe de l’IRM est de mesurer le temps de relaxation des moments magné-tiques des protons excités par un champ magnétique B0, à la fréquence de résonance ω= γB0, ou γ désigne le rapport gyromagnétique, c’est-à-dire le rapport entre le mo-ment magnétique et le momo-ment cinétique d’une particule (γB0, est appelée fréquence de Larmor et correspond à la fréquence de précession des moments magnétiques). Afin de sonder spatialement un volume de matériau situé en r, on applique un gradient spatial de champ, i.e. B0 est un champ avec une dépendance radiale :
B(r) = B0 + G.r (1.17) C’est uniquement la composante de vitesse suivant r du matériau qui est mesurée, et donc ici seuls les déplacements radiaux sont pris en compte. Obtenir le champ de vitesse dans les trois directions nécessite l’application de trois gradients dans trois directions différentes [22] [18].
1.2
Écoulements de suspensions
1.2.1
Viscosité d’une suspension diluée ou semi diluée
Lorsque l’on ajoute des particules à un fluide newtonien, la viscosité augmente. Aux hautes fractions volumiques, le comportement rhéologique d’une suspension de-vient très fortement lié à la fraction volumique de celle-ci pouvant changer la nature newtonienne de l’écoulement. De nombreuses études montrent la dépendance de la viscosité en fonction de la fraction volumique. Le premier modèle théorique a été proposé par Einstein en 1906 [28]. Il propose alors une dépendance linéaire en φ :
Dans ce modèle η est la viscosité de la suspension, ηf la viscosité du solvant et φ la
fraction volumique. Cette loi dite d’Einstein, s’applique pour des particules sphériques dont les interactions sont négligées. Cela suppose des concentrations très faibles pour pouvoir négliger les interactions hydrodynamiques qui sont des interactions longues portées.
Batchelor et Green [5] ont étendu cette formule théorique. Pour cela, ils ont utilisé des outils de mécanique statistique pour tenir compte des interactions hydrodynamiques, des forces Browniennes au sein de la suspension. La formule trouvée contient un ordre supérieur φ2mettant en avant une augmentation plus rapide de la viscosité en fonction
de la fraction volumique.
η
ηs = 1 + 2.5φ + 6.5φ
2 (1.19)
Ces modèles théoriques ont été approuvés dans de nombreuses études. Bien que très utiles ils ne s’appliquent que pour les faibles fractions volumiques φ < 0.1% et pour des sphères monodisperes. En raison de l’importance des domaines applicatifs, de nombreuses lois semi empiriques sont présentes dans la littérature.
Aux hautes fractions volumiques les suspensions présentent une divergence de la vis-cosité pour des concentrations avoisinant la fraction volumique maximale. Pour te-nir compte de cette divergence il faut considérer un problème à N-corps ainsi que les forces de contact, lubrification, interaction etc... Ce phénomène devient alors très complexe. Ainsi de nombreuses études expérimentales et numériques ont essayé de déterminer la rhéologie des suspensions. La diversité des systèmes étudiés donne de grandes disparités dans les différentes lois. Les différents modèles sont donnés en an-nexe A. Ici nous ne donnerons que les deux modèles utilisés dans notre étude à savoir : Le modèle de Krieger-Dougherty [54] qui est celui usuellement utilisé :
η ηs = (1 − φ φm) −n (1.20) avec φmla fraction volumique maximale et n= 2.5φmpour retrouver la loi d’Einstein.
La figure 1.4 donne les résultats d’un ensemble d’équations de η(φ) dans le cas d’une suspension avec une fraction volumique maximale de 60%. À faible fraction volumique la majorité des modèles retrouvent le même comportement. La différence des modèles se fait surtout sur la courbure pour atteindre la divergence.
FIGURE1.4 : Représentation théorique des modèles pour une fraction volumique maximale de 60 %
1.2.2
Migration induite par cisaillement
La question de savoir comment coulent des suspensions de particules est un pro-blème assez ancien qui a focalisé de nombreuses études. Très tôt il a été observé que lors de l’écoulement dans un canal, les particules s’accumulent dans le centre condui-sant à un écoulement bouchon (Karnis 1966). Lors d’écoulement de suspensions les études observent une agglomération des particules vers les zones de faible cisaille-ment. Le bouchon est du à la forte dependance de la viscosité à la fraction volumique. Cette migration de particules entraine une hétérogeneité de l’écoulement, en particu-lier il est possible de trouver des zones complètement bloquées là où le cisaillement est le plus faible. Depuis un certain nombre d’études ont essayé de quantifier ce phéno-mène en mesurant les profils de vitesses et de fractions volumiques. La première étude notable a été menée par Acrivos et Leighton en 1987 [60] en géométrie Couette. Dans cette étude, les auteurs ont mis en avant que le fort gradient de cisaillement de l’écou-lement entraîne une migration de particules vers les zones de bas taux de cisaill’écou-lement. Cette étude confirme les observations en tube de Karnis.
Dans ce cas-là les particules migrent dans le centre du canal comme le montre la figure 1.5.
FIGURE1.5 : Profils de fraction volumique et de vitesse dans un canal droit Lyon1998
Frank et al. [36] ont étendu ce résultat pour des sphères dures browniennes. Ils ont ainsi montré que malgré la diffusion brownienne, les phénomènes de migration étaient présents. Récemment les études se sont portées sur les effets transitoires de la migration. Ainsi Guazzeli et al. [102] ont regardé les régimes transitoires en tube circulaire. Dans cette étude les auteurs ont fait osciller une suspension confinée. Ainsi ils montrent l’évolution du profil de fraction volumique en fonction du nombre d’os-cillation. Leighton et Acrivos [61] ont expliqué ce phénomène de migration dans les
zones de faibles cisaillements par un modèle diffusif. Dans la dernière version du mo-dèle [92] ils expliquent que trois courants diffusifs expliquent la migration :
-Le premier est une diffusion isotrope dans le système. Dans cette hypothèse les chocs sont directement proportionnels au taux de cisaillement du système. Si le cisaillement est uniforme alors la répartition sera uniforme. Si au contraire il existe un gradient de taux de cisaillement la répartition des particules sera hétérogène. Dans le dernier cas certains chocs peuvent amener la particule à sortir de cette zone agitée, et à migrer vers des zones plus calmes où les interactions sont moins fréquentes. Statistiquement, elle aura moins de probabilité de revenir dans la région agitée.
- Le deuxième courant de diffusion est dû à l’apparition d’un gradient de particule. Ce gradient de concentration génère un flux de particules qui s’oppose à la migration induite par cisaillement.
- Enfin il existe une diffusion due au gradient de viscosité. La viscosité étant très for-tement liée à la concentration des particules φ, le gradient de concentration génère un gradient de viscosité. Ce gradient a pour conséquence la création d’un flux vers la zone de faible viscosité.
Ce modèle de "Shear Induced Diffusion" a permis d’expliquer un grand nombre d’ex-périences. Toutefois, contrairement aux prédictions du modèle, Chow et al. [21] n’ont observé aucune migration au sein d’un rhéomètre à disques parallèles alors qu’il existe pourtant un gradient de cisaillement. Une autre contradiction apparaît dans le cas de la géométrie cône-plan, où le taux de cisaillement imposé est constant. Alors qu’aucune diffusion n’est attendue, Chow et al. [21] ont constaté une migration vers l’extérieur. Krihnan a proposé d’introduire un quatrième courant de diffusion pour rendre compte des observations contradictoires. L’auteur propose d’introduire un coefficient de dif-fusion lié à la courbure des lignes de courant. Le flux correspondant de particules tend vers les lignes de courant faiblement courbées. Toutes ces approches phénoménolo-giques sont basées sur la compétition entre plusieurs flux associés aux gradients de différentes variables (cisaillement, concentration, viscosité). Ces phénomènes de dif-fusion, souvent dissociés, amènent donc à des coefficients de diffusion différents pour chacun d’eux et indépendants.
in-duites par le cisaillement, dans les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement.
Bien que les modèles diffusifs aient parfois été utilisés [51] [32], le "Suspension ba-lance model" a le mérite de relier la migration aux propriétés rhéologiques qui pour-raient être mesurées indépendamment (Boyer et al. 2011 [12]).
1.2.2.1 "Suspension balance model"
Le "Suspension balance model"" a été introduit il y a deux décennies dans le but de relier les propriétés de migration à la rhéologie des suspensions [85], [83], [82]. Son formalisme permet de prédire la migration de différentes géométries [78]. Bien que le modèle ait été récemment remis en question par plusieurs auteurs [64], [86], il est cependant utile dans sa version initiale. Il peut encore être appliqué dans certains cas, et comme il a été largement utilisé il est possible de comparer et d’interpréter les résultats expérimentaux et numériques.
Le modèle repose sur la décomposition de la contrainte en une contrainte σP
cor-respondant à la contribution des particules et une contrainte de fluide σf , de sorte que
la contrainte totale σ soit la somme de ces deux contraintes. Cette décomposition per-met d’écrire le bilan de quantité de mouvement pour les deux sous-systèmes, et donc de relier la contrainte des particules à la force moyenne exercée par le fluide sur les particules, à savoir :
FD = −9ηf 2a2
φ
f(φ)(uP− u) (1.22) où upest la vitesse des particules, u la vitesse de la suspension et f(φ) est une fonction
empirique proposée par Richardson et Zaki [96] et donnée par :
f(φ) = (1 − φ)n (1.23) où n ≅ 5 pour les bas nombres de Reynolds. Dans le cas d’un fluide newtonien, la contrainte fluide s’écrit :
σf = −PfI+ ηf˙γ (1.24)
Où ˙γij = ∂xjui+∂xiuj, avec Pf est la pression du fluide et ηf sa viscosité. La contrainte
hydro-dynamiques est une formule semi empirique donnée par Morris Boulay en 1990 par : σP= ηf ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ηp(φ) ˙γ − ηn(φ)∣ ˙γ∣ ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3 ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ (1.25) où le premier terme est la contribution des particules à la viscosité de cisaillement, tandis que le second reflète l’anisotropie de la contrainte normale. ηP(φ) est
direc-tement déduite de la viscosité de la suspension, de nombreuses expressions de cette fonction ont été proposées ( [83], [108], [79], [12]).
Le deuxième terme de l’équation 1.25 introduit des contraintes normales particu-laires, et pour ce terme également, différentes expressions empiriques ont été pro-posées [83], [12], [25], [39]. Les termes λ1, λ2 et λ3 sont des constantes considérées
possitives, où les termes 1, 2, 3 resprésentent respectivements les direction de l’écou-lement, du gradient, et de la vorticité. Le terme λ1est égal à 1, dans la version originale
proposée par Morris et Boulay.
Dans le cadre du "Suspension balance model", il est possible de mesurer les contraintes normales particulaires. En effet vu la forme de la contrainte de fluide dans l’équation 1.24, seule la contrainte particulaire pourrait présenter des différences de contraintes normales non nulles. Dans ce cadre, la contrainte particulaire est étroitement liée à la rhéologie globale de la suspension. Dans la suite de ce chapitre nous détaillerons les différentes expériences qui ont permis de mesurer ces contraintes normales.
La contribution isotrope peut être mesurée de manière similaire à la pression osmo-tique d’une suspension colloïdale, en mesurant une différence de pression entre la suspension cisaillée et le liquide environnant séparés par une grille plus petite que les particules [39], [26].
Le flux de migration est donné par la différence de vitesse entre les particules et le fluide environnant. Il est directement lié à la contrainte particulaire. En effet, le flux j est défini par j = φ(up− u), et directement présent dans l’équation 1.22. En écrivant
la condition d’incompressibilité de la suspension on obtient :
conduit à :
▽.σ + ρg = 0 (1.27) avec ρ la densité du mélange exprimée par ρ= φρp+ (1 − φ)ρf et σ est la contrainte
totale , σ= σP + σf de la suspension.
En utilisant la conservation de la masse , on peut écrire dans la limite incompres-sible :
∂φ
∂t + u ▽ .φ = − ▽ .φ(uP− u) (1.28) Ainsi que l’équation de la conservation de la quantité de mouvement de la phase des particules :
▽.σp+ FD+ φ(ρp− ρf)g = 0 (1.29)
▽.σp est la contrainte de la phase particule, elle comprend aussi bien la contribution
des forces de contact que la contribution des forces hydrodynamiques. En remplaçant la force de trainée dans l’équation 1.29 on obtient :
▽.σp−
9ηf
2a2
φ
f(φ)(uP− u) + φ∆ρg = 0 (1.30) Il est ainsi possible de remonter à la fonction φ(z), en fonction de la géométrie. Cas du cisaillement simple
Dans le cas d’un canal droit à fort rapport d’aspect les écoulements sont unidirec-tionnels et invariants le long de l’écoulement. Dans ces conditions et en considérant un écoulement stationnaire, le taux de cisaillement s’exprime par :
˙γ= ∆P Lηs(z − z
0) (1.31)
En projetant l’équation 1.30 suivant la direction d’intérêt z on obtient : − ∂
∂z (∣˙γ∣ηnηfλ2) − φ∆ρg = 0 (1.32) On peut alors remplacer ˙γ par l’expression donnée par l’équation 1.31 :
− ∂ ∂z (∣
∆P Lηs(z − z
Dans toutes les études actuelles, on retrouve un accord qualitatif entre les prédic-tions du modèle et les résultats expérimentaux [102], [84], [2], [100]. Cependant il n’a été trouvé un accord quantitatif qu’en géométrie Couette [25]. Ce désaccord est actuellement attribué à la difficulté des expériences mais aussi à l’importance du gra-dient de contrainte notamment en canal droit. La figure 1.7 montre deux résultats dans deux géométries comparées au "Suspension balance model". Sur la figure de droite les résultats obtenus en géométrie Couette par Boyer et al. [12]. Sur cette figure les symboles représentent les points expérimentaux et les pointillés la prédiction de la "Suspension balance model" correspondant. Un bon accord est trouvé entre les deux. Au contraire la figure de droite montre les résultats obtenus en canal droit de Frack et al.[36], dans cette configuration un accord qualitatif est trouvé mais non quantitatif.
(a) (b)
FIGURE 1.7 : (a) : Profils de fraction volumique en géométrie Couette pour une fraction volumique moyenne de φ = 40 %, extrait de l’article de Boyer al 2011 [12]. (b) : Profil de fraction volumique en canal droit pour une fraction volumique moyenne de φ = 34 %, extrait de l’article de Frank et al.de 2003 [36].
"Suspension balance model" revisited
Récemment, le "Suspension balance model" a été revu [64], [86]. Dans l’étude de l’Huillier, l’auteur corrige une incohérence d’une part, et propose d’autre part une extension de la force d’interaction. :
— La description des forces d’interaction fI entre les deux phases est complétée.
dans les bilans de la quantité de mouvement s’exprime comme fI= fH−∇.(σhP),
où σh
p est la composante d’origine purement hydrodynamique des contraintes
particulaires. La contrainte particulaire est alors décomposée : σP = σhP + σPik,
où le second terme est la contribution des forces non-hydrodynamiques (par exemple les forces de contact ...). Le bilan de la quantité de mouvement de la phase particulaire conduit à :
∇σik
P + ∆ρgφ = fH (1.34)
Ce qui signifie en d’autres termes que seule la partie non-hydrodynamique de la contrainte exerce une force nette sur les particules, conduisant à la migration. — La force moyenne exercée par le fluide sur une particule donnée n’est pas une
force de traînée simple, proportionnelle à la différence de vitesse entre le fluide et la particule. Cette approximation peut être valable dans les géométries de grand gap où la vitesse et le gradient de concentration sont négligeables, mais elle doit être revue dans le cas d’un écoulement confiné. Une expression possible de la force moyenne est la suivante :
fH = 9ηfφ 2a2f(φ)(upi− ui) − φηfDij ∂φ ∂xj + φη fBijkl ∂ul ∂xj∂xk (1.35) Le premier terme est la force traînée, qui domine dans le cas d’un écoulement non confiné. Le deuxième terme est un terme diffusif rendant compte du gra-dient de concentration. Le dernier se pose en raison de la non-uniformité de l’écoulement (il peut être conçu comme une force Faxen généralisée). Actuel-lement, la forme générale des tenseurs D et B ne sont pas connus de même que leur dépendance avec φ, ce qui rend cette théorie loin d’être en mesure de prédire quantitativement les phénomènes de migration.
l’hypothèse que la migration est possible même si aucune forces non hydrodynamique n’est présentes. Dans ce cas la contrainte σikest nulle, l’équation 1.35 entraine un flux
transverse donnée par : j= jz = 2a2 9 f(φ) [−φ ˙γDzz ∂φ ∂z + Bzzzx ∂2u x ∂z2 ] . (1.36)
D’autres types d’expériences, traitant de l’anisotropie de la microstructure des parti-cules indiquent que la rugosité des partiparti-cules joue en effet un rôle crucial (Blanc et al., 2011). Bien qu’il soit clair que ces forces non-hydrodynamiques deviennent do-minantes à une fraction volumique élevée, le seuil au-dessus duquel cette hypothèse est valable n’est pas connu à l’heure actuelle. Cette nouvelle compréhension théorique du problème de la migration souligne le grand rôle des forces non-hydrodynamiques. En conséquence, on attend que la migration dépend assez fortement des propriétés particulières du système, tels que les particules rugosités, les forces de déplétion (par exemple dans le cas d’émulsions), l’interaction élastique (polymères), etc... Par consé-quent, en mesurant simultanément le flux de particules, et le gradient de concentration, il est possible de déterminer certains éléments des tenseurs B et D dans cette géomé-trie.
La question qui se dégage est de savoir quelles sont les forces responsables de la migration : en effet, si seule la partie non-hydrodynamique des contraintes particu-laires entrent en jeu dans le bilan de quantité de mouvement (1.35), les forces hydro-dynamiques entre en jeu dans la correction de la force de trainée (1.36) et peuvent donc conduire à de la migration sous cisaillement.
Dans ce travail on se propose de comparer des suspensions identiques et de faire varier les interactions entre les particules. Ainsi nous pourrons comparer le rôle res-pectif des interactions et des forces hydrodynamiques sur le phénomène de la migra-tion.
