Colle PCSI Semaine 18 : complément 2014-2015

Colle PCSI Semaine 18 : complément _2014-2015

EXERCICE 1 :

Calculer la limite en 0 de f : x 7−→ e ^x + e ^{− x} + 2 sin x − 4x x(e ^x + e ^{− x} + 2 cos x − 4)

• • •

Correction :

On utilise les développements limités pour déterminer des équivalents du numérateur et du dénominateur.

• e ^x = 1 + x + x ² 2 + x ³

6 + x ⁴ 24 + x ⁵

120 + o x ⁵

• e ^{− x} = 1 − x + x ² 2 − x ³

6 + x ⁴ 24 − x ⁵

120 + o x ⁵

• sin x = x − x ³ 6 + x ⁵

120 + o x ⁵

• cos x = 1 − x ² 2 + x ⁴

24 + o x ⁴

Par opérations sur les développements limités, e ^x + e ^{− x} + 2 sin x − 4x = x ⁵

30 + o x ⁵

et x(e ^x + e ^{− x} + 2 cos x − 4) = x ⁵

6 + o x ⁵ Pour x 6= 0, f (x) = 1/30 + o (1)

1/6 + o (1) donc f (x) −→

x →0

1 5

EXERCICE 2 :

Calculer la limite en 0 de g : x 7−→ (ln(e + x)) ^{1 /x}

• • • Correction :

g(x) > 0 au voisinage de 0, on exprime ln g(x) = 1

x ln [ln(e + x)]

Or, ln(e + x) = ln(e(1 + x/e)) = ln e + ln 1 + x

e

= 1 + ln 1 + x

e

et, par utilisation du DL x 7→ ln(1 + x) en 0 à l’ordre 1,

ln(e + x) = 1 + x e + o (x) La forme du DL précédent, permet d’écrire : ln [ln(e + x)] = ln h

1 + x

e + o (x) i

= x

e + o (x) et ln g(x) = 1

e + o (1) donc ln g(x) −→

x →0

1

e et donc g(x) −→

x →0 e ^1/e

EXERCICE 3 :

1. Soit m un réel, m > 1, montrer que l’équation x − m ln

1 + x m + 1

= 0 a une racine et une seule sur ] − 2, −1[, notée α m .

2. Déterminer la limite de α m quand m tend vers +∞.

• • • Correction :

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1. Soit f m : x 7−→ x − m ln

1 + x m + 1

. f m est définie sur I m =] − m − 1; +∞[ et pour tout m > 1, on a ] − 2, −1[⊂ I m . f m est continue et dérivable sur I m .

∀x ∈ I m , f _m ^′ (x) = x + 1

x + m + 1 : f m est strictement décroissante sur ] − m − 1, 1[. f m réalise donc une bijection de ] − 2, −1[ sur ]f m (−1), f m (−2)[.

Répondre à la question posée consiste désormais à prouver que 0 ∈]f m (−1), f m (−2)[.

• f m (0) = 0 et f m est strictement croissante sur [−1, +∞[ donc f m (−1) < f m (0) ⇔ f m (−1) < 0.

• f m (−2) = −2 − m ln

m − 1 m + 1

on pose = h(m), h est de classe C ^∞ sur ]1, +∞[. On a successivement, h ^′ (m) = ln

m − 1 m + 1

− 2m

m ² − 1 et h ^′′ (m) = 4 (m ² − 1) ²

⊲ h ^′ est strictement croissante sur ]1, +∞[ et h ^′ (m) −→

m →+∞ 0 donc h ^′ (m) < 0 sur ]1, +∞[ ;

⊲ h est strictement décroissante sur ]1, +∞[ et h(m) = −2 − m ln

1 − 1

m

+ m ln

1 + 1 m

DLs ordre = 1 o (1) donc h(m) −→

m →+∞ 0 Ainsi h(m) > 0 pour tout m > 1, c’est à dire f m (−2) > 0.

On a bien démontré que 0 ∈]f m (−1), f m (−2)[ et il existe un unique α m ∈] − 2, −1[ tel que f (α m ) = 0.

2. f (α m ) = 0 ⇔ 1

m α m − ln

1 + α m

m + 1

= 0.

α m ∈] − 2, −1[ donc

α m

m + 1 < 2

m + 1 et donc α m

m + 1 −→

m →+∞ 0.

En utilisant le DL en 0 à l’ordre 2 de x 7→ ln(1 + x), ln

1 + α m

m + 1

= α m

m + 1 − α ² _m 2(m + 1) ² + o

α ² _m (m + 1) ²

c’est à dire, 1

m α m = α m

m + 1 − α ² _m 2(m + 1) ² + o

α ² _m (m + 1) ²

et 1

m(m + 1) α m = − α ² _m 2(m + 1) ² + o

α ² _m (m + 1) ²

On simplifie par α m

m + 1 qui n’est pas nul, 1

m = − α m

2(m + 1) + o α m

m + 1

on obtient donc α m

2(m + 1) ∼

+∞ − 1

m , et α m ∼

+∞ − 2(m + 1)

m donc α m −→

m →+∞ −2

EXERCICE 4 :

Les ensembles suivants sont-ils des R−espaces vectoriels ?

• F 1 =

(x, y, z) ∈ R ³ | z − 2x = y ;

• F 2 =

(x, y, z, t) ∈ R ⁴ | x + y + z + t 6 1 ;

• F 3 = {P ∈ R[X] | P(X + 1) = 2P(X ) et P (3) = 0} ;

• F 4 =

f : x 7−→ a cos(x − ϕ) ; (a, ϕ) ∈ R ² ;

• • • Correction :

• (0, 0, 0) ∈ F 1 donc F 1 est non vide. Soit (x, y, z) ∈ F 1 et (x ^′ , y ^′ , z ^′ ) ∈ F 1 , on prouve facilement que pour tout (λ, µ) ∈ R ² , λ(x, y, z) + µ(x ^′ , y ^′ , z ^′ ) ∈ F 1 ; ainsi F 1 est un R−sous-espace vectoriel de R ³ .

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• (1, 0, 0, 0) ∈ F 2 mais pas 2.(1, 0, 0, 0) = (2, 0, 0, 0) donc F 2 n’est pas un espace vectoriel (pas de stabilité par la multiplication par un scalaire)

• F 3 n’est constitué que du polynôme nul. En effet, si P est non nul et de degré n, le coefficent dominant de P (X + 1) est a n et celui de 2P (X ) est 2a n ; les deux polynômes ne peuvent être égaux. F 3 est un R−sous-espace vectoriel de R[X ].

• x 7−→ cos x appartient à F 4 donc F 4 est non vide.

Soit (f 1 , f 2 ) ∈ (F 4 ) ² , avec (a 1 , ϕ 1 ) ∈ R ² et (a 2 , ϕ 2 ) ∈ R ² :

∀x ∈ R, f 1 (x) + f 2 (x) = a 1 cos(x − ϕ 1 ) + a 2 cos(x − ϕ 2 )

= a 1 (cos x cos ϕ 1 + sin x sin ϕ 1 ) + a 2 (cos x cos ϕ 2 + sin xsin ϕ 2 )

= (a 1 cos ϕ 1 + a 2 cos ϕ 2

| {z }

λ

) cos x + (a 1 sin ϕ 1 + a 2 sin ϕ 2

| {z }

λ

) sin x

= q

λ ² ₁ + λ ² ₂ λ 1

p λ ² 1 + λ ² 2

cos x + λ 2

p λ ² 1 + λ ² 2

sin x

!

= a cos(x − ϕ) avec a = p

λ ² 1 + λ ² 2 et ϕ tel que cos ϕ = λ 1

p λ ² 1 + λ ² 2

et sin ϕ = λ 2

p λ ² 1 + λ ² 2

Si f ∈ F 4 alors λ ∈ F 4 . F 4 est donc un sous-espace vectoriel de F(R, R).

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