Transformations du plan ( isométries ) I. La symétrie axiale :
A et A’ sont symétriques par rapport à la droite d si et seulement si d est la médiatrice de [AA’] .
Par conséquent, d est perpendiculaire à [AA’] et coupe [AA’] en son milieu.
L’élément caractéristique d’une symétrie orthogonale est son axe.
Notations : Sd désigne la symétrie d’axe d
Sd(A) désigne l’image de A par la symétrie d’axe d
Sd(A) = A’
Remarques :
• une symétrie échange un point avec son symétrique
• dans une symétrie axiale , les points de l’axe sont fixes
• une symétrie orthogonale est une transformation du plan - tout point a un seul symétrique
- tout point est le symétrique d’un seul point
Invariants de le symétrie axiale : La symétrie axiale conserve :
• l’alignement des points
• la longueur des segments ( on dit qu’elle conserve les distances )
• l’amplitude des angles
• le parallélisme et la perpendicularité des droites
• l’aire des figures
• le milieu.
Un axe de symétrie d’une figure est une droite qui partage la figure en deux parties superposables.
Symétrie axiale et plan cartésien :
Les points A , B et C sont donnés dans le plan cartésien. Donner leurs coordonnées ; construire les symétriques demandés et déterminer les coordonnées de ces derniers.
• A’ image de A par la symétrie orthogonale d’axe des x
• B’ image de B par la symétrie orthogonale d’axe des y
• C’ image de C par la symétrie orthogonale d’axe des x
• D’ image de D par la symétrie orthogonale d’axe des y.
Si les coordonnées du point A sont ( 3 , 4 ) :
• quelles sont les coordonnées de son symétrique par rapport à l’axe X ?
• quelles sont les coordonnées de son symétrique par rapport à l’axe Y ?
Généralisation : Si A ( x , y ) alors
son symétrique par rapport à l’axe des x est A’( ; ) son symétrique par rapport à l’axe des y est A’’( ; )
II. La symétrie centrale :
A et A’ sont symétriques par rapport au point C si et seulement si C est le milieu de [AA’] .
L’élément caractéristique d’une symétrie centrale est son centre.
Notations : SC désigne la symétrie de centre C
SC(A) désigne l’image de A par la symétrie de centre C
SC(A)= A’
Remarques :
• une symétrie échange un point avec son symétrique
• dans une symétrie centrale, seul le centre est fixe
• une symétrie centrale est une transformation du plan - tout point a un seul symétrique
- tout point est le symétrique d’un seul point
Invariants de la symétrie centrale : La symétrie centrale conserve :
• l’alignement des points
• la longueur des segments ( on dit qu’elle conserve les distances )
• l’amplitude des angles
• le parallélisme et la perpendicularité des droites
• l’aire des figures
• le milieu.
Lorsque le symétrique d’une figure F, par rapport à un point C est la figure F elle-même, on dit que C est un centre de symétrie de cette figure F.
Symétrie centrale et plan cartésien :
A’ est l’image de A par la symétrie centrale de centre O. Construire A’
Comparer les coordonnées de A et A’.
Construire l’image de B par cette symétrie.
Quelles seraient les coordonnées de l’image du point P ( 123 , -702 ) par cette même symétrie ? Généraliser le résultat.
Généralisation :
Si A ( x , y ) alors son symétrique par rapport à l’origine O du repère est A’ ( ; ) III. Translations :
Activité :
Décalquer la droite (OU) et marquer O sur le calque. Décalquer la figure F, puis faire glisser la figure décalquée suivant (OU), dans le sens de O vers U, de façon que le point O vienne se superposer au point U. Reproduire alors la figure F ’.
B G
A H
I
F E
C D O
F
Est-il nécessaire de décalquer toute la figure F, pour la reproduire ?
...
On donne trois points A, B et C. Si l’on fait glisser le point C parallèlement à la droite AB, dans le sens de A vers B , sur une distance égale à la longueur de [AB], on obtient un point D.
Un tel glissement parallèle dans le plan, donne naissance à la translation qui applique le point A sur le point B. On parle aussi de translation de couple ( A , B ).
L’élément caractéristique d’une translation est son couple.
Notation :
tAB désigne la translation de couple ( A , B ) t (C)
AB désigne l’image de C par la translation de couple ( A , B )
C’=tAB(C ) D’=tAB(D) E’=tAB(E)
On parle aussi de vecteur d’une translation, dans notre exemple AB , il s’agit d’un segment de droite orienté. Il est caractérisé par une direction, un sens et une longueur.
Remarques:
• une translation est un déplacement du plan
• dans une translation, il n’y a AUCUN point fixe. SAUF si le couple de la translation est le couple ( A , A ), auquel cas TOUS les points sont fixes.
• une translation est une transformation du plan - tout point a un seul « translaté »
- tout point est le « translaté » d’un seul point.
Invariants d’une translation :
La translation conserve :
• l’alignement des points
• la longueur des segments ( on dit qu’elle conserve les distances )
• l’amplitude des angles
• le parallélisme et la perpendicularité des droites
• l’aire des figures
• le milieu.
Translations et plan cartésien.
Soit le triangle ABC donné dans le plan cartésien. Construire le triangle 2, image de ABC par tRS ; le triangle 3, image de ABC par
tPQ . Déterminer les coordonnées des sommets de chacun des triangles.
Soit le triangle MNP donné dans le plan cartésien(voir page suivante ). Construire le triangle 2, image de MNP par
tUV ; le triangle 3, image de MNP par
tRS . Déterminer les coordonnées des sommets des trois triangles. Que constate-t-on ?
Si une translation s’effectue parallèlement à un des axes du plan cartésien, quel lien peut- on établir entre les coordonnées d’un point et celles de son image par cette translation ?
IV. La rotation :
Si dans le plan de la feuille on fait tourner une figure autour d’un point O , on peut réaliser une rotation , mais cette rotation peut s’effectuer dans deux sens contraires l’un de l’autre : le sens des aiguilles d’une montre appelé sens indirect et le sens contraire appelé sens direct.
Dans le premier cas on parle de rotation d’amplitude négative , dans le second de rotation d’amplitude positive.
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O et d’amplitude 60°
(sens direct)
Le triangle A’’B’’C’’ est l’image du triangle ABC par la rotation de centre O et d’amplitude -60° (sens indirect)
Les éléments caractéristiques d’une rotation sont :
• le centre
• l’amplitude ( positive ou négative ) de l’angle Notations :
On note une rotation par la lettre R en précisant son centre et son amplitude RO,α désigne la rotation de centre O et d’angle α
RO,α (A) désigne l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle α.
Image d’un point par une rotation :
Pour déterminer l’image de A par la rotation de centre O et d’angle 30° : - on trace la demi-droite [OA)
- on trace un arc de cercle de centre O et passant par A
- on trace un angle de 30° dans le sens adéquat ( ici dans le sens direct puisque l’amplitude est positive)
Remarques :
• Une rotation est un déplacement.
• Une rotation admet un SEUL point fixe , son centre sauf si l’angle de la rotation est nul auquel cas tous les points sont fixes.
• Une rotation est une transformation :
- tout point a une image et une seule par une rotation donnée - tout point est l’image d’un seul point par une rotation donnée.
Invariants d’une rotation :
La rotation conserve :
• l’alignement des points
• la longueur des segments ( on dit qu’elle conserve les distances )
• l’amplitude des angles
• le parallélisme et la perpendicularité des droites
• l’aire des figures
• le milieu.
Rotation et plan cartésien :
On considère le triangle ABC représenté ci-dessous.
Noter les coordonnées des sommets de ce triangle.
Représenter en bleu, l’image de ABC par la R0,90° et en vert l’image de ABC par la R0,-90°. Noter les coordonnées des points images dans chaque cas. Que constate-t-on ?
Si un point a pour coordonnées ( -55, 36) , quelles seront alors les coordonnées de ses images par ces rotations ?
Généraliser.
Quelques conclusions :
Effet de ces isométries sur les coordonnées d’un point dans le plan cartésien:
1. Effet d’une symétrie orthogonale
par rapport à l’axe X ( x , y ) → ( …..,…..) par rapport à l’axe Y ( x , y ) → ( …..,…..)
D1E1F1 est l’image d’un triangle DEF par la symétrie d’axe X et D2E2F2 est l’image de ce même triangle par la symétrie d’axe Y. Sans les dessiner , compléter le tableau suivant :
coordonnées des points D(-8 ;4) E(6 ;5) F(-4 ;-7) coordonnées des points images par SX
coordonnées des points images par SY
2. Effet d’une symétrie centrale de centre O ( origine des axes ) ( x , y ) → ( …..,…..)
1 1 1ST
R est l’image du triangle RSTpar la symétrie centrale de centre O. Complétez le tableau suivant, sans effectuer de schéma :
Coordonnées des points R ( 6 , 2 ) S ( 3 , -5 ) T ( -4 , 7 ) Coordonnées des points images par SO
3. Effet d’une translation
Considérons la translation qui applique O ( 0 , 0 ) sur P ( a , b )
( x , y ) → ( ……….,……….)
1 1 1E F
D est l’image du triangle DEF par la translation qui applique O ( 0 , 0 ) sur P ( -2 , -1 ).
Compléter le tableau ci-après :
Coordonnées des points D ( 2 , 3 ) E ( 4 , -2 ) F ( -2 , -1 ) Coordonnées des points images par
tOP
4. Effet d’une rotation
• de centre O et d’amplitude 90° ( x , y ) → ( …..,…..)
• de centre O et d’amplitude -90° ( x , y ) → ( …..,…..)
1 1 1E F
D est l’image du triangle DEF par la rotation RO,90° et D2E2F2 est l’image de ce même triangle par la rotation RO,−90°. Sans dessiner, compléter le tableau suivant :
Coordonnées des points D ( 3 , 5 ) E ( -2 , -4 ) F ( -5 , 3 ) Coordonnées des points images par RO,90°
Coordonnées des points images par RO,−90°
