Colle PC Semaines 11 et 12 2014-2015

Colle PC Semaines 11 et 12 _2014-2015

EXERCICE 1 :

Diagonaliser 1 3





7 − 2 0

− 2 6 − 2

0 − 2 5



 et en déduire l’ensemble des matrices M permutables avec A.

• • • On exprime le polynôme caractéristique :

χ _A (X ) = Det(A − XI 3 ) = 1 3 ³

7 − 3X − 2 0

− 2 6 − 3X − 2

0 − 2 5 − 3X

= 1

27 [3(7 − 3X)(2 − X )(5 − 3X) − 4(7 − 3X ) − 4(5 − 3X )]

Ainsi 27χ A (X ) = 3(7 − 3X)(2 − X )(5 − 3X) − 24(2 − X ) = 3(2 − X) [(7 − 3X )(5 − 3X) − 8] = 3(2 − X )(X − 1)(X − 3) (déterminant développé avec la régle de Sarrus)

χ _A (X ) possède 3 racines simples donc les valeurs propres de A sont distinctes et A est donc diagonalisable. Il existe donc P, matrice inversible, telle que

P ^{− 1} AP =





1 0 0 0 2 0 0 0 3



 = D

• Analyse : Soit M une matrice qui permute avec A, on a alors :

AM = M A ⇔ P DP ^{− 1} M = M P DP ^{− 1} ⇔ P DP ^{− 1} P M ^′ P ^{− 1} = P M ^′ P ^{− 1} P DP ^{− 1} ⇔ DM ^′ = M ^′ D.

(en effet P et P

⁻¹

sont inversibles) où M ^′ est obtenu à partir de M par la relation M ^′ = P ^{− 1} M P .

On note D = (d ij ) (16i,j63) avec d _ij = 0 si i 6 = j, et M ^′ = (m ^′ _ij ) (16i,j63) .

La relation DM ^′ = M D se traduit par ∀ (i, j) ∈ { 1, 2, 3 } ² ,

3

X

k=1

d ik m ^′ _kj =

3

X

k=1

m ^′ _ik d kj = ⇒ d ii m ^′ _ij = m ^′ _ij d jj car d ij = 0 si i 6 = j. De plus, si i 6 = j alors d ii 6 = d jj , ce qui implique que m ^′ _ij = 0 donc M ^′ est diagonale.

• Synthèse : soit M ^′ une matrice diagonale, elle permute donc avec D et AM = M A ⇔ M = P M ^′ P ^{− 1} . Il faut donc pour exprimer M , chercher la matrice P et son inverse. Cela nécessite de chercher les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 1, 2 et 3.

⊲ AX = X ⇔

y = 2x

y = z = ⇒ Ker(A − I 3 ) = Vect(x 1 ) avec x 1 =



 1 2 2



 (vecteur propre associé à 1)

⊲ AX = 2X ⇔

x = 2y

x = − z = ⇒ Ker(A − 2I 3 ) = Vect(x 2 ) avec x 2 =



 2 1

− 2



 (vecteur propre associé à 2)

⊲ AX = 3X ⇔

x = − y

y = − 2z = ⇒ Ker(A − 3I 3 ) = Vect(x 3 ) avec x 3 =



 2

− 2 1



 (vecteur propre associé à 3) D’où l’expression de P :

P =





1 2 2

2 1 − 2

2 − 2 1



, et le calcul de P ^{− 1} donne P ^{− 1} = 1 9





1 2 2

2 1 − 2

2 − 2 1





Si l’on pose M ^′ =





a 0 0 0 b 0 0 0 c



 avec (a, b, c) ∈ R ³ , on obtient donc la forme des matrices M qui permutent avec A :

M = P





a 0 0 0 b 0 0 0 c



 P ^{− 1} = 1 9





a + 4b + 4c 2a + 2b − 4c 2a − 4b + 2c 2a + 2b − 4c 4a + b + 4c 4a − 2b − 2c 2a − 4b + 2c 4a − 2b − 2c 4a + 4b + c





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EXERCICE 2 :

S





5 − 8 − 4 8 − 15 − 8

− 10 20 11



. Calculer S ² . En déduire la nature de l’endomorphisme de R ³ canoniquement associé à S et ses caractéristiques. S est-elle diagonalisable ?

• • •

S ² = I 3 , s canoniquement associé à S est une symétrie et Ker(s − id) L Ker(s +id) = R ³ donc S est diagonalisable.

⊲ SX = X ⇔







4x − 8y − 4z = 0 8x − 16y − 8z = 0

− 10x + 20y + 10z = 0

= ⇒ x − 2y − z = 0 ⇔ dim(Ker(S − I 3 )) = 2 (plan P )

⊲ SX = − X ⇔







6x − 8y − 4z = 0 8x − 14y − 8z = 0

− 10x + 20y + 12z = 0

= ⇒

( y = 2x z = − 5

2 x Ker(S + I 3 ) = Vect(u) avec u =



 2 4

− 5





s est la symétrie par rapport au plan P dans la direction de D.

S est semblable à





1 0 0

0 1 0

0 0 − 1





EXERCICE 3 :

Trouver toutes les matrices diagonalisables A dont le carré est





1 0 0

− 1 3 0

− 8 2 4



.

• • • Soit B =





1 0 0

− 1 3 0

− 8 2 4



. on détermine son polynôme caractéristique : χ B (X) = (1 − X )(3 − X )(4 − X ). χ B (X) possède 3 racines simples donc les valeurs propres de B sont distinctes et B est donc diagonalisable. Il existe donc P , matrice inversible, telle que

P ^{− 1} BP =





1 0 0 0 3 0 0 0 4



 = ∆ Soit A une matrice dont le carré est B,

A ² = B = ⇒ (P ^{− 1} AP ) ² = ∆ ⇔

A

^′

=P

⁻¹

AP A ^{′ 2} = ∆ = ⇒ A ^′ ∆ = A ^′ A ² = A ^{′ 2} A ^′ = ∆A ^′

Or, vu dans l’exercice 1, A ^′ ∆ = ∆A ^′ ⇔ A ^′ diagonale. Et réciproquement, si A ^′ est diagonale alors on a bien A ² = B ⇔ A ^′ = P ^{− 1} AP .

Ceci détermine donc la forme des matrices A répondant au problème, il ne reste plus qu’à déterminer la mtrice de passage P :

⊲ BX = X ⇔

x = 2y

3z = 7x = ⇒ Ker(B − I 3 ) = Vect(x 1 ) avec x 1 =



 6 3 14



 (vecteur propre associé à 1)

⊲ AX = 3X ⇔

x = 0

z = − 2y = ⇒ Ker(B − 3I 3 ) = Vect(x 2 ) avec x 2 =



 0 1

− 2



 (vecteur propre associé à 3)

⊲ BX = 4X ⇔

x = 0

y = 0 = ⇒ Ker(B − 4I 3 ) = Vect(x 3 ) avec x 3 =



 0 0 1



 (vecteur propre associé à 4) D’où l’expression de P :

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P =





6 3 14 0 1 − 2

0 0 1



, et le calcul de P ^{− 1} donne P ^{− 1} = 1 6





1 0 0

− 3 6 0

− 20 12 6





A ^′ vérifie donc A ^{′ 2} =





1 0 0 0 3 0 0 0 4



 et A ^′ diagonale donc A ^′ =





ǫ 1 0 0 0 ǫ ₂ √

3 0

0 0 2ǫ 3



 avec ǫ _k ∈ {− 1; 1 } pour k ∈ { 1, 2, 3 } .

A = P A ^′ P ^{− 1} =











ǫ 1 0 0

ǫ 1 − ǫ 2 √ 3

2 ǫ 2 √

3 0

7 3 ǫ 1 + ǫ 2

√ 3 − 20

3 ǫ 3 − 2ǫ 2

√ 3 + 4ǫ 3 2ǫ 3











EXERCICE 4 :

M (a) ∈ M n ( C ) définie par M (a) = (m ij ) 16i,j6n où m ij = 1 pour i 6 = j et m ii = a.

Déterminer les éléments propres de M (a). Exprimer M (a) en fonction de M (1) et de I n . Calculer [M (a)] ^p , p ∈ N .

• • •

M (a) =



















a 1 . . . . . . 1 1 a . .. . . . .. . .. . . .. ... ... ...

.. . . . . . .. ... 1 1 . . . . . . 1 a



















et l’on remarque que M (a)











 1

.. . .. . 1













= (a + n − 1)











 1

.. . .. . 1













χ M (a) (X ) =

a − X 1 . . . . . . 1 1 a − X . .. . . . .. . .. . . .. . .. ... .. . .. . . . . . .. ... 1 1 . . . . . . 1 a − X

=

c

_n

← n

X

1

c k

(n − 1 + a − X )

a − X 1 . . . . . . 1 1 a − X . .. . . . .. . .. . . .. . .. ... ...

.. . . . . . .. ... 1 1 . . . . . . 1 1

c

j

← c

j

− c

n

= ,26j6n − 1 (n − 1 + a − X )

a − X − 1 1 . . . . . . 1 0 a − X − 1 . .. . . . .. .

.. . 0 . .. . .. .. .

.. . . . . 0 a − X − 1 1

0 . . . . . . 0 1

= (a − X + 1) ^{n − 1} (n − 1 + a − X )

On en déduit donc que le spectre de M (a) est { n − 1 + a, a + 1 } .

Ker(M (a) − (n − 1 + a)I n ) est de dimension inférieure ou égale à 1 car n − 1 + a est une valeur propre simple ; il

contient le vecteur e 1 =











 1 .. . .. . 1













donc Ker(M (a) − (n − 1 + a)I n ) = R e 1 .

M (a)









 x 1

x 2

.. . x _n











= (a − 1)









 x 1

x 2

.. . x _n











⇔

n

X

i=1

x i = 0, on reconnaît l’équation d’un hyperplan de dimension n − 1 donc M (a)

est diagonalisable et

Ker(M (a) − (a − 1)I n ) = H, d’équation

n

X

i=1

x _i = 0

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M (a) = M (1) + (a − 1)I n . On démontre par récurrence sur p (p > 1) que M (1) ^p = n ^{p − 1} M (1).

Comme M (1) et I _n permutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton M (a) ^p =

p

X

k=0

p k

M (1) ^k (a − 1) ^{p − k} I n

= (a − 1) ^p I _n +

" _p X

k=0

p k

(a − 1) ^{p − k} n ^{k − 1}

# M (1)

M (a) ^p = (a − 1) ^p I _n + 1

n [(n + a − 1) ^p − (a − 1) ^p ]M (1)

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