Systèmes à paramètre

SoitΛun ouvert deR. On considère une applicationf :I×U×Λ→R^N que l’on supposera continue et localement Lipschitzienne par rapport au couple(x, λ)∈U×Λ,

c’est à dire pour tout(t₀, x₀, λ₀)∈ I×U ×Λ, il existe un voisinageV(t₀,x₀,λ₀)de (t₀, x₀, λ₀)dansI×U ×Λet une constanteC₀tel que

kf(t, x, λ₁)−f(t, y, λ₂)k_?6C₀ kx−yk_?+|λ₁−λ₂| pour tous(t, x, λ1),(t, y, λ2)∈V(t₀,x₀,λ₀).

Etant donnéx∈ U, Le but de cette section est l’étude de la dépendance supplé-mentaire par rapport àλde la solution maximale du problème de Cauchy à paramètre

(u⁰ =f(t, u, λ)

u(t0) =x . (4.15)

Pour chaque(x, λ)∈ U ×Λ, (4.15) admet une unique solution maximale que nous noteronsϕ^t0(·, x, λ). On noteraI_max^t0 (x, λ)son intervalle maximal d’existence.

Les résultats suivants sont directement obtenus de la section précédante. Commen-çons par un résultat de continuité.

Théorème 4.7. Soit

D_Λ^t0 := [

(x,λ)∈U×Λ

I_max^t0 (x, λ)× {(x, λ)}.

L’ensembleD^t_Λ⁰ est un ouvert deI×U ×Λ, et l’applicationϕ^t0 : D_Λ^t0 → R^N est localement Lipschitzienne.

Démonstration. On va se ramener au Théorème 4.5 de la façon suivante. On notey= (x, λ)∈ R^N+1, et on définitF = (F1, . . . , FN, FN+1) : I×U ×Λ → R^N+1 par (F1, . . . , FN)(t, y) := f(t, x, λ) etFN+1(t, y) := 0, si bien queF est continue et localement Lipschitzienne par rapport ày sur l’ouvertU ×Λ deR^N+1. Poury = (x, λ)∈U ×Λ, on considère le problème de Cauchy

(v⁰=F(t, v)

v(t₀) =y . (4.16)

Si l’on écritv= (u, v_N+1)avecu= (v₁, . . . , v_N), ce système s’écrit











u⁰ =f(t, u, vN+1) v⁰_N+1= 0

u(t0) =x v_N+1(t₀) =λ

.

On remarque alors quevest la solution maximale de (4.16) si et seulement siv_N+1est constante égale àλetuest la solution maximale de (4.15).

En particulier, si l’on noteΦ^t0 = (Φ^t₁⁰, . . . ,Φ^t_N⁰,Φ^t_N⁰₊₁)le flot local de (4.16) à l’instantt0, alors d’après le Corollaire4.3 et le Théorème 4.5 :

1)D_Λ^t0 est le domaine deΦ^t0, et il s’agit donc d’un ouvert deI×U ×Λ; 2)Φ^t0est localement Lipschitzienne par rapport à(x, λ);

3)Φ^t_N+1⁰ (t, x, λ) =λpour tout(t, x, λ)∈ D^t_Λ⁰, et la fonction(t, x, λ)∈I_max^t0 (x, λ)7→

(Φ^t₁⁰, . . . ,Φ^t_N⁰)(t, x, λ)est la solution maximale de (4.15).

En conséquence,ϕ^t0 = (Φ^t₁⁰, . . . ,Φ^t_N⁰), et doncϕ^t0 est localement Lipschitzienne

surD^t_Λ⁰.

En ce qui concerne la différentiabilité par rapport au paramètreλ, nous avons le résultat suivant.

Théorème 4.8. Supposons quef soit différentiable par rapport xet dérivable par rapport à λsurI ×U ×Λ, et que ses différentielles par rapport àxetλ, notées D_xf :I×U ×Λ→L(R^N)et∂_λf :I×U ×Λ→R^N, soient continues. Alorsϕ^t0 est de classeC¹surD^t_Λ⁰. De plus,

(i) la dérivée deϕ^t0par rapport àλ, notée∂λϕ^t0 :D_Λ^t0 →R^N, est dérivable par rapport àtet sa dérivée, notée∂t(∂λϕ^t0) :D_Λ^t0 →R^N, est continue ;

(ii) la dérivée deϕ^t0 par rapport àt, notée∂tϕ^t0 :D^t0 →R^N, est dérivable par rapport àλet sa dérivée, notée∂λ(∂tϕ^t0) :D^t_Λ⁰→R^N, est continue ;

(iii) ∂_t(∂_λϕ^t0) =∂_λ(∂_tϕ^t0);

(iv) la dérivée∂λϕ^t0vérifie pour tout(t, x, λ)∈ D^t_Λ⁰,

∂_t ∂_λϕ^t0(t, x, λ)

=D_xf t, ϕ^t0(t, x, λ), λ

∂_λϕ^t0(t, x, λ)

+∂_λf t, ϕ^t0(t, x, λ), λ , et∂_λϕ^t0(t₀, x, λ) = 0pour tout(x, λ)∈U ×Λ.

Démonstration. On reprend la démonstration du Théorème 4.7. Puisquef est diffé-rentiable par rapportxet dérivable par rapport àλsurI×U ×Λ, et que ses différen-tielles par rapport àxetλsont continues, l’applicationFest différentiable par rapport y = (x, λ)surI×U ×ΛetDyF :I×U ×Λ→L(R^N+1)est continue. On peut donc appliquer le Théorème 4.6. On obtient alors queΦ^t0 = (ϕ^t0,Φ^t_N+1⁰ )est de classe C¹surD^t_Λ⁰, ainsi que (i), (ii), et (iii). De plus, dans l’ouvertD^t_Λ⁰on a

∂_t(∂_λϕ^t0) =

N+1

X

j=1

∂f

∂yj

(t,Φ^t0)∂_λΦ^t_j⁰

=

N

X

j=1

∂f

∂xj

(t, ϕ^t0, λ)∂λϕ^t_j⁰ +∂λf(t, ϕ^t0, λ)∂λΦ^t_N⁰₊₁

=D_xf(t, ϕ^t0, λ)∂_λϕ^t0 +∂_λf(t, ϕ^t0, λ),

et on a utilisé le fait que ∂_λΦ^t_N⁰₊₁ = 1 puisque Φ^t_N⁰₊₁(t, x, λ) = λ. Finallement, puisque ϕ^t0(t₀, x, λ) = xpour tout (x, λ) ∈ U ×Λ, on obtient directement que

∂_λϕ^t0(t₀,·,·) = 0.

4.3 Problèmes

Exercice14. On considère un système différentielu⁰=f(t, u)oùf :I×U →R^Nest une application donnée continue et localement Lipschitzienne par rapport àx. Montrer que si l’ouvert U est connexe alors le domaineD^t0 du flot est également connexe (indication :on pourra utiliser le fait que tout ouvert connexe deR^N est connexe par arcs).

Exercice15. PourN = 1etI=R, on considère le flotϕ⁰en0de l’équation différen-tielle scalaire

u⁰=au²+bu+c (4.17)

oùa, b, c∈Rsont des paramètres donnés aveca6= 0.

1) Déterminer explicitementϕ⁰(t, x)et son domaineD⁰dans les cas suivants : (i)a= 1etb=c= 0;

(ii)a= 1,b= 0etc= 1; (iii)a= 1,b= 0etc=−1;

2) Dans la cas général, montrer que siuest une solution de (4.17), alors on peut déter-minerα, β, γ∈Ravecγ >0tels que la fonctionv(t) =αu(γt) +βsoit solution de l’équation dans un des cas(i),(ii)ou(iii)ci-dessus.

3) On fixea = 1etb = 0, et on noteϕ⁰(t, x, c)le flot de (4.17) à paramètrec ∈R. Calculer∂cϕ⁰(t, x,0).

Chapitre 5

Systèmes autonomes et stabilité de points stationnaires

Nous allons considérer dans ce chapitre des systèmes différentiels ordinaires non linéaires où la non linéaritéfest indépendante det. On se donne pour tout ce chapitre un ouvertU deR^N, et une applicationf :U →R^N que l’on supposera de classeC¹ pour simplifier la présentation. Une telle applicationf est appeléechamp de vecteurs surU.

Nous allons donc étudier le système

u⁰ =f(u). (5.1)

Nous commencerons par quelques définitions et propriétés “classiques" de ce système, puis nous nous intéresserons à la stabilité des solutions constantes appelées points sta-tionnaires.

5.1 Champs de vecteurs

Définition 5.1. Le champ de vecteursf est ditcompletsi toutes les solutions maxi-males de (5.1) sont globales (c’est à dire définies sur toutR).

Définition 5.2. On appellecourbe intégraledu champ de vecteursf toute courbe de U de la forme{u(t) :t∈Imax}oùuest une solution maximale de (5.1) etImaxest son intervalle maximale d’existence. Siuest une solution globale, on dit que la courbe intégrale est globale.

Lemme 5.3. Deux courbes intégrales distinctes defne s’intersectent pas.

Démonstration. On procède par contradiction en se donnant deux courbes intégrales distinctesC1etC2telles queC1∩ C2 6=∅. On considère alorsu₁etu₂deux solutions maximales de (5.1),I₁, I₂⊂Rleur intervalle maximal d’existence respectif, telles que pouri= 1,2,

C_i :={u_i(t) :t∈I_i}.

Puisque C₁∩ C₂ 6= ∅, il existe t₁ ∈ I₁ ett₂ ∈ I₂ tels queu₁(t₁) = u₂(t₂). Pour t ∈ J := −(t₂−t₁) +I₂, on posev(t) := u₂(t+t₂−t₁), si bien quev est une solution maximale de (5.1), et bien surC2 = {v(t) : t ∈ J}. Mais puisquev(t1) = u2(t2) = u1(t1), la Proposition 3.13 nous dit quev = u1, et donc queC2 = C1,

contradiction.

Rappelons pour la suite qu’une applicationE : U → Rde classe C¹ est une intégrale première de (5.1) si

h∇E(x), f(x)i= 0 ∀x∈U

(voir Définition 3.21). On dit également queEest une intégrale première du champ de vecteursf. La proposition suivante est une conséquence directe de la démonstration du Théorème 3.22.

Proposition 5.4. Toute intégrale première def est constante le long des courbes inté-grales.

Rappelons également le résultat d’existence globale du Théorème 3.22.

Proposition 5.5. Sifadmet une intégrale premièreE:U →Rtelle que l’ensemble {x∈U :E(x) =M}

soit compact pour toutM ∈R, alorsfest complet.

Définition 5.6. On appelleflot du champ de vecteursfle flot localϕ⁰en0du système (5.1). On le note

ϕ_t(x) :=ϕ⁰(t, x), et on désigne parD⊂R×U son domaine (au lieu deD⁰).

Remarque32. On remarque que siϕ^t0 est le flot local ent0de (5.1), alorsϕ^t0(t,·) = ϕ⁰(t−t0,·). C’est la raison pour laquelle il suffit de considérer le cast0= 0.

Lemme 5.7. Pourt∈R, soit

Ut:={x∈U : (t, x)∈D}. L’ensembleUtest un ouvert deU.

Démonstration. En effet, étant donnét ∈ R, si l’on noteΨt : U → R×U l’ap-plication définie parΨt(x) = (t, x), alorsΨtest continue et on aUt= Ψ⁻¹_t (D). La

conclusion est alors due au fait queU soit ouvert.

Remarque33. Puisqueϕ₀(x) =x, nous avonsU0=U.

Dans toute la suite, pour x ∈ U, nous noterons Imax(x) l’intervalle maximal d’existence de la solutionϕt(x).

Lemme 5.8. Soitx∈U. Pour toutt₀∈I_max(x), on a

Imax(ϕt₀(x)) =−t0+Imax(x), (5.2) et

ϕt ϕt₀(x)

=ϕt+t₀(x) ∀t∈ −t0+Imax(x). (5.3) En particulier, pour toutt0∈Imax(x),

ϕ−t₀ ϕt₀(x)

=ϕ0(x) =x .

Démonstration. Étape 1.La fonctionu(t) =ϕt ϕt₀(x))est la solution maximale de (5.1) vérifiantu(0) =ϕt₀(x)et son intervalle maximale d’existence estImax(ϕt₀(x)).

Or la fonctionv(t) =ϕt+t0(x), définie pourt∈ −t0+Imax(x), est maximale (sinon la fonctiont∈I_max(x)7→ϕ_t(x)ne serait pas maximale, ce qui contredit la définition même deϕ_t(x)), et elle vérifiev(0) =ϕ_t0(x). D’après la Proposition 3.13, nous avons u=v, ce qui montre (5.2) et (5.3).

Étape 2.Puisque0∈Imax(x), nous avons−t0∈ −t0+Imax(x) =Imax(ϕt₀(x)), on peut appliquer (5.3) avect=−t0ce qui donne le résultat voulu.

Théorème 5.9. Si le champ de vecteursf est de classeC¹, alors

(i) pour toutt0∈R, l’applicationϕt₀est unC¹-difféomorphisme deUt₀surU−t0

d’inverseϕ_−t0; (ii)ϕ₀=id_U ;

(iii) pour toust1, t0∈R, on aϕt₁+t₀ =ϕt₁◦ϕt₀ sur l’ouvertϕ⁻¹_t0 (Ut₁); Démonstration. (i). Soientt0 ∈ Retx, y ∈ Ut0. Supposons queϕt0(x) = ϕt0(y).

Siudésigne la solution maximale de (5.1) vérifiantu(0) =x, etvdésigne la solution maximale de (5.1) vérifiantv(0) =y, nous avonsu(t₀) =v(t₀)et doncu=vd’après la Proposition 3.13. En particulier,u(0) =v(0), c’est à direx=y. L’applicationϕ_t0 est donc injective.

D’après le Lemme 5.8,−t₀ ∈ I_max(ϕ_t0(x))doncϕ_t0(x) ∈ U−t0. Ceci montre queϕt₀(Ut₀) ⊂ U−t0. Or si z ∈ U−t0 alors−t0 ∈ Imax(z)etϕt₀(ϕ_−t0(z)) = z d’après le Lemme 5.8, et doncz ∈ ϕt₀(Ut₀), d’oùϕt₀(Ut₀) = U−t0. L’application ϕt₀ réalise donc une bijection deUt₀ surU−t0. D’après le Lemme 5.8 nous avons de plusϕ_−t0(ϕt₀(x)) =xpour toutx∈Ut₀, donc l’application inverse deϕt₀est donnée parϕ_−t0.

Finallement, d’après le Théorème 4.6, pour toutt ∈ R, l’application ϕt est de classeC¹sur son domaine de définitionUt. L’applicationϕt₀est donc de classeC¹, et puisque son inverse est donnée parϕ−t₀, son inverse est également de classeC¹. L’applicationϕt₀ réalise donc unC¹-difféomorphisme deUt₀surU−t₀.

(ii).Par définition deϕt, nous avonsϕ0(x) =x.

(iii).Soitz∈ϕ⁻¹_t

0 (Ut1). Alorsz∈Ut0etϕ_t0(z)∈Ut1, c’est à dire quet₀∈I_max(z) ett₁∈I_max(ϕ_t0(z)) =−t0+I_max(z)d’après le Lemme 5.8. En utilisant (5.3), nous

obtenonsϕ_t1+t0(z) =ϕ_t1(ϕ_t0(z)).

Dans le corollaire suivant, nous notonsDiff¹(U)l’ensemble des difféomorphismes deU surU classeC¹.

Corollaire 5.10. Si le champ de vecteurf est complet et de classeC¹, alors ϕ_t ∈ Diff¹(U)pour toutt∈R. De plus, le sous-ensemble{ϕ_t: t∈R}muni de la loi de composition◦est ungroupe commutatif.

Remarque34. D’après le corollaire ci-dessus, si le champ de vecteursf est complet et de classe C¹, l’applicationt ∈ R → ϕ_t ∈ Diff¹(U)est un homomorphisme du groupe (additif)RdansDiff¹(U). On dit que c’est ungroupe à un paramètre.

La structure algébrique de l’ensemble {ϕt}_t∈R lorsque f est complet motive la définition suivante.

Définition 5.11. Soitx∈U. On appelleorbitedex, que l’on noteOrb(x), la courbe intégrale def passant parx, c’est à dire l’ensemble

Orb(x) :={ϕt(x) :t∈I_max}.

Proposition 5.12. L’ensemble

EOrb:={C⊂U :C= Orb(x)pour unx∈U} (5.4) des orbites du champ de vecteursf réalise une partition de l’ouvertU, c’est à dire que

U = [

C∈EOrb

C

avec une union deux à deux disjointe.

Définition 5.13. On appelleportrait de phasesdu champ de vecteursf, où du système différentiel (5.1), la partition (5.4) deU en orbites.

Définition 5.14. On appellepoint stationnaireoupoint fixe oupoint d’équilibreun pointx∈U dont l’orbite est réduite au singleton{x}. On dit également quexest un point singulierdu champ de vecteursf.

Proposition 5.15. L’orbite d’un pointx∈U est réduite au singleton{x}si et seule-ment sif(x) = 0. Si ce n’est pas le cas et qu’il existes0, t0∈Imax(x)tels ques06=t0

etϕt₀(x) =ϕs₀(x), alorsImax(x) =R, la fonctiont∈R→ϕt(x)est périodique, et l’orbite dexest une courbe fermée simple.

Terminons cette section par quelques définitions d’orbites “classiques".

Définition 5.16. On appellecycleune orbite fermée.

Définition 5.17. (i)On appelleorbite hétéroclineune courbe intégrale globale{ϕt(x) : t∈R}reliant deux points fixes distincts ent= +∞ett=−∞.

(ii)On appelleorbite homocline une courbe intégrale globale{ϕ_t(x) : t ∈ R} reliant un même point fixe ent= +∞ett=−∞.

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