Projet de Th`ese
Doctorant Victor Lutfalla
Directeur de th`ese Thomas Fernique
Equipe´ CALIN
Intitul´e du projet Plans discrets substitutifs
1 Probl´ ematique
Sur une feuille quadrill´ee, soit Dune droite qui passe par un sommet d’un petit carr´e etD0 la droite parall`ele qui passe par le sommet diagonalement oppos´e de ce petit carr´e. L’ensemble des cˆot´es des petits carr´es qui se trouvent entre ces deux droites forme alors une sorte d’escalier appel´e discr´etisation de D. Il existe de nombreux liens entre les propri´et´es de cet escalier et celles de la pente de la droite. Par exemple, si la pente est le nombre d’or, alors le mot infini qui code la suite de segments horizontaux (lettreh) ou verticaux (lettrev) de l’escalier estsubstitutif,i.e., point fixe du morphisme d´efini par σ(h) = hv; σ(v) = h. La probl´ematique g´en´erale de cette th`ese est de g´en´eraliser ces liens en dimensions sup´erieures, quand le rˆole de la feuille quadrill´ee est jou´e par le r´eseau Zn, celui de la droiteDpar un pland-dimensionnel et celui de l’escalier par unplan discret.
2 Contexte
Les plans discrets se retrouvent `a la crois´ee de trois domaines et sont, `a ce titre, ´etudi´es par des scientifiques venus de divers horizons. En informatique, ils sont surtout ´etudi´es en g´eom´etrie discr`ete, qui ´etudie les rapport entre la g´eom´etrie classique et son adaptation au monde discret de l’informatique (voir, par exemple, [8]). Les plans discrets sont des primitives qu’on cherche alors `a re- connaˆıtre ou engendrer de fa¸con algorithmiquement efficace. `A ce titre, le caract`ere substitutif peut jouer un rˆole clef (ainsi que les propri´et´es de sa pente en th´eorie des nombres). Enmath´ematiques, ils apparaissent en syst`emes dynamiques, et plus pr´ecis´ement endynamique symbolique, o`u ils sont utilis´es pour coder (via despartitions de Markov) des rotations sur le tore. Enfin, enphysique, les quasicristaux, forme de mati`ere condens´ee d´ecouverte en 1982, sont g´en´eralement mod´elis´e par des plans discrets irrationnels dans des espaces de grand dimension.
3 Objectifs
L’objectif g´en´eral est de g´en´eraliser la caract´erisation des plans discrets substitutifs obtenus dans [5, 6], qui est limit´ee `a un type bien particulier de plan discret (ditscanoniques) et de substitution (dites edge-to-edge). Plus pr´ecis´ement, la notion de substitution retenue est celle des substitutions g´en´eralis´ees introduites dans [2] en codimension 1 et dans [3] en codimension quelconque, et l’ob- jectif serait de formuler et d´emontrer une conjecture du type
Conjecture 1 Un d-plan de Rn peut ˆetre discr´etis´e par un pavage substitutif si et seulement si c’est l’espace propre expansif1 d’une matrice `a coefficients entiers.
1. C’est-`a-dire l’espace propre associ´e aux valeurs propres de module strictement sup´erieur `a 1.
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Lessubstitutions g´en´eralis´essont un outil permettant d’associer automatiquement `a une matrice enti`ere une substitution dont l’action sur les quantit´es de chacun des types de tuiles est d´etermin´ee par cette matrice. Le probl`eme est que l’action de ce type de substitution sur les plans discrets est assez mal comprise au del`a de la codimension 1 (voir [4]). Un cas particuli`erement int´eressant,
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etudi´e dans [1], est un exemple de plan 2-dimensionnel dans R4. `A quel point ce cas peut-il ˆetre g´en´eralis´e ?
4 R´ ealisabilit´ e
Le formalisme des substitutions g´en´eralis´ees ´etant assez lourd, les d´ebuts de th`ese seront consacr´es
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a le comprendre. La poursuite de th`ese s’attachera `a la conjecture mentionn´ee ci-dessus.
Outre l’objectif final lui-mˆeme, les substitutions sur plans discrets offrent de nombreux liens avec d’autres domaines (th´eorie des nombres, reconnaissance algorithmique de plans, quasicristaux. . . ) qui permettront une int´egration du candidat dans une communaut´e dynamique et vari´ee.
Par ailleurs, il ne s’agit pas d’un objectif du type “tout ou rien”. Des r´esultats interm´ediaires int´eressants pourraient ˆetre obtenus (limites sur la g´en´eralit´e des substitutions ou des plans discrets, par exemple). Notons qu’un tel r´esultat est d´ej`a en passe d’ˆetre obtenu cette ann´ee par Victor, qui am´eliore avec Jarkko Kari la construction de [7] d’un pavage substitutif ayant une sym´etrie rotationnelle d’ordre n, ceci de sorte `a obtenir un pavage qui soit en plus un plan discret.
R´ ef´ erences
[1] P. Arnoux, M. Furukado, E. Harriss and S. ItoAlgebraic numbers, free group automorphisms and substitutions on the plane, Transactions of the American Mathematical Society 363 (2011), pp. 4651–4699.
[2] P. Arnoux and S. Ito, Pisot substitutions and Rauzy fractals, Bulletin of the Belgian Mathe- matical Society8 (2001), pp. 181–207.
[3] P. Arnoux, S. Ito, and Y. Sano,Higher dimensional extensions of substitutions and their dual maps, Journal d’Analyse Math´ematique 83(2001), pp. 183–206.
[4] Th. Fernique,Pavages, fractions continues et g´eom´etrie discr`ete, PhD thesis, Univ. Montpel- lier, 2007.
[5] E. Harriss,On Canonical substitution tilings, PhD thesis, Imperial College, London, 2004.
[6] E. Harriss and J. Lamb,Canonical substitution tilings of Ammann-Beenker type, Theoretical Computer Sciences319 (2004), pp. 241-279.
[7] J. Kari and M. Risannen,Sub Rosa, a system of quasiperiodic rhombic substitution tilings with n-fold rotational symmetry, Discrete & Computational Geometry55 (2016), pp. 972–996.
[8] R. Klette and A. Rosenfeld,Digital geometry : geometric methods for digital picture analysis, San Diego : Morgan Kaufmann, 2004.
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