Équations Différentielles Ordinaires

Notes de cours:

Équations Différentielles Ordinaires

V^INCENT M^ILLOT

Licence 3 Mathématiques Appliquées Université Paris Diderot - Paris 7

2010-2011

Table des matières

1 Introduction : contexte général et linéaire 5

1.1 Systèmes sous forme normale, problème de Cauchy . . . . 5

1.2 Notations . . . . 7

1.3 Systèmes différentiels linéaires . . . . 7

2 Résolution des systèmes différentiels linéaires 11 2.1 Résolution du problème de Cauchy . . . . 11

2.2 Systèmes homogènes . . . . 15

2.3 Équations homogènes d’ordreN . . . . 19

2.4 Systèmes avec second membre . . . . 21

2.5 Systèmes homogènes à coefficients constants . . . . 22

2.5.1 Exponentielle d’endomorphismes . . . . 22

2.5.2 Quelques rappels d’algèbre linéaire . . . . 25

2.5.3 Solution générale du système homogène . . . . 26

2.6 Problèmes . . . . 30

3 Équations différentielles ordinaires non linéaires 33 3.1 Les fonctions Lipschitziennes . . . . 33

3.2 Solutions locales, Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . 36

3.3 Solutions maximales et globales . . . . 40

3.4 Critères d’existence globale . . . . 43

3.4.1 Condition Lipschitz globale, semi-globale, et bornitude . . . . 43

3.4.2 Fonctions de Lyapunov et intégrales premières . . . . 44

3.4.3 Deux exemples fondamentaux . . . . 46

3.5 Problèmes . . . . 48

4 Flot d’un système différentiel : dépendance par rapport aux données 51 4.1 Dépendance par rapport à la donnée initiale . . . . 51

4.1.1 Définition et continuité du flot . . . . 51

4.1.2 Différentiabilité du flot . . . . 55

4.2 Systèmes à paramètre . . . . 60

4.3 Problèmes . . . . 62

5 Systèmes autonomes et stabilité de points stationnaires 65 5.1 Champs de vecteurs . . . . 65

5.2 Stabilité des points stationnaires . . . . 69

Chapitre 1

Introduction : contexte général et linéaire

Dans toutes ces notes, Kdésignera le corps des nombres réels R, ou celui des nombres complexesC, etN sera un entier strictement positif.

1.1 Systèmes sous forme normale, problème de Cauchy

Définition 1.1. Soientqetrdeux entiers strictement positifs, et soitu:I→K^N une fonctionrfois dérivable sur un intervalleIdeR. SoitF : O →K^q une application définie sur un ouvert O deR×K^N×(r+1). On dit queuest une solution sur I du système différentiel ordinaire

F(t, u, u⁰, . . . , u^(r)) = 0, (1.1) si pour toutt∈I,

t, u(t), u⁰(t), . . . , u^(r)(t)

∈ O, et

F t, u(t), u⁰(t), . . . , u^(r)(t)

= 0.

L’entierrest appelé ordre du système différentiel. Lorsqueq= 1, on parle d’équation différentielle, et cette équation est ditescalairesiN = 1.

En pratique, pour résoudre un système différentiel, on se ramène presque toujours à un système d’ordre 1 par le changement d’inconnue suivant.

Proposition 1.2(Réduction à l’ordre 1). SoientuetF comme dans la Définition 1.1 avecr>2. Posonsv= (vj)^r_j=1 :I→K^N×rdéfinie parv1:=u, etvj:=u^(j−1)la (j−1)-ième dérivée deupourj= 2, . . . , r. Alorsuest une solution surIde(1.1)si et seulement sivest une solution surIdu système différentiel d’ordre 1 suivant :

(F(t, v1, . . . , vr, v⁰_r) = 0,

v⁰_j=v_j+1 pourj= 1, . . . , r−1. (1.2)

Remarque1. Le système (1.2) vérifié par la nouvelle inconnuevpeut s’écrire sous la forme

G(t, v, v⁰) = 0,

où l’applicationG= (G₁, . . . , G_q+r−1) :O →e K^q+r−1est définie sur l’ouvert Oe=

(t, x, y) = (t,(x_j)^r_j=1,(y_j)^r_j=1)∈R×K^N×r×K^N×r:

(t, x1, . . . , xr, yr)∈ O par

Gi(t, x, y) =yi−xi+1 pouri= 1, . . . , r−1, et

Gi(t, x, y) =F_i+1−r(t, x1, . . . , xr, yr) pouri=r, . . . , q+r−1, avecF = (F₁, . . . , F_q).

Dans ce cours, nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme ditenormale(appelés parfoiséquations résoluespar rapport aux dérivées), ou pouvant se ramener à un système sousforme normale.

Définition 1.3. On appelle système différentiel normaltout système différentiel du premier ordre de la forme

u⁰ =f(t, u), (1.3)

oùf :O →K^N désigne une application donnée et définie sur un ouvertOdeR×K^N. Remarque2. Considérons par exemple le casK=R,N =q= 1, et d’une équation du type

F(t, u, u⁰) = 0,

oùF :O→Rest une application définie et de classeC¹sur un ouvertOdeR³. Pour trouver une solution de ce problème, on peut d’abord déterminer une racine(t0, x0, y0) de l’équationF(t, x, y) = 0. Ayant obtenu une telle racine(t0, x0, y0), si l’on a

∂F

∂y(t0, x0, y0)6= 0,

d’après le Théorème des fonctions implicites, on peut trouver un voisinageV ⊂R²de (t₀, x₀), un voisinageJ ⊂Rdey₀, et une applicationf₀ :V →J de classeC¹tels que

F t, x, f₀(t, x)

= 0 ∀(t, x)∈V .

Toute solution deu⁰=f0(t, u)sera alors une solution deF(t, u, u⁰) = 0.

Dans la suite, on désigne parOun ouvert deR×K^N, etIun intervalle deR. Soit f :O →K^N une application donnée.

Définition 1.4. Etant donné(t0, x0)∈ O, leproblème de Cauchyrelatif à l’équation (1.3) et auxdonnées initiales(t0, x0)consiste à chercher les solutions (1.3) vérifiant la condition

u(t0) =x0, (1.4)

appeléecondition initiale. Si le problème de Cauchy (1.3)-(1.4) admet une unique so- lution, on dit quele problème de Cauchy est bien posé.

Nous concluons cette première section d’introduction par un résultat simple mais important derégularitédes solutions de (1.3).

Proposition 1.5. Supposons quef : O →K^N soit de classeC^k surOaveck >0.

Alors toute solutionu:I→K^N de(1.3)est de classeC^k+1surI.

Démonstration. Pourk= 0, la fonctiont∈I7→f(t, u(t))est continue comme com- posée d’applications continues. On déduit alors de l’équation (1.3) queu⁰est continue surI, et doncuest de classeC¹surI. Pourk >1procédons par récurrence en sup- posant queuest de classeC^k, et montrons queuest en fait de classeC^k+1. Comme composée d’applications de classeC^k, la fonctiont∈I7→f(t, u(t))est de classeC^k, et doncu⁰est de classeC^ksurId’après (1.3), c’est à direuest de classeC^k+1.

1.2 Notations

Dans tout ce cours, nous noteronsL(K^N,K^q)l’espace vectoriel des applications linéaires deK^N dansK^q. Lorsqueq = N nous écrirons simplementL(K^N). Rap- pelons également queL(K^N,K^q)peut être identifié à l’espace des matricesq×N à coefficients dansK, notéMq×N(K). Cette identification sera souvent utilisée sans être mentionnée (sauf en cas de confusions possibles). L’écriture matricielle d’un élément deL(K^N,K^q)se fera alors dans la base canonique. La base canonique deK^N sera notéee= (e₁, . . . , e_N).

Nous désignerons park · k_?,N etk · k_?,qdes normes (quelconques) surK^N etK^q (rappelons qu’en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes), et nous noterons

||| · |||_?,(q,N)la norme induite surL(K^N,K^q)définie par

|||A|||_?,(q,N):= sup

x∈K^N\{0}

kAxk?,q

kxk?,N

,

qui est aussi appeléenorme d’opérateur. Lorsqueq= N, nous n’indiquerons pas les dimensions pour simplifier l’écriture.

Nous noterons égalementh·,·ile produit scalaire deR^N lorsqueK = R, ou le produit Hermitien de C^N lorsqueK = C. La norme Euclidienne induite sera notée k · k₂, et rappelons que pourx= (x₁, . . . , x_N)∈K^N,

kxk2:=p

hx, xi=





N

X

j=1

|xj|²





1/2

.

1.3 Systèmes différentiels linéaires

Définition 1.6. Un système différentiel d’ordre rest ditlinéairesi il s’écrit sous la forme

A₀(t)u+

r

X

j=1

A_j(t)u^(j)=b(t), (1.5)

où pourj = 0, . . . , r,A_j : I → L(K^N,K^q)etb : I → K^q sont des applications données. La fonctionbest appeléesecond membredu système, et sib= 0, le système est dithomogène.

Remarque3. Lorsqueq =N, le système linéaire (1.5) peut s’écrire sous forme nor- male si l’applicationA_r : I → L(K^N)vérifiedet(A_r(t))6= 0pour toutt ∈ I. En effet,Ar(t)est alors inversible pour toutt∈I, et nous pouvons commencer par écrire (1.5) sous la forme

u^(r)=Ae0(t)u+

r−1

X

j=1

Aej(t)u^(j)+eb(t),

avecAej(t) = −A⁻¹_r (t)◦Aj(t)pour j = 0, . . . , r−1, eteb(t) = A⁻¹_r (t)b(t). On considère alors l’applicationM :I→L(K^N×r)définie pour toutt∈Ipar

M(t) :x= (xj)^r_j=1∈K^N×r7→



x2, x3, . . . , xr,

r−1

X

j=1

Ae_j−1(t)xj



,

et la fonctionN :I→K^N×rdonnée par N(t) =

0, . . . ,0,eb(t) .

En opérant le changement d’inconnue de le Proposition 1.2, on se ramène au système sous forme normale

v⁰=M(t)v+N(t).

Nous allons présenter maintenant quelques propriétés élémentaires des solutions de systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 sous forme normale. L’existence de solutions n’ est pas discutée ici, elle le sera dans le chapitre suivant. Toutefois les propriétés ci-dessous seront utilisées dans tout le reste de ces notes.

On se donne donc deux applicationsA : I → L(K^N)etb : I → K^N, et nous considérons le système différentiel

u⁰=A(t)u+b(t), (1.6)

où l’inconnueuest une fonction à valeurs dansK^N, définie et dérivable sur un sous- intervalleJ ⊂I. Le système différentiel homogène

u⁰ =A(t)u , (1.7)

sera ditassociéà (1.6).

Les démonstrations des deux propositions suivantes sont élémentaires et laissées en exercice.

Proposition 1.7. En supposant que les solutions considérées ci-dessous sont définies sur un même sous-intervalleJdeI:

(i) siu1etu2sont deux solutions de(1.6), alorsu1−u2est une solution du système homogène associé(1.7);

(ii) l’ensemble des solutions du système homogène(1.7)forme un espace vectoriel surK;

(iii) l’ensemble des solutions de(1.6)est un sous-espace affine de l’espace vecto- riel des applications deJ dansK^N.

Proposition 1.8. Soientb_k :I→K^N,k= 1, . . . , K, des applications données. Pour chaquek∈ {1, . . . , K}, soitu_kune solution définie surIde(1.6)avecb=b_k. Alors pour tousλ1, . . . , λK ∈K, la fonction

u=

K

X

k=1

uk

est une solution surIde(1.6)avecb=P

kbk.

Remarque4. D’après la Proposition 1.7, pour connaître toutes les solutions de (1.6), il suffit de connaître toutes les solutions de (1.7) etune seulesolution particulière de (1.6).

De plus, pour connaître toutes les solutions de (1.7), il suffit de connaître une base de l’espace vectoriel des solutions de (1.7). Nous verrons dans le chapitre suivant qu’une telle base existe, et que l’espace vectoriel des solutions de (1.7) est en fait isomorphe àK^N.

Définition 1.9. Une base de l’espace vectoriel des solutions du système homogène (1.7) sera appelésystème fondamentalde solutions, oubase de solutions.

Chapitre 2

Résolution des systèmes différentiels linéaires

2.1 Résolution du problème de Cauchy

Théorème 2.1(de Cauchy). SoientI⊂Run intervalle,A:I→L(K^N)etb:I→ K^N deux applications continues. Pour toust0∈Ietx0∈K^N, le système différentiel

u⁰=A(t)u+b(t) (2.1)

admet une unique solution définie surIvérifiantu(t0) =x0.

Un point clef de la démonstraton consiste à reformuler le problème sous forme dite d’équation intégrale.

Lemme 2.2. Soitu:I → K^N une fonction continue. La fonctionuest une solution de(2.1)vérifiantu(t0) =x0, si et seulement siusatisfait l’équation intégrale

u(t) =x0+ Z t

t0

A(s)u(s) +b(s)

ds ∀t∈I . (2.2)

Démonstration. Supposons que usoit une solution de (2.1) vérifiant u(t0) = x0. D’après la Proposition 1.5, la fonction u est de classe C¹ sur I, et en particulier u(t) = x₀+Rt

t0u⁰(s)dspour toutt ∈ I. En utilisant (2.1), on déduit donc queu vérifie (2.2).

Réciproquement, supposons queuvérifie (2.2). Puisqueuest continue, le membre de droite de (2.2) est de classeC¹surI, et sa dérivée entest égale àA(t)u(t) +b(t).

De (2.2) on déduit alors queuest dérivable surIet satisfait (2.1). De plus, en prenant

t=t0dans (2.2), nous obtenonsu(t0) =x0.

Démonstration du Théorème 2.1 lorsqueIest compact. D’après le Lemme 2.2, il nous suffit de montrer l’existence et l’unicité de la solution de l’équation intégrale (2.2).

Nous supposerons pour le moment que l’intervalleIest compact, et on écriraI= [a, b].

Nous allons maintenant construire une solution de (2.2) par uneméthode de point fixe.

On définit une suite{u_n}_n∈Nde fonctions continues deIdansK^N par la relation de récurrence







un+1(t) =x0+ Z t

t0

A(s)un(s) +b(s)

ds pourn∈Nett∈I ,

u₀(t) =x₀ pourt∈I .

(2.3)

Nous laissons au lecteur le soin de justifier la continuité de chaque fonctionu_n. Notre but est de montrer que la suite{u_n}_n∈Nconverge vers une fonction continueu:I → K^N qui sera solution de notre problème.

Étape 1 : Estimations a priori.On observe que les applicationst ∈ I 7→ |||A(t)|||?et t∈I 7→ kb(t)k?sont continues comme composées d’applications continues. Puisque Iest compact, il existe des nombresα, β∈R⁺tels que

|||A(t)|||?6α et kb(t)k?6β ∀t∈I . (2.4) En conséquence, pour tout entiern>1,

kA(t) un(t)−un−1(t)

k?6|||A(t)|||?kun(t)−un−1(t)k?

6αkun(t)−u_n−1(t)k? ∀t∈I . En combinant cette inégalité avec la relation de récurrence (2.3), nous obtenons pour toutn>1et toutt∈I,

kun+1(t)−un(t)k?=

Z t t0

A(s) un(s)−u_n−1(s) ds

?

6 Z t

t0

A(s) un(s)−u_n−1(s)

_?ds6α Z t

t0

un(s)−u_n−1(s)

_?ds . (2.5) Pourn= 0ett∈I, nous avons

ku1(t)−u0(t)k?=

Z t t0

A(s)x0+b(s)ds ?

6 Z t

t₀

A(s)x0

+

b(s)

_?ds6 αkx0k?+β

|t−t0|. (2.6) En effectuant une récurrence sur l’entiern, nous déduisons de (2.5) et (2.6) que

kun+1(t)−u_n(t)k?6 αkx0k?+βαⁿ|t−t₀|ⁿ⁺¹

(n+ 1)! ∀t∈I , ∀n∈N. en particulier, nous avons obtenu

sup

t∈I

kun+1(t)−un(t)k?6Cαⁿ|b−a|ⁿ⁺¹

(n+ 1)! ∀n∈N. (2.7) avecC=αkx0k?+β.

Étape 2 : Convergence de{un}_n∈N.Rappelons dans un premier temps le résultat clas- sique suivant (démonstration en exercice) :

Lemme 2.3. L’ensembleC⁰(I,K^N)des applications continues deIdansK^N est un espace vectoriel normé complet pour la “norme de la convergence uniforme” :

kvk_∞:= sup

t∈I

kv(t)k_?.

Montrons que la suite{u_n}_n∈N est de Cauchy dansC⁰(I,K^N). En effet, pour tous entiersm > n,

um−un=um−u_m−1+u_m−1−u_m−2+. . .+un+1−un=

m−1

X

k=n

(uk+1−uk).

On déduit alors de (2.7) que pour tous entiersm > n, kum−unk_∞6

m−1

X

k=n

kuk+1−ukk_∞6C

m−1

X

k=n

α^k|b−a|^k+1

(k+ 1)! . (2.8) Puisque la série numériqueP

k∈N

α^k|b−a|^k+1

(k+1)! est convergente (exercice), nous avons

n→+∞lim X

k>n

α^k|b−a|^k+1

(k+ 1)! = 0. (2.9)

On se donne maintenantε >0arbitraire. D’après (2.9), il existeNε∈Ntel que pour toutn>N_ε,P

k>n

α^k|b−a|^k+1

(k+1)! < ε/C. Nous déduisons alors de (2.8) que pour tous n, m∈Navecm > n>Nε,

ku_m−u_nk_∞6C

m−1

X

k=n

α^k|b−a|^k+1

(k+ 1)! 6CX

k>n

α^k|b−a|^k+1 (k+ 1)! < ε . La suite{un}_n∈Nest donc bien de Cauchy dansC⁰(I,K^N).

D’après le Lemme 2.3, l’espaceC⁰(I,K^N)munit de la normek · k_∞est complet.

La suite {un}n∈N converge donc uniformément sur l’intervalle I vers une certaine fonctionu∈C⁰(I,K^N).

Étape 3 :uest solution.Puisque la converge uniforme implique la convergence simple, nous déduisons queu_n(t)→u(t)pour toutt∈Ilorsquen→+∞. En particulier,

u(t0) = lim

n→+∞un(t0) =x0, puisqueun+1(t0) =x0+Rt₀

t₀ A(s)un(s) +b(s)ds=x0pour toutn∈N. De plus, A(t)u_n(t)−A(t)u(t)

_?6|||A(t)|||_?ku_n(t)−u(t)k_?

6αkun(t)−u(t)k? ∀t∈I , ∀n∈N, et donc

sup

t∈I

A(t)un(t)−A(t)u(t)

_?6αkun−uk_∞ −→

n→+∞0.

La suite de fonctionst ∈ I 7→ A(t)un(t) +b(t)converge donc uniformément surI vers la fonctiont∈I7→A(t)u(t) +b(t), et en conséquence

n→+∞lim Z t

t₀

A(s)u_n(s) +b(s)ds= Z t

t₀

A(s)u(s) +b(s)ds ∀t∈I . (2.10)

Nous pouvons alors passer à la limiten → +∞dans (2.3) pour déduire queuvéri- fie (2.2). La fonction continueuest donc bien solution de notre problème.

Étape 4 : Unicité de la solution. Supposons qu’il existe deux fonctions u1, u2 ∈ C⁰(I,K^N)vérifiant (2.2). On pose alorsv=u1−u2et on remarquevest une fonction continue surIvérifiant

v(t) = Z t

t0

A(s)v(s)ds ∀t∈I . (2.11)

En posantM :=kvk_∞, nous estimons kv(t)k_?6

Z t t0

A(s)v(s) _?ds6

Z t t0

|||A(s)|||_?kv(s)k_?ds6αM|t−t₀| ∀t∈I .

En réinjectant cette inégalité dans (2.11) nous obtenons kv(t)k?6

Z t t0

|||A(s)|||?kv(s)k?ds6αM Z t

t0

|s−t0|ds

6Mα²|t−t₀|²

2 ∀t∈I .

Par récurrence nous arrivons ainsi à kv(t)k_?6Mαⁿ|t−t0|ⁿ

n! 6Mαⁿ|b−a|ⁿ

n! ∀t∈I , ∀n∈N. On déduit alors que

kvk_∞6Mαⁿ|b−a|ⁿ

n! −→

n→+∞0,

et doncv= 0, c’est à direu₁=u₂.

Exercice1. Démontrer (2.10) en utilisant le théorème de convergence dominée.

Démonstration du Théorème 2.1 lorsqueIn’est pas compact. Soit{Ik}_k∈Nune suite d’intervalles compacts tels que Ik ⊂ Ik+1,t0 ∈ Ik pour toutk ∈ N, etI = ∪kIk

(exercice : construire une telle suite). PuisqueIkest compact ett0 ∈Ik, pour chaque k∈Nil existe une unique solutionukde (2.1) définie surIk et vérifiantuk(t0) =x0. Mais comme Ik ⊂ Ik+1,uk+1 est également une solution surIk de (2.1) vérifiant uk+1(t0) =x0. Par unicité de la solution, nous avons doncuk+1(t) =uk(t)pour tout t∈Ik, et cela pour toutk∈N. Du fait queI=∪kIk, nous pouvons maintenant définir une fonctionu:I→K^N par

u(t) =uk(t) sit∈Ik. (2.12)

On vérifie alors queu∈C⁰(I,K^N), et queusatisfait l’équation intégrale (2.2) (exer- cice). La fonctionuest donc bien une solution de (2.1) surI, etu(t₀) =u_k(t₀) =x₀. Montrons maintenant queuest l’unique solution de (2.1) surIvérifiantu(t₀) =x₀. Sieuest une autre solution surI, alorsueest également une solutionI_kvérifianteu(t₀) = x0pour tous lesk∈N. Par unicité surIkcompact, nous avons donceu(t) =uk(t)pour

toutt∈Ik. Mais alorseu=ud’après (2.12).

Remarque5. Toute solutionude l’équationu⁰ = A(t)u+b(t)définie sur un sous- intervalleJ deI, est la restriction àI d’une solution définie sur toutI. Pour ce type d’équations, nous pourrons donc nous contenter de l’étude des solutions définies sur tout l’intervalleI. Nous verrons dans le chapitre suivant que dans un cadre plus général, ces solutions sont appeléessolutions globales.

Dans le reste de ce chapitre, les solutions considérées seront donc définies sur tout l’intervalleI.

2.2 Systèmes homogènes

Une conséquence directe du Théorème 2.1 est le résultat suivant dont la preuve est laissée au lecteur.

Théorème 2.4. Soient I ⊂ R un intervalle et A : I → L(K^N)une application continue. SoitS l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène

u⁰ =A(t)u . (2.13)

Pour toutt₀∈I, l’applicationu∈S 7→u(t₀)∈K^N est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Corollaire 2.5. L’espace vectorielS des solutions de(2.13)est de dimensionN. Définition 2.6. On dit que des solutionsu1, . . . , upde (2.13) sontlinéairement dépen- dantessi il existe des constantesµ1, . . . , µp∈Knon toutes nulles telles que

p

X

k=1

µkuk(t) = 0 ∀t∈I .

Si les solutionsu1, . . . , upne sont pas linéairement dépendantes, on dit qu’elles sont linéairement indépendantes.

Proposition 2.7. Pour que des solutionsu₁, . . . , u_pde(2.13)soient linéairement indé- pendantes, il faut et il suffit qu’il existet₀∈Itel que u₁(t₀), . . . , u_p(t₀)

forme une famille libre deK^N.

Démonstration. Si il existe t0 ∈ I tel que u1(t0), . . . , up(t0)

forme une famille libre de K^N, alors le fait queu1, . . . , up soient linéairement indépendantes découle directement de la Définition 2.7. Pour montrer l’implication inverse, on suppose que u1, . . . , upsont linéairement indépendantes, et on se donnet0 ∈Iquelconque. Nous allons montrer que u1(t0), . . . , up(t0)

forme une famille libre deK^N. On procède par contradiction en supposant qu’il existe des constantesµ1, . . . , µp ∈Knon toutes nulles telles que

p

X

k=1

µkuk(t0) = 0. On pose alors pourt∈I,v(t) := Pp

k=1µ_ku_k(t), et on vérifie quevest une solution de (2.13) vérifiantv(t₀) = 0. Par unicité de la solution, on obtientv(t) = 0pour tout t ∈ I, c’est à dire Pp

k=1µkuk(t) = 0 pour tout t ∈ I. Ceci contredit le fait que u1, . . . , upsoient linéairement indépendantes, et donc u1(t0), . . . , up(t0)

forme une

famille libre deK^N.

Définition 2.8. On dit qu’une famille de solutions(u₁, . . . , u_N)de (2.13) est unebase de solutions(ou système fondamental) si cette famille est une base de l’espace des solutionsS.

Comme conséquence directe de la Proposition 2.7, nous avons le corollaire suivant.

Corollaire 2.9. Pour queNsolutionsu1, . . . , uN de(2.13)forment une base de solu- tions, il faut et il suffit qu’il existet0∈Itel que

det u1(t0), . . . , uN(t0) 6= 0,

oùdetdésigne le déterminant d’une famille deNéléments deK^N.

Remarque6. Si˜e = (˜e1, . . . ,e˜N)désigne une base quelconque deK^N, on construit pour chaquet0∈Iune base de solutions(u1, . . . , uN)de (2.13) en considérant pour chaquei= 1, . . . , N, la solutionuide (2.13) satisfaisantui(t0) = ˜ei.

Dans la définition suivante et pour toute la suite, on noteraId_N l’élément identité deL(K^N).

Définition 2.10. On appelle résolvantede l’équation homogène (2.13), l’application R :I×I→L(K^N)qui àt0∈IassocieR(·, t0) :I →L(K^N)l’unique solution du problème de Cauchy





 d

dtR(t, t₀) =A(t)◦R(t, t₀), R(t0, t0) =IdN.

(2.14)

Remarque7. L’existence et l’unicité de la solution du problème de Cauchy (2.14) est obtenue à partir du Théorème 2.1. Pour cela on identifieL(K^N)avecMN×N(K)' K^N

2, et on considère l’application continueA : I 7→ L MN×N(K)

définie pour chaque t ∈ I parA(t) : U 7→ A(t)U. D’après le Théorème 2.1, pour toutt₀ ∈ I, il existe une unique solution de l’équationU⁰ =A(t)U satisfaisantU(t₀) =Id_N, et l’on noteR(·, t₀)cette solution.

Proposition 2.11. Soientt0,t1etttrois points deI. On a R(t, t₀) =R(t, t₁)◦R(t₁, t₀).

Démonstration. Fixons les pointst₀ett₁ dansI, et utilisons les notations de la Re- marque 7. PosonsS(t) =R(t, t₁)◦R(t₁, t₀). L’applicationS:t∈I→L(K^N)est de classeC¹comme composée d’applications de classeC¹et

S⁰(t) = d

dtR(t, t1)

◦R(t1, t0) =A(t)◦R(t, t1)◦R(t1, t0) =A(t)S(t). De plus,

S(t1) =R(t1, t1)◦R(t1, t0) =IdN◦R(t1, t0) =R(t1, t0).

D’après le Théorème 2.1, il existe une unique solution de U⁰ = A(t)U satisfaisant U(t1) = R(t1, t0). Or la fonctiont ∈ I 7→ R(t, t0)∈ L(K^N)est solution de cette équation. En conséquenceS=R(·, t0)ce qui montre le résultat annoncé.