Physique avancée I 18 novembre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 15 - R´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es
1. Pendule sur la porte
Un pendule form´e d’un point mat´eriel pesant de massem et d’un fil sans masse de longueur Lest astreint `a osciller dans le plan d’une “porte” qui tourne autour d’un axe vertical `a vitesse angulaire ω constante. Le pendule est attach´e `a une distanceR de l’axe de rotation de la porte.
a) Etablir le bilan des forces en pr´esence.
b) Ecrire les ´equations du mouvement.
2. Le swing du golfeur
L’examen d’un film ultra-rapide du swing d’un golfeur sugg`ere que les mains d´ecrivent un cercle, avec une grande acc´el´eration au d´ebut du mouvement, puis une vitesse presque nulle au moment o`u les mains atteignent la position inf´erieure. La canne de golf atteint alors une vitesse maximale. Ces consid´erations sugg`erent le mod`ele m´ecanique suivant.
Un point mat´eriel P de masse m est reli´e `a un point A par une tige rigide sans masse, de longueur L. Le point A d´ecrit un cercle de rayon R centr´e en O. La pesanteur et toute forme de frottement sont n´eglig´ees. Le mouvement du point A est donn´e par une fonction suppos´ee donn´ee `a l’avance (le mouvement impos´e par le golfeur). Les mains du golfeur sont suppos´ees ne pas imposer de moment de force en A.
y
x
A
0 R q
a y'
x' êq P
êr
êz
Pour ne pas se perdre dans des expressions tr`es lourdes, il est bon de suivre la d´emarche suivante, qui sort de la marche `a suivre.
a) Soit ω la vitesse instantan´ee de rotation de AP (la canne de golf). Exprimer ω = kωk en fonction de ˙α et ˙θ.
b) Trouver l’acc´el´eration du point P en termes de ω, ˙ω, ˙α, ˙θ, R, L. Utiliser le fait que le vecteur AP subit une rotation, ce qui permet d’´ecrire que si OP = OA+AP, alors
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vP = vA+ω ∧AP. (Ce r´esultat sera vu encore en cin´ematique du solide ind´eformable, mais il peut ˆetre compris comme une application des formules de Poisson.)
c) SoitF la force exerc´ee surP.F est le long de la tigeAP. Trouver l’´equation du mouvement pourθseulement. (On ne cherche pas `a connaˆıtreF, il suffira donc d’obtenir qu’une ´equation diff´erentielle, qui ne contiendra pas F.)
3. Boˆıte suspendue
Un point mat´eriel de masse m est situ´e au fond d’une boˆıte de masse M, o`u M m. La boˆıte est suspendue `a un ressort de constante de rappel k. La boˆıte est initialement tir´ee vers le bas d’une distance x0 par rapport `a la position de l’extr´emit´e du ressort au repos (i.e. sans charge) et lˆach´ee avec une vitesse nulle.
a) En n´egligeant la massemdu point mat´eriel, d´eterminer d’abord l’´equation horaire du centre de masse Gde la boˆıte.
b) D´eterminer ensuite la condition sous laquelle le point mat´eriel ne d´ecolle pas du fond de la boˆıte en fonction de x0.
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