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Dynamique en r´ ef´ erentiel non galil´ een

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Academic year: 2022

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(1)

MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 1/4

Dynamique en r´ ef´ erentiel non galil´ een

Table des mati` eres

1 Principe de relativit´e galil´eenne 1

1.1 R´ef´erentiels galil´eens . . . 1

1.2 Relativit´e galil´eenne . . . 1

2 Lois de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een 2 2.1 PFD . . . 2

2.1.1 Forces d’inertie . . . 2

2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . 2

2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . 2

2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . 2

3 Caract`ere galil´een approch´e de quelques r´ef´erentiels d’utilisation courante 3 3.1 R´ef´erentiel de Copernic . . . 3

3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique . . . 3

3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique . . . 3

3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids . . . 3

1 Principe de relativit´ e galil´ eenne

1.1 R´ef´erentiels galil´eens

Rappel : un r´ef´erentiel est galil´een si, dans ce r´ef´erentiel, un point mat´eriel isol´e

`

a un mouvement rectiligne uniforme

SoitM un point mat´eriel isol´e dans Rgalil´een alorsa(M)R= 0 SoitR un autre r´ef´erentiel ; la composition des acc´el´erations donne

a(M)R=a(M)R+ae+ac R est galil´een sia(M)R = 0 c’est `a dire si

ae=ac= 0

(ae+ac = 0 ne pouvant ˆetre qu’exceptionnel)

ac = 0⇒ω= 0⇒ae=a(O)R = 0 R est donc en translation rectiligne uniforme par rapport `aR

L’ensemble des r´ef´erentiels galil´eens est constitu´e par tous les r´ef´erentiels en translation rectiligne uniforme par rapport `a l’un d’entre eux

1.2 Relativit´e galil´eenne

Soit R en translation rectiligne uniforme par rapport `aR galil´een

De mˆeme que pour le temps, la m´ecanique newtonienne postule ´egalement (implicitement) l’invariance de la masse et de la force

t=t m=m F=F

En notant u = v(O)R = cte la vitesse deR par rapport `a R, la composition des vitesses donne

v =v−u Soit p la quantit´e de mouvement dansR

p=mv =m(v−u) R´etant galil´een

dp dt = dp

dt =F=F

Le PFD a donc mˆeme formulation dans tous les r´ef´erentiels galil´eens ; plus g´en´e- ralement :

Dans des r´ef´erentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres, appel´es r´ef´erentiels galil´eens, les lois de la physique sont invariantes. Ou encore : les lois de la physique restent les mˆemes dans n’importe quel r´ef´erentiel galil´een

Le principe de relativit´e repose donc sur cette impression que l’on a d’ˆetre `a l’arrˆet quand on est dans un v´ehicule qui se d´eplace rectilignement sans cahot `a vitesse constante

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

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MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 2/4

2 Lois de la dynamique en r´ ef´ erentiel non galil´ een

SoientR en mouvement quelconque par rapport `a Rgalil´een et Fla r´esultante des forces s’exer¸cant sur un point mat´erielM

2.1 PFD

2.1.1 Forces d’inertie DansR galil´een

ma(M)R=F En utilisant la composition des acc´el´erations

m(a(M)R+ae+ac) =F ou encore

ma(M)R =F−mae−mac

DansR non galil´een, on peut appliquer le PFD en rajoutant les forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis

Fie=−mae Fic=−mac

Ces forces n’´etant pas li´ees `a la pr´esence d’un autre corps (masse, charge) mais seulement au caract`ere non galil´een du r´ef´erentiel sont plutˆot appel´eespseudo- forces

2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe SiR est en translation par rapport `a R(voir chapitre pr´ec´edent)

ae =a(O)R ac = 0 donc

Fie=−mae=−ma(O)R Fic=−mac = 0

Fie est par exemple la force qui nous plaque contre le si`ege d’une voiture qui acc´el`ere

Si R est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R (voir chapitre pr´ec´edent)

ae=−rω2er ac = 2ωre˙ θ donc

Fie =−mae= +mrω2er Fic=−mac =−2mωre˙ θ

Fie est par exemple la force centrifuge qui tend `a nous expulser d’un man`ege 2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique

Soit O un point fixe de R en mouvement quelconque par rapport `a R galil´een etFla r´esultante des forces s’exer¸cant sur un point mat´erielM

D´erivons le moment cin´etique en O du pointM dansR LO(M)R =OM∧mv(M)R

dLO(M)R

dt

R

=v(M)R ∧mv(M)R +OM∧ma(M)R

Le PFD dans R donne

dLO(M)R

dt

R

=OM∧(F+Fie+Fic)

Dans R non galil´een, on peut donc appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique en rajoutant les moments des forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis 2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique

Soit R en mouvement quelconque par rapport `a R galil´een et F la r´esultante des forces s’exer¸cant sur un point mat´erielM

Multiplions scalairement parv(M)R le PFD dansR m

dv(M)R

dt

R

.v(M)R = (F+Fie+Fic).v(M)R

on obtient

dEc(M)R

dt

R

=F.v(M)R+Fie.v(M)R +Fic.v(M)R

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

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MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 3/4

commeFic=−mac=−2mω∧v(M)R

Fic.v(M)R = 0

Finalement, dansR non galil´een, on peut appliquer le th´eor`eme de la puissance cin´etique en rajoutant seulement la puissance de la force d’inertie d’entraˆınement, la puissance de la force d’inertie de Coriolis ´etant nulle

3 Caract` ere galil´ een approch´ e de quelques r´ ef´ erentiels d’utilisation courante

3.1 R´ef´erentiel de Copernic

Le r´ef´erentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du syst`eme solaire (presque confondu avec le centre du Soleil) et ses axes sont dirig´es vers trois

´etoiles suffisamment ´eloign´ees pour pouvoir ˆetre consid´er´ees comme fixes Il est galil´een avec une excellente approximation

3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique

Idem avec comme origine le centre du Soleil Il est galil´een avec une excellente approximation 3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique

Le r´ef´erentiel g´eocentrique a pour origine le centre de la Terre et ses axes gardent une direction fixe par rapport `a ceux du r´ef´erentiel de Copernic ; le r´ef´erentiel g´eocentrique est donc en translation elliptique par rapport au r´ef´erentiel de Copernic

L’acc´el´eration de la Terre dˆu `a sa trajectoire elliptique autour du Soleil est faible, si on la n´eglige, on peut alors consid´erer que le r´ef´erentiel g´eocentrique est en translation rectiligne uniforme par rapport au r´ef´erentiel de Copernic et qu’il est donc lui-mˆeme galil´een

3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids

Le r´ef´erentiel terrestre a pour origine un point A `a la surface de la Terre et ses axes

Ox suivant un m´eridien dans la direction Nord-Sud Oy suivant un parall`ele dans la direction Ouest-Est Oz suivant la verticale ascendante du lieu

tournent autour de l’axe pˆole Sud-pˆole Nord. On supposera ωRterrestre/Rgocentrique=cte

ce qui revient `a consid´erer que le r´ef´erentiel terrestre est en rotation uniforme autour d’un axe fixe du r´ef´erentiel g´eocentrique que l’on consid´erera galil´een ; le r´ef´erentiel terrestre n’est donc pas galil´een.

(verticale)

(sud) (est)

équateur parallèle

méridien

longitude latitude

O

A

~ez

~ex

~ey

θ

ϕ λ

Appliquons le PFD dans le r´ef´erentiel terrestre `a un point mat´eriel M de masse m soumis en plus de l’attraction terrestre `a une r´esultante des forcesf

ma(M) =mG+f+Fie+Fic

ma(M) =mG+f+mω2HM−2mω∧v(M) ma(M) =f+m(G+ω2HM)−2mω∧v(M) (H est le projet´e orthogonal de M sur l’axe de rotation)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

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MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 4/4

Soit un fil `a plomb, le poids est d´efini comme la force oppos´ee `a la ten- sion du fil `a l’´equilibre (relatif dans le r´ef´erentiel terrestre)

0 =T+m(G+ω2HM) =T+P

Le poids prend donc en compte une partie du caract`ere non galil´een du r´ef´erentiel terrestre

P=m(G+ω2HM)

En tenant compte du poids, le PFD dans le r´ef´erentiel terrestre s’´ecrit ma(M) =f+P−2mω∧v(M)

Lorsque l’on consid´erait le r´ef´erentiel terrestre galil´een, on n´egligeait la force d’inertie de Coriolis mais on prenait quand mˆeme en compte le force d’inertie d’entraˆınement par l’interm´ediaire du poids

Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

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