E446. Les deux derniers de la liste
Les entiers naturels de 0 à n sont écrits au tableau noir. Zig et Puce, chacun à son tour, effacent exactement k d’entre eux s’il en reste 2k ou 2k+1. La partie s’arrête quand il reste deux entiers a et b, b > a qui ont pour différence d = b – a.
Par exemple pour n = 6, on a la liste des sept entiers : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Au premier tour, Zig efface trois d’entre eux, par exemple 2, 4 et 5. Il reste 0, 1, 3, 6. Puce efface les deux entiers 0 et 3. La partie s’arrête avec les deux entiers b = 6 et a = 1 dont la différence est d = 5.
Le joueur qui commence la partie choisit n et son objectif est d’obtenir la valeur de d la plus élevée possible tandis que le second joueur cherche au contraire à la minimiser. On suppose que les deux joueurs jouent de manière optimale.
Q1 : Zig choisit n = 2013 et commence la partie. Quelle valeur de d obtient-il?
Q2 : C’est au tour de Puce de commencer la partie. Il choisit le plus petit n qui lui permet d’obtenir une valeur de d une fois et demie plus grande que celle obtenue précédemment par Zig. Que vaut n ?
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Zig va éliminer la différence possible 1 en fin de jeu en choisissant 1, 3, 5, …, 2013. (1007 valeurs, il reste 1007 nombres pairs entre 0 et 2012).
Puce tire 503 nombres situés aux extrémités de la liste, par exemple 1008, 1010, …, 2012.
Il reste 504 nombres pairs entre 0 et 1006.
Zig va éliminer la différence possible 2 en fin de jeu en choisissant 252 nombres valant 2 modulo 4, soit 2, 6, 10, …, 1002, 1006.
(252 valeurs, il reste 252 multiples de 4 entre 0 et 1004)
Puce tire 126 nombres situés aux extrémités de la liste, par exemple 504, 508, …, 1004.
Il reste 126 nombres multiples de 4 entre 0 et 500.
Zig va éliminer la différence possible 4 en fin de jeu en choisissant 63 nombres valant 4 modulo 8, soit 4, 12, …, 500.
Il reste 63 multiples de 8 entre 0 et 496.
Puce tire 31 nombres situés aux extrémités de la liste, par exemple 256, 262, …, 496.
Il reste 32 nombres multiples de 8 entre 0 et 248.
Zig va éliminer la différence possible 8 en fin de jeu en choisissant 16 nombres valant 8 modulo 16, soit 8, 24, …, 248.
Il reste 16 multiples de 16 entre 0 et 240.
Puce tire 8 nombres situés aux extrémités de la liste, par exemple 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240.
Il reste 8 multiples de 16 entre 0 et 112.
Zig va éliminer la différence possible 16 en fin de jeu en choisissant 4 nombres valant 16 modulo 32, soit 16, 48, 80 et 112.
Il reste 0, 32, 64, et 96.
Puce tire par exemple 64 et 96.
Il reste 0 et 32, d=32 . Q2
n=2049 , d=64 est une solution possible sans être optimale.
