Recherche des solutions de l'équation de Boltzmann stationnaire

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Submitted on 1 Jan 1963

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Recherche des solutions de l’équation de Boltzmann stationnaire

J. Tavernier

To cite this version:

J. Tavernier. Recherche des solutions de l’équation de Boltzmann stationnaire. Journal de Physique,

1963, 24 (4), pp.241-244. �10.1051/jphys:01963002404024100�. �jpa-00205457�

241.

RECHERCHE DES SOLUTIONS DE L’ÉQUATION DE BOLTZMANN STATIONNAIRE

Par J. TAVERNIER,

Laboratoire Central des Industries Électriques, Fontenay-aux-Roses (Seine).

Résumé.

A partir ^d’une interprétation physique ^de la solution proposée ^{par Chambers,}

l’auteur développe

méthode de résolution de l’équation ^de Boltzmann pour les états station- naires. La solution obtenue dans l’approximation ^d’un temps ^de relaxation est valable à tous les ordres par rapport

champ électrique, gradient ^de température ^et champ magnétique.

Abstract..

From

physical interpretation of the solution proposed by Chambers, ^{the author} develops

^{method of} solving Boltzmann’s equation ^for stationary ^{states. The} solution, ^within

the relaxation time approximation, ^is valid for all magnitudes ^{of the electric} fields, ^thermal gra- dients and magnetic ^fields.

PHYSIQUE 24, 1963,

1. Introduction.

En 1952, R. Chambers [1]

proposa ^une solution de l’équation de Boltzmann pour ^les régimes stationnaires. Dans un récent article H. Budd [2] ^montre que ^cette solution véri- fie bien l’équation de Boltzmann dans l’hypothèse

de l’existence d’un temps de relaxation et d’une fonction de~répartition maxwellienne à l’équilibre thermique. ^{La fonction de Chambers} ignore ^l’exis-

tence d’un champ magnétique ^{et d’un} gradient ^de température.

Dans le présent article, ^{nous proposons une} interprétation de la solution de Chambers permet-

tant d’obtenir une méthode de résolution de l’équa-

tion de Boltzmann en régime, stationnaire.

La méthode décrite ^est ensuite utilisée pour cal- culer la fonction de répartition ^{solution de} l’équa-

tion de Boltzmann en présence ^d’un champ ^élec- trique ^{et d’un} champ magnétique. Nous donnons le résultat dans le cas où la fonction de répartition dépendrait des coordonnées d’espace.

2. Résolution de l’équation de Boltzmann sta- tionnaire.

L’équation ^{à résoudre est :}

où F est la force due au champ électrique ^et supposée ^{constante (F}

qE),

00 le vecteur pulsation cyclotron (w

qB/m)

P ^la quantité ^de mouvement, r(p) ^le temps ^de relaxation,

f o (P) ^la fonction de répartition ^à l’équilibre thermique,

et f (p) la fonction de répartition ^des particules ^en présence ^d’un champ électrique ^{et d’une}

induction magnétique.

L’étude de la solution proposée par Chambers

nous a conduits à montrer (annexe I) que la fonc-

tion de répartition soluton de l’équation (1) peut s’écrire :

où ~1 (p, y) ^et f 2 (p, y) ^sont respective ment ^solu-

tions des équations suivantes :

Il est intéressant de vérifier que l’expression (2)

pour ^est bien identique ^à celle donnée par Chambers en l’absence de champ magnétique. ^En effet, l’équation (31) ^a pour solution :

(l’opérateur exp- représente la translation

~ yF ^{à effectuer sur} la variable p).

Or, f o ^ne dépend ^{de la} quantité ^de mouvement p

que par l’intermédiaire de l’énergie ^{E =} p2/2m.

Donc il (p, y) peut ^{s’écrire :}

est l’énergie gagnée ^au champ électrique pendant l’intervalle de temps y.

Quant ^à l’équation (32), ^{si l’on} utilise l’évolution de la quantité ^de mouvement :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002404024100

242

elle s’intègre immédiatement sous la forme :

Les relations (4) ^et (6) permettent ^alors d’expli-

citer la fonction f(p) ^définie par (2) :

Cette expression ^est identique ^à celle de Cham- bers dans laquelle ^{on a} posé : y ^{= t}

t’. Notons que ^ce résultat est valable quelle que soit la fonc- tion d’équilibre 1,(E).

Par ailleurs, l’expression que ^nous proposons pour la solution de l’équation ^{de Boltzmann sta-}

tionnaire est susceptible ^de l’interprétation phy- sique ^suivante.

Si un ensemble d’électrons initialement en équi-

libre thermique ^{à la} température ^{T est soumis à un} champ électrique ^{et un} champ magnétique, ^leur

fonction de répartition variera, ^d’une part, ^sous

l’action des forces (électriques ^et magnétiques) ^et,

d’autre part, ^sous l’influence des collisions. Les deux causes sont indépendantes l’une de l’autre.

Dans ces conditions, f 1 (p, y) représente ^{la densité}

des particules qui, après ^un intervalle de temps y, auront la quantité ^{de mouvement} p ; la ^cause de la variation de la fonction de répartition ^{étant uni-} quement les forces extérieures. La quantité représente la fraction des particules ^subis-

03B4y ^{y p p}

sant des collisions dans l’intervalle de temps dy.

Par suite

d représente _{y P} la fraction des

particules ayant ^la quantité ^de mouvement p pen- dant le temps dy. Pour tenir compte ^{de toutes les} collisions, que l’on considère comme des processus

indépendants, ^il faut faire la somme sur toutes les valeurs de _y et par suite

3. Fonction de répartition stationnaire en pré-

sence d’un champ magnétique.

3.1. RECHERCHE ^DE LA SOLUTION DE L’ÉQUA-

TION (31). ^{Dans le but de} simplifier l’écriture, ^nous

définissons ^un opérateur ^sans dimension, ~, ^.tel

que :

Il est évident _que cet opérateur ^est antisymé- trique ^et qu’il ^vérifie l’équation algébrique :

La solution de l’équation (31) s’écrit alors :

L’opérateur exp

+ peut ^être explicité ^en utilisant la relation suivante :

Oll

(A x est l’opérateur ^{associé à} A, ^tel que

~~=[~~]).

Un calcul reproduit en annexe II montre que

il (p, y) ^{s’écrit :}

Le résultat de l’action des trois derniers opéra-

teurs sur f o ^est la translation

A - . :

effectuée sur la variable p. ^{D’où :}

La définition de l’opérateur ~ permet ^{d’écrire :}

Sous la dernière forme, ^{on reconnaît} l’opérateur représentant ^{la rotation des} vecteurs p d’angle

(DY ^et ayant 8 pour ^axe. L’eflet de cet opérateur

sur les vecteurs p ^{s’écrit :} exp

Par suite :

fI. 1 fr r n .. A . 7 1

Il est intéressant de remarquer que l’argument

de la fonction ~o ^{est la} quantité ^{de mouvement que} posséderait à l’instant y, ^une particule ^se déplaçant

sous l’action de la force F

et dont la quantité

de mouvement à l’instant t

0 est p. ^{En effet}

l’équation d’évolution :

a pour solution : ^*.

et par suite :

Si la fonction de répartition ^à l’équilibre ^tiller-

243

mique ^ne dépend que de l’énergie ^{E ==}

f 1 (p, y) ^{s’écrit :}

où

La propriété d’antisymétrie ^de l’opérateur p ^et

la relation (8) conduisent à :

L’action de l’opérateur ^exp

^laisse invariant E - AE, ^{donc :}

Si on se limite au premier ^ordre par rapport ^au champ électrique, ^{il est} intéressant de remarquer que la variation d’énergie AE(p, y) égale l’énergie

8E gagnée par la particule ^au champ électrique pendant l’intervalle de temps y. En effet, ^nous

montrons en annexe 3 que

où 8, E(F, y) ^et ~2 E(F, y) représentent ^les gains d’énergie ^du premier ^et du second ordre _par rap-

port ^au champ électrique.

3.2. RECHERCIIE DE LA SOLUTION DE L’ÉOUA.-

TION (32).

Formellement, la solution de l’équa-

tion (32) ¹

où est une fonction indépendante ^de y ^et

égale ^{à 1} quel que soit p.

La formule (9) ^dans laquelle ^on pose :

et

permet d’expliciter (15) ^{sous la forme :}

ou en posant y ^{- u = s, on obtient :}

Le calcul développé ^{en annexe 4} permet ^{d’écrire :}

3.3. SOLUTION ^DE L’ÉQUZ£TION ^DE BOLTZMANN. - La relation (2) conduit à :

ou en changeant y ^en

y :

étant la solution du mouvement telle que

p(0)

p. ^La solution ainsi obtenue est valable

quelle que soit la fonction d’équilibre thermique f ~ (p) ^{et à tous} les ordres _par rapport ^au champ électrique ^{et au} champ magnétique. ^{La seule} hypo-

thèse est celle de l’existence d’un temps ^{de relaxa-}

tion dépendant ^{de la} quantité ^{de mouvement.}

4. Conclusions.

La méthode développée ^dans

les paragraphes précédents ^montre que l’équation

de Boltzmann stationnaire peut ^{être résolue} par l’intermédiaire de deux équations de Boltzmann

dépendant ^du temps dont les solutions ont une

interprétation physique ^très simple.

Notons que la méthode proposée ^{est encore}

valable lorsque ^{les électrons sont soumis à un} gra- dient de température.

Des calculs semblables à ceux donnés précédem-

ment permettent ^{de montrer} que dans ce cas :

où p(y) ^et r(y) ^sont définis par Inéquation ^{du mouve-}

ment : et

rn étant la masse des particules.

De plus, ^{nous devons} préciser que la méthode proposée ^{résoud le} problème ^{de la} recherche des solutions de l’équation stationnaire vérifiée _par

l’opérateur ^densité, lorsque ^la thermalisation peut

être décrite _par un temps ^de relaxation.

6

244

Annexe I.

En intégrant Inéquation (2) par

parties ^et remarquant que /2 (p, + 00)

0, ^on

obtient :

En posant ^F’

^F + p /B c~, ^le premier ^membre

de l’équation (1) ^{s’écrit :}

Les relations (3) permettent de transformer

l’expression ^{ci-dessus sous la forme :}

L’intégration par parties ^{du second} terme montre que les trois premiers ^termes s’annulent mutuel- lement et que, par suite f (p) ^est solution de l’équa-

tion de Boltzmann stationnaire :

Annexe II.

Opérateur exp

y(F -~- copp).Vp.

Nous utilisons la formule (9) ^en posant ^-.

Il faut évaluer les opérateurs ^{B. Ce calcul} peut s’effectuer par récurrence. ^En effet :

Il est alors immédiat que :

La définition (9) ^de B(t) permet ^{d’écrire :}

et la propriété (8) ^de l’opérateur 03B2 conduit à :

Les trois opérateurs figurant ^{dans la seconde} exponentielle commutent entre eux et par suite elle peut ^être décomposée ^{en un} produit ^{de trois} exponentielles. Cette factorisation conduit à la formule (10).

Annexe III.

Pendant l’intervalle de temps y,

la particule gagne ^au champ électrique, l’énergie : ^-.

L’opérateur ^se développe ^{en :}

Par suite :

Il. U,I !l4 U,I

Nous _voyons alors que :

Annexe IV.

Nous montrons que :

Dans ce but, ^nous remarquons que peut s’exprimer ^sous la forme suivante :

Nous avons alors en tenant compte de la rela- tion (8) :

+

x(I + ^F

- y(I + P2) F + ll/ ^[1

^F

Llp (x + y).

Co

L’argument du temps de relaxation

figurant

dans l’équation (16) s’écrit donc :

BIBLIOGRAPHIE [1] ^CHAMBERS (B.), Proc. Roy. Soc., London, 1952, ^A 65,

458.

[2] ^BUDD (H.), Phys. Rev., 1962, 127, ^4.