On pose K = Z 2

TS Correction Fiche TP 16 _2011-2012

On pose K = Z 2

√ 2

√ dx x ² − 1

1. Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par :

f (x) = ln(x + √ x ² − 1)

f est de la forme ln u où u : x 7−→ x + √

x ² − 1 est strictement positive et dérivable sur l’intervalle d’intégration [ √

2; 2] donc f ^′ = u ^′

u avec u ^′ : x 7−→ 1 + x

√ x ² − 1 . Ce qui donne :

∀ x ∈ [ √

2; 2], f ^′ (x) = 1 + ^√ _x ^x

₂

− 1

x + √

x ² − 1 =

√ x

2

− 1+x

√ x

2

− 1

x + √

x ² − 1 = 1

√ x ² − 1 D’après ce qui précéde, f est une primitive de la fonction x 7−→ 1

√ x ² − 1 qui est continue sur [ √

2; 2] donc :

K =

ln(x + √

x ² − 1) ²

√ 2 = ln(2 + √

3) − ln( √

2 + 1)= ln

2 + √

√ 3 2 + 1

2. On pose J = Z ²

√ 2

p x ² − 1dx.

Z 2

√ 2

x ² dx

√ x ² − 1 − K = Z 2

√ 2

x ² dx

√ x ² − 1 − Z 2

√ 2

√ dx

x ² − 1 = Z 2

√ 2

(x ² − 1)dx

√ x ² − 1 (1) Or si X > 0, X

√ X = √

X donc comme x ² − 1 > 0 sur [ √

2; 2], x ² − 1

√ x ² − 1 = √ x ² − 1 En reportant dans la relation (1),

Z ²

√ 2

x ² dx

√ x ² − 1 − K = Z ²

√ 2

p x ² − 1dx = J ⇔ Z ²

√ 2

x ² dx

√ x ² − 1 = J + K (2)

Or Z ²

√ 2

x ² dx

√ x ² − 1 = Z ²

√ 2

x × x

√ x ² − 1 dx On pose :

u ^′ : x 7−→ x

√ x ² − 1 u : x 7−→ √ x ² − 1 v : x 7−→ x v ^′ : x 7−→ 1

Et à l’aide d’une intégration par parties : Z 2

√ 2

x × x

√ x ² − 1 dx = h x p

x ² − 1 i ²

√ 2 − Z 2

√ 2

p x ² − 1dx

⇔ Z 2

√ 2

x ²

√ x ² − 1 dx = 2 √ 3 − √

2 − J On reporte dans (2) et l’on obtient : J + K = 2 √

3 − √

2 − J ⇔ 2J = 2 √ 3 − √

2 − K ⇔ J = √ 3 − 1

2

√ 2 − K 2

Ainsi J = √ 3 − 1

2

√ 2 − 1 2 ln

2 + √

√ 3 2 + 1

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