(U.E. 4P062)
Introduction à l’´ elastostatique et à l’´ elastodynamique dans les solides
Simon AYRINHAC
0.1. Introduction . . . 4
1. Élasticité dans les milieux continus 7 1.1. Introduction . . . 7
1.1.1. Définition du milieu continu et notion de particule . . . 7
1.1.2. Forces . . . 8
1.2. Contraintes (stress) . . . 12
1.2.1. Le théorème de Cauchy . . . 12
1.2.2. Utilité des tenseurs : effets et causes dans un milieu anisotrope . . . . 13
1.2.3. Une illustration : le cas du liquide . . . 13
1.2.4. Représentation d’un état de contraintes . . . 14
1.2.5. Contraintes : définitions et notations . . . 17
1.2.6. Équilibre . . . 18
1.2.7. Contraintes particulières . . . 24
Testez vos connaissances . . . 30
1.3. Déformations (strain) . . . 31
1.3.1. Définitions . . . 31
1.3.2. Propriétés du tenseur des déformations linéarisées . . . 33
1.3.3. Dilatationθ . . . 35
1.3.4. Déformations particulières . . . 37
1.3.5. Tableau comparatif des contraintes et des déformations . . . 43
Testez vos connaissances . . . 45
1.4. Relation contraintes-déformations . . . 47
1.4.1. La loi de Hooke . . . 47
1.4.2. Le tenseur des constantes élastiques (stiffness tensor) . . . 49
1.4.3. Matériaux isotropes et anisotropes . . . 55
1.5. Constantes élastiques d’un matériau isotrope . . . 57
1.5.1. Constantes de Laméλetµ . . . 57
1.5.2. Module d’Young E(Young modulus) et cofficient de Poissonν(Pois- son’s ratio) . . . 58
1.5.3. Module d’incompressibilitéK(ou B) (bulk modulus), et coefficient de
compressibilitéχ . . . 60
1.5.4. Module de rigiditéG(shear modulus) . . . 61
1.5.5. Bilan : couples de constantes caractérisant un solide isotrope . . . 63
1.5.6. Relation structure-propriétés . . . 65
Testez vos connaissances . . . 67
2. Propagation des ondes dans les solides 69 2.1. Modélisation d’une onde progressive . . . 69
2.1.1. Champ de déplacement et opérateurs vectoriels . . . 74
2.2. Ondes planes dans un cristal . . . 77
2.2.1. Détermination de la relation de dispersion . . . 89
Testez vos connaissances . . . 91
2.3. Propagation des ondes dans un milieu continu . . . 93
2.3.1. Équation de propagation pour un milieu continu . . . 93
2.3.2. Équation de Christoffel et détermination des vitesses . . . 94
2.3.3. Résolution de l’équation de propagation dans le cas du solide isotrope 99 Testez vos connaissances . . . 103
2.4. Atténuation (damping) d’une onde acoustique, effets dissipatifs . . . 104
2.4.1. Phénoménologie de l’atténuation . . . 104
2.4.2. Mesure de l’atténuation . . . 107
2.4.3. Détermination de l’atténuation pour un solide isotrope viscoélastique 109 2.4.4. Origines de l’atténuation . . . 113
2.4.5. Annexes . . . 116
A. Annexes mathématiques 121 A.1. Algèbre tensorielle . . . 121
A.2. Algèbe matricielle . . . 123
A.2.1. Diagonalisation . . . 123
A.3. Analyse vectorielle . . . 124
Solutions des QCM . . . 124
0.1. Introduction
Ce document est basé sur le cours donné à Sorbonne Université (campus Université Pierre et Marie Curie), option "Acoustique des Matériaux" (code 4P062, anciennement MP056), pour le
Master physique fondamentale et applications1. Il équivaut à environ 15h de cours magistral.
Le livre de référence est Ondes élastiques dans les solides de D. Royer et E. Dieulesaint (Masson, 1996)2. Les encadrés donnent des approfondissements, des applications notables ou des résultats récents.
Merci à Philippe Bourges pour ces éclaircissements concernant la diffusion de neutrons.
(Il s’agit d’un document en construction, le lecteur devra donc être attentif aux étourderies ou fautes éventuelles)
1. Site web : http://www.upmc.fr/fr/formations/diplomes/sciences_et_technologies2/
masters2/master_physique_et_applications_m1.html
2. Daniel Royeret Eugène Dieulesaint,Ondes élastiques dans les solides, Tome 1 : Propagation libre et guidée, éd. Masson (1996).
1.1. Introduction
1.1.1. Définition du milieu continu et notion de particule
La matière est constituée d’atomes, elle ne remplit pas tout l’espace. Si cela est vrai à petite échelle (échelle atomique), c’est faux à l’échelle macroscopique où un solide sera considéré comme plein et pourra remplir l’espace. La distribution de matière varie suivant l’échelle considérée. Autrement dit, la densité varie suivant le volume de matière considéré (la figure 1.1 en propose une illustration).
Figure1.1. – Densité de particules réparties aléatoirement dans une boîte 2D en fonction de la taille de la boîte considérée. Pour une boîte de petite taille, il n’y a aucune particule donc la densité est nulle. Pour des grandes tailles de boîtes, la densité moyenne est atteinte donc la valeur ne dépend plus de la taille. Entre les deux on observe des fluctuations de la densité.
Dans le cadre de la mécanique des milieux continus, on attribue à chaque point de l’espace une grandeur physique moyennée sur l’ensemble des atomes ou molécules qui occupent lo- calement cet espace. En mécanique des milieux continus, une particulen’est pas une entité physique réelle, mais une région suffisamment petite pour coïncider avec un point donné de l’espace à tout instant. Même si une particule se déplace par rapport à sa position d’équilibre,
il n’y a pas de « vide » autour d’elle. L’échelle de taille de la particule est l’échellemésosco- pique.
Domaine de validité
Cette approche par milieu continu est valable jusqu’à l’échelle nanométrique. Des assem- blages sphériques formés de 20 atomes possèdent les mêmes modes de vibration que des sphères "pleines" ; il faut seulement 20 atomes pour retrouver le mode de vibration fonda- mental à l’identique et 100 atomes pour le premier harmonique !1.
Continuité en mathématiques
On peut s’étonner qu’en décalant les points de l’espace par rapport à leur position d’ori- gine, on ne créée pas de "trous". Dit autrement, on peut relier entre eux tous les points de deux segments de différentes longueurs. Il s’agit en fait d’une bijection entre l’espace réel de départ et l’application qui correspond à la déformation. C’est ce qu’on appelle en mathématiques l’hypothèse du continu, qui affirme que les ensembles de points compris entre deux points arbitraires restentéquipotents.
1.1.2. Forces
Il existe deux types de forces :
— Lesforces à distance, ouforces de volume: elles agissent à distance, voire à très grande distance pour certaines. Pour les solides indéformables, elles s’appliquent au centre de masse (appelé aussi centre d’inertie) qui est le barycentre des points du solide affectés de leur masse.
Exemples: le poids (force gravitationnelle), la force électrostatique.
Remarque: la mécanique newtonienne a imposé l’idée de forces qui agissent à dis- tance, et instantanément. Ces idées, choquantes pour le sens commun, sont main- tenant dépassées. La physique moderne nous enseigne que les forces agissent par l’intermédiaire d’un champ (champ de gravitationnel, champ électromagnétique, champ électrofaible, etc) qui est un objet physique concret comme l’eau ou l’air,
1. Nicolas Combeet Lucien Saviot,Acoustic modes in metallic nanoparticles : atomistic versus elasticity modeling,Physical Review B,80(3), 035411 (2009), DOI :doi.org/10.1103/PhysRevB.80.035411.
par exemples2. Elles agissent aussi avec un certain retard (la force n’agit pas instan- tanément) qui dépend d’une vitesse limite (égale àc).
— Lesforces de contact, ou forces de surface: elles agissent à très courte portée. Les forces internes à un solide proviennent des forces de rappel à l’échelle atomique.
Exemples : la tension dans une corde, les forces de frottement, les forces de pression, les contraintes.
Une contrainte (notéeσ) peut être définie, de manière simple, comme une force F ap- pliquée sur une surface d’aireS, telle queσ FS. La contrainte possède donc la même dimension que la pression (notéeP), et son unité est le pascal, soit
rσs rPs M.L1.T1pkg.m1.s1,Paq.
Sur l’énergie potentielle
La force est reliée à l’énergie potentielle par la formule F~ Ñ
gradEp soit Fx dEppxq{dxà une dimension.
Sur le développement limité
N’importe quelle fonction fpxqpeut être décrite par un polynôme au voisinage d’un point x0: c’est ce qu’on appelle undéveloppement limité. La formule au deuxième ordre donne :
fpxq fpx0q pxx0q Bf
Bx
x0
1
2pxx0q2 B2f
Bx2
x0
... (1.1)
Si la fonction décrit un minimum, comme la fonction énergie potentielle décrivant un minimum, la dérivée première en x0s’annule, et on a
Epprq U0 kprr0q2 aveck 12
B2Ep Br2
r0 soit
Uprq9r2.
2. Ce point de vue est défendu par Friedrich Herrmann et Georg Job dans leur ouvrage Le poids de l’Histoire sur la physique, Quelques propositions pour un enseignement plus efficace, voir section 5.3 Ac- tions à distance disponible en ligne http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/
pub_fremdsprachen/franzoesisch.html. À ce propos, voir aussi Guy Bouyrie,L’arpenteur du web : champ scalaire, champ vectoriel en géophysique,Bull. Un. Prof. Phys. Chim., vol. 108, n° 965, p. 981-1007, juin 2014.
Figure1.2. –Énergie potentielle pour un système de 2 atomes (ou molécules) en inter- ation, en fonction de la distancer. Cette énergie potentielle est la somme de 2 contributions : une contributionrépulsive(due au non-recouvrement des orbi- tales lié au principe d’exclusion de Pauli) et d’une contributionattractive(due à l’attraction électrostatique).U0 est l’énergie de liaison par atome. Proche de la position d’équilibre stable (à une distancerr0), l’énergie potentielle forme un
"puits" : ce puits de potentiel est considéré commeharmonique(U9r2), la force associée est uneforce de rappelouforce élastique. On peut donc modéliser les atomes liés par des "petits ressorts". L’élasticité macroscopique des matériaux provient de cette force de rappel microscopique entre atomes.
Sur la notion d’équilibre
Au pointr0, il y aéquilibrecar BBErp 0 et c’est unéquilibre stablecarBB2rE2p ¡0. Cela signi- fie que, suite à une toute petite perturbation, le système revient en sa position d’équilibre rr0.
Sur la notion d’harmonicité
Non loin de son point d’équilibre, le comportement du système estharmonique. Par contre, lorsque la température augmente, et que l’énergie cinétique entraîne la particule loin de son point d’équilibre, son comportement est anharmonique. Cela se traduit par exemple en mécanique du solide par l’existence du phénomène de dilatation. En effet, dans le cas anharmonique, la position moyenne de la particule ne correspond plus avec sa position d’équilibre3.
Sur l’énergie interneLa fonction potentiel présentée ci-dessus (Fig. 1.1.2) est la fonc- tion énergie potentielle entre deux atomes isolés. Mais dans certains cas (les métaux par
exemple), il est possible de la considérer comme analogue à l’énergie totale du cristal (on passe de l’un à l’autre avec les facteurs d’échelle "qui vont bien").
3. Voir Charles Kittel,Physique de l’état solide, 7eédition, éd. Dunod (2005), p. 120.
1.2. Contraintes (stress )
Dans un milieu matériel, un état de contraintes est décrit mathématiquement par un tenseur.
La question que l’on se pose au début de ce chapitre est la suivante : Pourquoi est-il nécessaire d’utiliser l’algèbre tensorielle pour décrire un état de contraintes ?
1.2.1. Le théorème de Cauchy
Un état de contrainte, à l’intérieur d’un solide, est unique en un point M quelconque. La force surfacique (qui est une entité vectorielle), dépend de l’orientation de la surface sur la- quelle elle s’appuie. Or, en un point M à l’intérieur d’un solide, il existe une infinité defacettes (qui sont des coupes imaginaires d’un solide), car il existe une infinité de manières d’orienter une facette. L’orientation d’une facette est repérée par son vecteur normal~n.
Le lien entre la force surfacique, c’est-à-dire le vecteur contrainte ~σ, et le vecteur normal à la surface~nest le tenseur des contraintes ¯¯σtel que (théorème de Cauchy, attribué à A. Cauchy 1823) :
~σpM, ~nq σ~¯¯n. (1.2) Donc à l’orientation d’une facette notée~ncorrespond le vecteur~σpar une application linéaire sous forme de tenseur, qui est ici le tenseur ¯¯σreprésenté par une matrice 33
σ¯¯
σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33
. (1.3)
Un tenseur est représenté par 9 nombres (composantes) dans un système d’axes.
Attention: un tenseur n’est pas une matrice, il faut aussi lui adjoindre une base vectorielle.
Comment utiliser la formule 1.2 ?
La force s’exerce sur une facette repérée par le vecteur normal~ntel que
~nn1Ñe1 n2Ñe2 n3Ñe3.
Ce vecteur ne sert qu’à définir l’orientation de la facette, il est unitaire : sa norme est égale à 1, soit
}~n} 1, b
n21 n22 n23 1.
On effectue le produit matriciel de ¯¯σ (voir Eq. 1.3) par ~n et on trouve les trois équations suivantes :
σ1 σ11n1 σ12n2 σ13n3, σ2 σ21n1 σ22n2 σ23n3, σ3 σ31n1 σ32n2 σ33n3,
qui sont les 3 composantes de~σdans la base choisie telles que~σ σ1Ñe1 σ2Ñe2 σ3Ñe3. Par exemple, si~n Ñe1 alorsn11,n2 0,n3 0, donc~σσ11Ñe1 σ21Ñe2 σ31Ñe3.
1.2.2. Utilité des tenseurs : effets et causes dans un milieu anisotrope
L’objet mathématique tenseur est utile pour décrire la relation entre effets et causes dans un milieu anisotrope4.
Une cause appliquée suivant une direction quelconque peut donner naissance à un effet orienté suivant une autre direction. L’application linéaire qui fait correspondre un vecteur~aà un autre vecteur~best tout simplement un tenseur, ici noté ¯¯A:
a1 A11b1 A12b2 A13b3, a2 A21b1 A22b2 A23b3, a3 A31b1 A32b2 A33b3. On écrira (en se restreignant au domaine linéaire) :
~a A¯¯~b.
1.2.3. Une illustration : le cas du liquide
Supposons que l’état de contraintes soit le même en tout point M d’un liquide à l’équilibre, et que celui-ci n’est pas modifié par l’introduction d’un objet (voir Fig. 1.2.3). Cet objet sert à introduire une surface plane dans le liquide, et cette surface passe par M.
Nous savons que, en statique des fluides, "la force exercée par un fluide au repos sur toute surface rigide est toujours perpendiculaire à cette surface"5.
Cela signifie qu’enMla force de pression est toujours normale à cette surface (ou colinéaire à~n), quelque soit l’orientation de l’objet. Donc la force de pression dépend de l’orientation de
Figure1.3. – Dans un liquide, la force s’exerce toujours normalement à une surface. Une des- cription mathématique rigoureuse des forces de pression doit tenir compte de l’état de contraintes dans le liquide, exprimé sous forme tensorielle.
~n, or ce vecteur orientation possède virtuellement une infinité de directions possibles, il n’est donc pas possible de décrire l’état de contraintes par un simple champ vectoriel.
L’objet mathématique le plus adapté pour décrire un état de contrainte est donc untenseur, qui permet (en tout point) de faire un correspondre au vecteur~nun vecteur contrainte~σ.
À retenir :
La pression dans un fluide est un état de contrainte particulier, qui se décrit à l’aide d’un tenseur.
1.2.4. Représentation d’un état de contraintes
De la même façon qu’une force est un vecteur représenté sous la forme d’une flèche, un état de contraintes est un tenseur qui peut être représenté par un objet géométrique6.
Voici trois représentations possibles (voir figure 1.4) :
— Cube des contraintes : l’état de contraintes en un point M peut être visualisé par un objet imaginaire appeléélément de contrainte. Cet élément, qui enclos un volume infi- nitésimal centré sur le pointM, est construit de la manière suivante :
1. L’élément est défini par 3 faces mutuellement perpendiculaires, qui sont orientées par rapport aux 3 axes du repère (donc perpendiculaires à ceux-ci).
4. Voir D. Royer,op.cit., p. 87.
5. Voir Eugène Hecht,Physique : Tome 1, Mécanique, éd. De Boeck (2007).
6. Voir la page internet duComparative Visualization Group : https://www.zib.de/hotz/projects/
projects.html
2. Ensuite, on introduit un repère propre à chaque face, dans lequel le vecteur contrainte est exprimé suivant 3 composantes perpendiculaires : une composante normale et 2 tangentielles. Ces 3 composantes sont repérées par des vecteursσi j.
Remarque : en coordonnées cartésiennes, l’élément est un cube; c’est unfragment de cylindre en coordonnées cylindriques ; et c’est un fragment de sphère en coordonnées sphériques.
— Ellipsoïde : l’ellipsoïde est décrit par l’extrémité du vecteur contrainte ~σ lorsque ~n balaie tout l’espace. Les demi-axes de l’ellipsoïde (notés a, b etc) correspondent aux contraintes principales σ1, σ2 et σ3. Dans le cas d’une pression hydrostatique (voir page 26)σ1 σ2σ3, et l’ellipsoïde est une sphère avecabc.
Attention, l’ellipsoïde est un cas particulier. Dans le cas général, un tenseur d’ordre 2 est représenté par unequadrique. Lorsque les 3 coefficients sont positifs, c’est unellipsoïde.
Lorsque deux coefficients sont de signe opposé au troisième, c’est unhyperboloïdecom- posé d’un hyperboloïde à une nappe et un à deux nappes7.
— Cercles de Mohr ou tricercle de Mohr. Dans cette représentation 2D, le tenseur des contraintes est représenté par 3 cercles imbriqués. L’intérêt de cette représentation est de pouvoir déterminer graphiquement la cission maximale (c’est-à-dire la contrainte tangentielle maximale, notée τmax dans la figure 1.4), qui est le paramètre clef dans la rupture d’un matériau.
7. Pour plus de détails, voir : Cécile Malgrange, Christian Ricolleauet Françoise Lefaucheux,Symétrie et propriétés physiques des cristaux, EDP Sciences, (2011), p. 197.
8. Pour la distinction entre champ physique et champ mathématique, voir F. Herrmann,op. cit., section 3.8, le champ vu comme une région de l’espace munie de propriétés.
Figure1.4. – Le tenseur des contraintes (et, de manière plus générale, tout tenseur d’ordre 2) peut être représenté de plusieurs manières différentes. σ1, σ2 et σ3 sont les contraintes principales.
Figure1.5. – De la même manière qu’il existe des champs scalaires et vectoriels, il existe des champs tensoriels. Rappelons que le mot « champ » désigne ici un concept ma- thématique qui décrit la distribution des valeurs d’une grandeur physique dans l’espace8.
1.2.5. Contraintes : définitions et notations
En résumé, le mot « contrainte » recouvre plusieurs types de notions :
— letenseur des contraintesσ¯¯ (tenseur d’ordre 2, symétrique, à valeurs réelles).
— levecteur contrainte~σ(voir relation 1.2 page 12).
— lacontrainte normale, notéeσntelle queσn ~σ~n(voir figure 1.6).
— lacontrainte tangentielle, de cisaillement, oucission, notéeσt, telle queσt ~σ~t. On a donc
~σ σn~n σt~t et
σ b
σ2n σ2t.
Figure1.6. – Vecteur contrainte~σau point M.
Concernant le tenseur des contraintes ¯¯σ, il existe plusieurs notations : 1. la notation de Lamé :
σ
N1 T3 T2 T3 N2 T1 T2 T1 N3
où la lettreNsignifie "normale" et la lettreT signifie "tangentielle", 2. la notation "ingénieur" :
σ
σ1 τ12 τ13 τ12 σ2 τ23
τ13 τ23 σ3 .
3. il existe aussi une notation appelée "notation de Voigt", où la matrice de 33 est trans- formée en un vecteur de 61 ; nous la verrons plus loin (voir équation 1.13 page 49).
1.2.6. Équilibre
Rappelons qu’en mécanique du solide, un solide rigide indéformable est à l’équilibre si deux conditions sont respectées :
— L’équilibre translationnel: la résultante des forces extérieures est nulle, tout le solide est au repos. Pour un ensemble de forces extérieures, on a :
¸
i
ÑFi,ext~0.
— L’équilibre rotationnel: la résultante des moments des forces extérieures est nulle, le solide ne tourne pas. Pour un ensemble de moments de forces calculé au pointO, on a :
¸
i
ÑMOÑ Fi,ext ~0,
avecÑ
MOÑ
Fi,ext Ñ
OMi ^Ñ
Fi,ext. Ce terme n’existe pas en « mécanique du point », car un point ne peut pas tourner ! Voir Fig. 1.7.
Figure1.7. – Les différents domaines de la mécanique et leurs apports respectifs.
En mécanique des milieux continus, ces deux types d’équilibre ont une conséquence sur l’expression du tenseur des contraintes ¯¯σ:
— L’équilibre translationnel implique, en l’absence de forces à distance (forces de volume) Bσik
Bxk
0. (1.4)
Cette formule cache en fait les 3 relations suivantes :
$'
&
'%
Bσ11
Bx1
Bσ12
Bx2
Bσ13
Bx3 0,
Bσ21
Bx1
Bσ22
Bx2
Bσ23 Bx3 0,
Bσ31
Bx1
Bσ32
Bx2
Bσ33
Bx3 0,
qui s’écrivent de manière plus compacte avec l’opérateurdivergence: Ñdiv ¯¯σ~0.
En coordonnées cartésiennes, on retrouve la formule 1.4 ; en coordonnées cylindriques ou sphériques, l’écritue de la divergence en fonction des dérivées partielles est plus compliquée.
— L’équilibre rotationnel implique, en l’absence de couple externe au solide,
σi j σji, (1.5)
c’est-à-dire que le tenseur ¯¯σest symétrique. Cette relation est aussi appeléeréciprocité des contraintes tangentielles9.
— Il faut rajouter une troisième relation10
σi jnj σexti , (1.6)
Cette équation porte aussi le nom de condition limite en contrainte. Dans le cas d’une surfacelibre, le vecteur contrainteÑσextest nul.
9. Voir C.Potelet M. Bruneau,Acoustique générale, Ellipses, 2006, page 276.
10. Voir Nicolas MOËS,Mécanique des milieux continus, École Centrale de Nantes, page 72.
Sur les lois de conservation
La formule sur l’équilibre translationnel est aussi appelée "principe fondamental de la dynamique appliqué aux translations", ou encore "loi de conservation de la quantité de mouvement". En effet, c’est bien la quantité de mouvement ~p m~v(rappelons que cette formule n’est valable que pour des vitessesv!c) qui est la quantité fondamentale, plutôt que la force. Ce n’est donc pas une simple quantité dérivée construite en multipliant la masse par la vitesse.
Pour un système isolé ou pseudo-isolé, la quantité de mouvement se conserve : lors- qu’une grenade "au repos" explose, la quantité de mouvement totale de tous les morceaux plus la fumée est nulle. La quantité de mouvement ne peut être ni créée, ni détruite, de la même manière que l’énergie : cet énoncé remplace les 3 lois de Newton ! Une interac- tion mécanique se traduit par un échange de quantité de mouvement entre les systèmes en interaction11.
Montrons que l’équilibre translationnel implique l’équation 1.412 Considérons un volumeV enclot par la surface fermée d’aireS. L’équilibre des forces volumiques et surfaciques implique :
y
V
~f dV {
S
T dS~ ~0.
Remarque 1 : cette équation provient d’une équation plus générale de « conservation », qui traduit le fait que la variation d’une quantité est égale à un terme de production interne plus un terme d’échange avec l’extérieur13.
Remarque 2 : au passage d’une onde l’équilibre translationnel n’est plus vérifié locale- ment, et le membre de droite est non nul (élastodynamique, voir section 2.3.1 page 93).
Appliquons le théorème de Cauchy (éq (1.2) page 12) pour trouver y
V
f dV~ {
S
σ~¯¯ndS ~0.
Appliquons le théorème de la divergence (aussi appelé théorème de Green-
Ostrogradsky) : {
S
σ~¯¯ndS y
V
Ñdiv ¯¯σdV,
11. Voir F. Herrmann,op. cit., sections 5.4 à 5.9.
d’où y
V
f dV~
y
V
Ñdiv ¯¯σdV 0.
Ce qui donne en écriture indicielle les équations attendues dans un repère cartésien14: Bσik
Bxk
fi 0.
Un exemple de champ extérieur est le champ de pesanteur fi ρgi avec~g p0,0,gq dans un repère cartésien conventionnelpOxyzq.
En l’absence de champ extérieur f~~0, on retrouve l’équation 1.4 BBσxik
k 0..
Remarque :à une surface libre (free surface) les contraintes sont nulles σiknk 0.
Montrons que l’équilibre rotationnel implique l’équation 1.513 Le moment M~ des forces surfaciques est :
Mk p~r^~σqk i jkxiσj. Appliquons le théorème de Cauchy (éq (1.2) page 12)
{
S
i jkxiσjdS {
S
i jkxiσjmnmdS. Appliquons le théorème de Green sur le second membre
{
S
i jkxiσjmnmdS y
V
B Bxm
pi jkxiσjmqdV puis dérivons en utilisant l’identité de Leibniz
y
V
B Bxm
pi jkxiσjmqdV y
V
i jkxi
Bσjm
Bxm
i jk
Bxi
Bxm
σjm
dV
12. Voir Daniel Royer,op. cit, p.109.
11. Voir François Sidoroff,Mécanique des milieux continus, p. 2. Adresse web :cel.archives-ouvertes.
fr/cel-00530377/document.
12. Dans les repères cylindrique ou sphérique, la divergence prend une autre forme, plus compliquée.
aveci jkBxi
Bxmσjm i jkδimσjm i jkσji.
Dans un volume élémentaire,σest uniforme donc BBσxjm
m Ñ0
i jkσji 0, soit finalement
σji σi j.
Cette relation n’est plus valable si le solide est soumis à un couple extérieur, par contre elle est valable au passage d’une onde dans lequel les rotations locales n’interviennent pas (le moment d’inertie étant nul dans un volume infinitésimal). Cette relation se comprend aisément si l’on considère un élément de volume soumis à des contraintes de cisaillement : il faut queσji σi j pour éviter une rotation d’ensemble (voir Fig. 1.2.6). Doncσest un tenseur d’ordre 2, symétrique, et ne comporte que 6 composantes indépendantes.
Figure1.8. – Dans la figure de gauche, l’élément du solide, entraîné par deux contraintes σxyetσyx telles queσxy σyx, ne tournera pas. À l’inverse dans la figure de droite, les contraintes telles queσxy,σyxle font inévitablement tourner.
Lois de Newton
Les lois de Newton peuvent être reformulées dans le contexte de la mécanique des milieux continus.
Première loi): principe d’inertie. Tout solide isolé est soit au repos, soit en translation rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen.
13. Voir Daniel Royer,op. cit, pp.110-111.
Bσi j
Bxj
0,
Deuxième loi): l’accélération est proportionnelle à la résultante des forces. Seule une force peut faire sortir un solide de son état d’équilibre.
#ργi BBσxi jj fi
σi j σji
(1.7) Troisième loi) : principe des actions réciproques (improprement appelée principe d’action-réaction)14. L’existence d’une force indique une interaction, la force est une affaire depaires. Elle suppose une interaction instantanée et simultanée entre deux corps.
Autrement dit, lorsqu’on dessine un « vecteur force », c’est un côté d’une interaction unique.
Forme locale de la loi des actions réciproques
~σp~nq ~σp~nq
"De part et d’autre d’un élément de surfacedS, les particules de la région 1 agissant sur la région 2 développent des actions opposées aux particules de la région 2 agissant sur 1."15
Figure1.9. – Cube des contraintes dessiné dans le planpOx1x2q. Illustration de la forme locale de la troisième loi de Newton. La face supérieure du cube est orientée suivant la directionÑe2, c’est pourquoi la contrainte qui s’exerce sur cette face est notée ~σpÑe2q.
Figure1.10. – Trois exemples concrets dela loi des actions réciproques(troisième loi de Newton).
1.2.7. Contraintes particulières
Par convention, en traction, les coefficients sont positifs, en compression les coefficients sont négatifs.
Contrainte uniaxiale
Contrainte uniaxiale suivant l’axepOx3q σ
0 0 0
0 0 0 0 0 k
15. Voir Sue Stocklmayeret al,The Physics Teacher,50, 406-409 (2012).
15. Voir Jean Coirier,Mécanique des milieux continus, 3e éd., Dunod, 2007, pp.189-190.
avec k σ33. C’est typiquement le cas d’un essai de traction sur une éprouvette16, ou un câble. Sik¡0, c’est unetraction simple; sik 0, c’est unecompression simple.
Figure1.11. – Traction simple (uniaxiale) dans la directionOx1.
Figure1.12. – Compression simple (uniaxiale).
16. Ce terme désigne un échantillon en mécanique sous la forme d’un cylindre solide
Contraintes planes
Contraintes subie par une plaque, par exemple.
σ
σ11 σ12 0 σ12 σ22 0
0 0 0
σI 0 0 0 σII 0
0 0 0
Les valeursσI etσII sont les contraintes principales.
Contrainte biaxiale
C’est un cas particulier d’une contrainte plane : σ
σ11 0 0 0 σ22 0
0 0 0
.
Contrainte isotrope (ou hydrostatique)
C’est l’état de contraintes qui existe dans les fluides à l’équilibre, sans considérer les effets de l’altitude17, avec
σ
σ0 0 0 0 σ0 0
0 0 σ0
σ0δi j.
La contrainte hydrostatique est un cas particulier de contraintetriaxiale.
Pour un solide plongé dans un milieu homogène à une pression pavec p¡0 (voir encadré ci-dessous page 27),
σ pδi j
p 0 0
0 p 0
0 0 p
.
17. Un fluideà l’équilibrene doit pas être confondu avec un fluideau repos: la forme du tenseur est la même, mais les variations spatiales du champ de contraintes sont différentes. En effet, dans un fluide quelconque au repos, la pression augmente linéairement avec la profondeur. Dans un fluide parfait en mouvement, la pression varie de manière complexe en fonction des forces appliquées au fluide. Source :guilhem.mollon.free.fr/
Telechargements/MMC10.pdf.
Figure1.13. – Contrainte isotrope ou hydrostatique.
Montrons qu’une « force de pression » est toujours normale à une surface.
Utilisons la relation 1.2 (page 12)
~σ σ~¯¯n, soit en notation indicielle
σi σi jnj,
d’où par définition de la pression hydrostatiqueσi j pδi j
σi pδi jnj pni, soit finalement
~σ p~n.
Le vecteur contrainte est donc toujours orienté dans le sens opposé au vecteur surface, et colinéaire à celui-ci. On retrouve le principe de la statique des fluides donné en 1.2.3.
La pression moyenne18est définie comme le négatif de la moyenne des 3 termes dia- gonaux
pmoy
1
3pσ11 σ22 σ33q.
Cette pression dépend de la trace du tenseur qui est un invariant par rotation des axes, mais pas du tout des contraintes de cisaillement qui peuvent exister par ailleurs. Les contraintes de cisaillement sont données par le tenseur déviatoriqueτ(voir Annexe A.1, p. 123).
La pression hydrostatiqueest caractérisée parσ11 σ22σ33, etτi j 0.
Cette définition de la pression (qui implique forces et surfaces) est en fait la même que
la définition thermodynamique (qui implique énergies et volumes) de la pression p
BU BV
S
BF BV
T
oùU est l’énergie interne, etFest l’énergie libre de Helmholtz F U T S (voir cours de thermodynamique).
Le termecontrainte quasi-hydrostatiquese réfère à une situation oùτest homogène, avec la présence de gradients de σ dans l’échantillon, ou à la présence de contraintes microscopiques par exemple aux joints de grains en plus d’une pression moyenne spatia- lement et orientationnellement prédominante.
Pressions négatives : il est tout à fait possible de mesurer des pressions négatives ! Il existe des exemples dans la nature, comme par exemple la montée de la sève dans les arbres, phénomène qui provient de l’existence d’une pression négative. En laboratoire, grâce à un dispostif expérimental particulier (en piégeant du liquide dans des petites cavi- tés), l’eau a été soumise à des pressions de -26 MPa !19.
Cisaillement pur (ou simple)
Le cisaillement est une contrainte appliquée parallèlement à une face. On noteτune contrainte en cisaillement pur et on a
σ
0 τ 0 τ 0 0 0 0 0
. (1.8)
Il est toujours possible de trouver une base dans laquelle la matrice est diagonale (voir encadré ci-dessous), et les contraintes deviennent normales aux faces
σ
τ 0 0
0 τ 0
0 0 0
.
18. D’après Karl Syassen,Ruby under pressure,High Pressure Research,2875-126 (2008). DOI :https:
//doi.org/10.1080/08957950802235640.
19. Frédéric Caupin et coll., Exploring water and other liquids at negative pressure,Journal of Physics : Condensed Matter,24-28284110 (2012).https://doi.org/10.1088/0953-8984/24/28/284110.
Diagonalisation : cas simple.
Calculons les valeurs propres (eigenvaluesen anglais) et les vecteurs propres (eigenvec- tors) associés à la contrainte 1.8, en écrivant
detσ¯¯ λI¯¯ 0,
λ τ 0 τ λ 0
0 0 λ
0.
On obtient l’équation caractéristique(un polynôme enλ) λ λ2τ2
0,
et les valeurs propres sontλ tτ, τ,0u. Les vecteurs propres sontp1,1,0q,p1,1,0qet p0,0,1q20. Autrement dit la base propre est tournée de 45o par rapport à la base choisie.
Ce résultat, qui peut paraître étonnant, illustre le fait qu’un cisaillement est aussi défini par la combinaison de deux contraintes normales.
Autres sollicitations simples
Torsion
suivant l’axe 3 :
σ
0 0 kx2
0 0 kx1
kx2 kx1 0 .
Flexion simple suivant l’axe 3 :
σ
0 0 0
0 0 0
0 0 kx1
.
20. Un calculateur en ligne tel que wolframalpha.com permet de déterminer les vecteurs propres, par exemple en écrivant la commandeeigenvectorstt0,tau,0u,ttau,0,0u,t0,0,0uu.
Contraintes en coordonnées sphériques
Dans le repère en coordonnées sphériquespÑer,Ñeθ,Ñeφq σ
σrr σrθ σrφ
σθr σθθ σθφ
σφr σφθ σφφ .
Testez vos connaissances
Solutions du QCM page 124.
1. Quelle est l’unité de la contrainte ?
a) N b) Pa c) N.m d) N/m e) N.m2
2. Une contrainte est généralement définie par a) la force appliquée seulement
b) le rapport : force appliquée/surface c) le produit : force appliquéesurface
3. La condition d’équilibre translationnel d’un solide, sans champ de force extérieur, implique pour le tenseur des contraintesσ:
a)σik 0 b) σxik
k 0 c)σik σki
4. De manière générale, combien de composantes possède un tenseur d’ordre 3 ?
a) 3 b) 9 c) 18 d) 27
5. Que vaut le produitδi jδi j, oùδest le symbole de Kronecker ?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6
6. Une contrainte de cisaillement peut être représentée par la matrice (k est une constante réelle positive)
a)σ
0 k 0 k 0 0 0 0 0
b)σ
k 0 0 0 0 0 0 0 0
c)σ
k 0 0 0 k 0 0 0 k
7. Une contrainte hydrostatique peut être représentée par la matrice (kest une constante réelle positive)
a)σ
0 k 0 k 0 0 0 0 0
b)σ
k 0 0 0 0 0 0 0 0
c)σ
k 0 0 0 k 0 0 0 k
1.3. Déformations (strain)
1.3.1. Définitions
Il faut bien différencier : le déplacementu, la déformationet la dilatationθ.
— Ledéplacementest le mouvement total d’un point par rapport à sa position d’équilibre.
On s’intéresse au mouvement d’un point, donc le déplacement est représenté par un vecteur.
— La déformation est le mouvement relatif d’un point par rapport à un autre point. La déformation met en jeu des différences, donc nécessite un volume élémentaire (méso- scopique) pour être appliqué : letenseurest donc l’outil mathématique adapté.
— Ladilatationest la variation relative de volume. C’est un nombre (exprimé en %), donc il met en jeu l’opérateur vectoriel divergence.
Exemple : allongement longitudinal d’un fil extensible (cas unidimensionnel) Cet exemple simple va nous permettre de mieux comprendre ce qu’on entend pardéforma- tion21.
On considère une portion de fil entre le point A (cote x) et le point B (cote x dx) (voir figure 1.14 page 32),
— Avant déformation, sa longueur est`dx.
— Après déformation, la longueur est`1 (dans la figure le fil s’est allongé) : le point A se déplace en x upxqet le point B en x dx upx dxq. Sa nouvelle longueur est donc
`1 rx dx upx dxqs rx upxqs dx upx dxq upxq. La déformation est la variation relative de longueur :
pxq ∆`
` `1`
` rdx upx dxq upxqs rdxs
dx upx dxq upxq dx
et finalement
pxq dupxq dx .
Ce résultat signifie que la déformationpxq, calculée à l’abscissex, est la dérivée du dépla- cementu, oùuest considéré comme une fonction continue de x.
À noter :la déformation est sans unité, elle peut être exprimée en pourcentage, et elle est très faible dans les matériaux réels (de l’ordre de 105).
21. Voir D. Royer, page 104
Figure1.14. – Allongement du fil soumis à une force de traction.
Calcul de l’allongement total∆L
L’allongement∆Lest le déplacement à l’extrémité libre du fil, tel que
∆LupxLq.
Cet allongement total est la somme de tous les petits allongements élémentaires du fil, autrement dit des déformations, de telle manière que
∆L
»L 0
pxqdx.
Avecpxq dudxpxq (en considérant queupx0q 0) on retrouve que
∆L
»L 0
du upxLq.
Bien que l’allongement du fil varie de point en point, la déformation est constante (voir figure 1.15 page 33) !
Figure1.15. – Allongement du fil : fonctions déplacementupxq(en haut) et déformationpxq (en bas).
1.3.2. Propriétés du tenseur des déformations linéarisées
Pour un champ scalaire fpx,y,zq exprimé en coordonnées cartésiennes, le gradient com- porte les 3 dérivées partielles BBxf, BByf, BBzf. Il est naturel, par analogie avec le champ scalaire, de définir le gradient d’un champ vectoriel F~ (qui possède 3 composantes Fxpx,y,zq, Fypx,y,zq etFzpx,y,zq) par les 9 dérivées partiellesBBFxi
j (aussi appeléematrice jacobienne). Ce « gradient généralisé » rend nécessaire l’utilisation de l’algèbre tensorielle, pour décrire la variation de chacune des 3 composantes dans les 3 directions de l’espace.
Le milieu se déforme lorsque le gradient du champ des déplacements~un’est pas nul et on peut définir :
grad~ui j Bui
Bxj
Bux Bx
Bux By
Bux Bz Buy
Bx Buy
By Buy
Bz Buz
Bx Buz
By Buz
Bz
.
Toutefois ce tenseur contient aussi les rotations (qui conservent les distances). On décom-
Figure1.16. – Exemple de représentation d’un champ de déplacement~up~rq xÑex. La défor- mation n’est rien d’autre que le gradient généralisé du champ~u.
pose en une partie symétriqueS et une partie antisymétriqueΩtelles que i j Si j Ωi j.
oùΩi jest letenseur des rotations infinitésimales(dont on peut noter la ressemblance avec l’opérateur rotationnel)
Ωi j 1 2
Bui
Bxj
Buj
Bxi
,
qui correspond aux rotations. DoncS correspond ici à la définition des déformations que l’on cherche.
Dans le cadre de très petites déformations, letenseur linéarisé des déformationsest donc : Si j 1
2 Bui
Bxj
Buj
Bxi
(1.9) que l’on peut aussi noter
S¯¯ 1 2
grad~u
grad~u
T .
Figure1.17. – La déformation est ce qui reste lorsqu’on retire les translations pures au champ de déplacement : la déformation est donc une différentielle locale du dépla- cement. Pour une approche géométrique du même type, plus précise et rigou- reuse, voir l’article de Jean Sivardi`ere, « Divergence et rotationnel d’un champ de vecteurs : Une présentation physique et géométrique », Bulletin de l’union des physiciens, no719 (1989).
et on assimile Si j à i j. est un tenseur de rang 2 avec 9 composantes indépendantes. Par définition il est symétriquei j jidonc il ne possède que 6 composantes indépendantes. C’est cette relation qu’on utilise pour la propagation des ondes car les déformations sont très faibles.
Chaque terme diagonal représente l’allongement relatif dans la direction du vecteur. Chaque terme non-diagonal représente la variation d’angle entre les deux directions concernées.
Pour information, dans le cas général, letenseur non-linéarisé des déformations(ten- seur de Green-Lagrange en composantes cartésiennes orthonormées) est :
i j 1 2
Bui
Bxj
Buj
Bxi
Buk
Bxi
Buk
Bxj
.
1.3.3. Dilatation θ
La dilatation (notéeθou∆) est la variation relative de volume telle que θ VV0
V0 .
Elle est sans dimension, sans unité et peut être exprimée en pourcentage.
On peut montrer que (voir ci-dessous) :
θ11 22 33 T rp¯¯q ii Bui
Bxi
div~u.
Un fluide incompressible ne peut pas se dilater ni être comprimé doncθ0 , on retrouve bien le fait que div~u0.T rp¯¯q 0 caractérise donc une transformation infinitésimale localement isochore.
Montrons que la variation relative de volume est égale à la trace du tenseur Pour simplifier les calculs, on peut se placer dans la base principale propre telle que le tenseur soit diagonal
11 0 0 0 22 0
0 0 33
. Par définition
θ dV1 dV dV , avec
dV dx1dx2dx3 dV1 dx11dx12dx13 dx11dx1 Bu1
Bx1
dx1 p1 11qdx1 dV1 p1 11q p1 22q p1 33qdx1dx2dx3
On retrouve la définition dedVet on peut écrire, en négligeant les termes d’ordre supérieur (2 022)
dV1 p1 11 22 33qdV soit
θ dV1 dV
dV 11 22 33 T rp¯¯q ii.
22. En effet, l’ordre de grandeur de la déformation est 105, ce qui est très petit. On conçoit donc facilement que21010soit négligeable.
Figure1.18. – Champ de déplacement~uλx1Ñe1 associé à une extension simple.
1.3.4. Déformations particulières
Extension simple dans une direction (état uniaxial de déformation) Dans la directionÑe1,
λ 0 0 0 0 0 0 0 0 .
Le champ des déplacements associé est~uλx1Ñe1 (voir Fig. 1.18). La variation de volume est telle que∆T rp¯¯q 11 λ.
État de déformation plan Dans une base quelconque,
11 12 0 12 22 0
0 0 0
.
Dans la base propre, qui est la base constituée par les vecteurs propres,
I 0 0 0 II 0
0 0 0
oùI etIIsont les valeurs propres.
État de déformation isotrope Dans cet état de déformation,
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
.
Le champ de déplacement associé est~u λx1Ñe1 λx2Ñe2 λx3Ñe3. La variation relative de volume∆est égale à 3λ.
Extension dans une direction sans changement de volume
λ 0 0 0 λ{2 0
0 0 λ{2
Glissement pur (cisaillement pur, aplatissement)
Dans la base où on effectue un aplatissement23on a~uαx1Ñe1 αx2Ñe2 et
α 0 0 0 α 0
0 0 0
.
Il s’agit de la base principale du glissement pur. Les déformations principales non-nulles sont opposées, le milieu se dilate dans une direction et se contracte dans la direction orthogonale.
Cela correspond aussi à une extension simple dans une direction, sans changement de volume.
Dans la base tournée de 45˚ on a~uαx2Ñe1 αx1Ñe2 et
0 α 0 α 0 0
0 0 0
.
La signification du coefficientαdevient plus claire ici : il s’agit de l’angle de distorsion, avec tanααpour les petites déformations. La trace du tenseur est nulle, donc cette déformation s’effectue à volume constant (transformationisochore).
23. Voir Cyril Langlois,Mini manuel de Géologie - Géophysique, Dunod, 2011, p.100.
Figure1.19. – Champ de déplacement~uassocié à un glissement pur. Bien que les représenta- tions du champ soient différentes (à gauche et à droite), il s’agit bien du même champ.
Glissement simple (ou cisaillement simple)
Le champ de déplacement associé est~u γx2Ñe1. En petites déformations, on identifie γ à l’angle de distorsion (voir figure 1.31) car tanγ γ. Le glissement simple équivaut à un glissement pur suivi d’une rotation rigide.
Figure1.20. – Cas du glissement simple.
On trouve dans ce cas que
0 γ{2 0 γ{2 0 0
0 0 0
et on identifieγ{2 à l’angleαpour le glissement pur. On retrouve aussi ici que la transforma- tion est isochore.
Figure1.21. – Le casareprésente le glissement pur, le casbreprésente le cas du glissement simple. Les dessinsd, e et f illustrent l’aplatissement. L’aplatissement est en fait identique à un glissement pur, comme le montrent les situations a et e, identiques (à une translation près). Le glissement pur et le glissement simple sont identiques avecα 2γ, comme le montrent les déformations des cercles cetf.
Figure1.22. – Champ de déplacement~uγx2Ñe1 associé au glissement simple.
Torsion d’un cylindre
Le champ de déplacement en torsion est~up~rq αρzÑeθ. Ce champ est proportionnel à la distance à la face encastrée z, proportionnel à la distance à l’axe du cylindre ρ, et orienté suivant le vecteurÑeθ (voir figure 1.23).
Figure1.23. – Schéma du champ de déformation~uen torsion (exagéré).
Le tenseur des déformations associé est le suivant dans le repère cartésien α
2
0 0 y
0 0 x
y x 0 .
1.3.5. Tableau comparatif des contraintes et des déformations
Il existe des similitudes entre les formalismes qui décrivent les contraintes et les déforma- tions, récapitulées dans le tableau ci-dessous.
Tenseur des contraintes(stress) des déformations linéarisées (strain)
Notation σ¯¯ ¯¯
Dimension [σi j]=[F/S]= [i j]=[δ`{`]=1
=[pression]=M.L1.T2
Unité pression (Pa, pascal) sans unité (%, rad)
Ordre de grandeur 10-100 MPa 105-104
Propriétés
Tenseurs d’ordre 2, symétriques, à valeurs réelles, diagonalisables
Représentés par : ellipsoïde, cercles de Mohr Relation « de Cauchy » ~σpM, ~nq σ~¯¯n ~pM, ~nq ~¯¯n
vecteur contrainte~σ vecteur allongement relatif~u Signification de~n orientation de la facette direction
Notation indicielle σi σi jnj i i jnj
Termes diagonaux compression allongement relatif dans une direction
Termes hors diagonale cisaillementτ variations d’angleγ Trace (somme des va-
leurs propres)
T rpσ¯¯q 3P, où P est la pression moyenne
T rp¯¯q θ, où θ est la varia- tion relative de volume Partie sphérique du ten-
seur
compression uniforme changement de volume à forme constante (gonflement ou dégonflement)
Partie déviatorique du tenseur
contraintes en cisaillement pur
changement de forme à vo- lume constant (isochore) Table1.1. – Comparaison des tenseurs.
Testez vos connaissances
Solutions du QCM page 124.
1. On étire un cylindre suivant son axe de révolution (Ox1), sans le faire changer de volume. Quel est l’état de déformation associé ? (αconstante réelle positive)
a)
α 0 0 0 0 0 0 0 0
b)
2α 0 0
0 α 0
0 0 α
c)
α 0 0
0 α 0
0 0 α
d)
2α 0 0
0 α 0
0 0 α
2. Un état de déformation est décrit par le tenseur suivant :
4 2 1
2 1 2
1 2 2
105.
La variation relative de volume associée à cette déformation est : a) -2105 b) -1105 c) 0
d) 1105 e) 2105 f) 3105 3. Le déplacement (noté~u) s’exprime en :
a) degrés (d’angle) b)µm1 c) % d)µm
4. La déformations (notée) s’exprime en :
a) degrés (d’angle) b)µm1 c) % d)µm
5. La dilatation (notée∆) s’exprime en :
a) degrés (d’angle) b)µm1 c) % d)µm
6. La divergence du champ de déplacement~uest égale à :
a)i j b)nn c)σnn d)σi j
1.4. Relation contraintes-déformations
1.4.1. La loi de Hooke
La loi de Hooke relie l’allongement d’un ressort avec la force à exercer (appelée force élastiqueouforce de rappel et notéeÑ
Fe) : Ñ
Fe KpÑr Ñr0qÑer (1.10)
où Ñr0 est la position du ressort « à vide »,Ñr est le vecteur position de l’extrémité libre du ressort, etKla constante de raideur du ressort, avecrKs M.T2(unité : kg.s2ou N/m).
Remarque : le vecteur unitaireÑer est orienté par convention dans le sens d’élongation du ressort, d’où le signe moins qui apparaît dans la formule 1.10. Cette force est essentiel- lement d’origine électrostatique.
En général, la loi de Hooke est illustrée avec l’allongement d’un ressort.Les ressortssont des objets manufacturés, macroscopiques, qui sont fabriqués pour obéir à la loi de Hooke dans un très large domaine de variation.Tous les matériaux sont élastiques !Le caoutchouc évidemment, mais aussi le verre, le diamant ou l’acier, tant que la déformation reste très faible.
Cette relation peut se réécrire plus simplement Fe K∆`,
où∆`est l’élongation, elle exprime le fait que la contrainte est proportionnelle à la déforma- tion. Faisons apparaître la contrainte et la déformation dans le cas d’un cylindre de sectionS et de longueur` :
F S K`
S
∆`
` σK1
On trouve une relation de proportionnalité entre σet. Nous verrons plus bas queK1 s’iden- tifie avec le module de Young E. L’avantage de K1 est que c’est une grandeur intrinsèqueà l’échantillon, alors queK, appeléraideur24dépend de la géométrie de l’échantillon.
24. Ce coefficient est utilisé en analyse mécanique dynamique (AMD).
Sur la linéarité
Une telle relation linéaire est « universelle » car elle résulte d’un développement limité à l’ordre 1 de la relation entre contrainte et déformation (voir Eq. 1.1) . Autrement dit, toute relation entre deux grandeurs est linéaire si elle ne s’éloigne pas trop de son point de départ (sous réserve que la relation soit strictement croissante ou décroissante, c’est-à-dire que la dérivée première ne soit pas nulle)
fpxq fpx0q pxx0qBf Bxx0
.
Le corollaire de cette universalité est qu’une relation de linéarité entre deux grandeurs est une relation très courante en physique (voir par exemple la loi d’Ohm en électricité, il en existe beaucoup d’autres !)25.
Figure1.24. – Relation contrainte-déformation dans le cas général.
25. Voir F. Herrmann,op. cit., section 1.5relations linéaires.
