Ag 2 : exercices corrigés
Le groupe symétrique est présent à l’oral de Centrale avec Python, et dans certains énoncés X-ens. Comme le montre l’énoncé suivant, même à l’oral des Mines on aborde prudemment ce sujet.
Exercice 1 (Oral Mines). Décomposer un n-cycle en composée de transpo- sitions.
Fait dans le cours. Procéder par récurrence surnpour décomposer(a1a2 . . . an) permet d’avoir un algorithme facile à retrouver.
Un exercice à faire absolument :
Exercice 2(Oral ens). Soitc= (a1a2 . . . am)un cycle dansSn (lesak sont des éléments de {1, . . . , n}, deux à deux distincts). Soit σ ∈ Sn. Déterminer σ◦c◦σ−1
Fait dans le cours. Très utile pour la résolution de certaines questions difficiles.
Exercice 3(Oral ens). Ne pas regarder l’énoncé suivant, cela « ruinerait » en partie la première question de cet exercice
1. Quel est le nombre minimal de permutations nécessaires pour engendrer Sn?
2. Siσest une permutation, siΩ1, . . . ,Ωpsont les orbites deσ, on note
N(σ) =
p
X
i=1
(|Ωi| −1)
Montrer que, siτ est une transposition,
N(τ σ) =N(τ σ)±1
3. Quel est le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrer Sn?
1. Question très discriminante : si on n’a pas fait l’exercice qui suit, on a peu de chances de penser tout de suite que deux permutations suffisent. Bien sûr, on commencerait par dire à l’interrogateur que les transpositions
engendrent Sn. Mais des transpositions, il y en a beaucoup (combien ? demande l’interrogateur. . .). Alors on peut regarder n = 3, et en dis- cussion avec l’interrogateur on progressera. Remarquons que l’exercice précédent (conjugaison) est bien utile.
2. Posonsτ= (a b). Décomposons σen « cycles disjoints », σ=γ1. . . γp
où chaqueγka pour supportΩk. On fait rentrer les points fixes éventuels deσdans cette décomposition de la manière évidente suivante : siσ(c) = c, on considère(c)comme un cycle de support{c}. Examinons deux cas :
• Siaet bsont dans la même orbite pourσ: on peut supposer c1= (a c1c2. . . cp b d1 d2. . . dq)
où pet/ou qpeuvent être nuls, et les autres cycles ne concernent pas a ni b. Alors
τ c1= (a c1 c2 . . . cp)(b d1 d2. . . dq) (1) (τ« casse » le cycle). Rien n’étant changé par ailleurs, on calcule que l’on a
N(τ σ) =N(σ) + 1
• Siaet bsont dans deux orbites différentes pourσ: on relit(1)sous la forme
τ (a c1 c2 . . . cp)(b d1 d2. . . dq) = (a c1 c2. . . cp b d1 d2. . . dq) (τ « soude » les cycles) et on obtientN(τ σ) =N(σ)−1.
3. Une décomposition classique de(1 2 . . . n)en transpositions, l’une d’elles étant(1 2), montre qu’il suffit de n−1transpositions. De plus, si
(1 2 . . . n) =τ1 . . . τp
alorsτp. . . τ1(1. . . n) =Id et, partant deN((1 . . . n)) =n−1, on a
(0 =)N(Id) =n−1 +1+· · ·+p
aveck=±1, ce qui donnep≥n−1. Le nombre cherché est doncn−1.
Exercice 4. Montrer que(1 2)et(1 2 . . . n)engendrentSn.
Il y a plusieurs manières de faire. Une technique intéressante (parce qu’on la re- trouve dans les questions les plus fréquemment posées surSn) est la récurrence.
L’initialisation (pourn= 2) ne pose aucun problème. Supposons le résultat vrai pourn. Plaçons-nous dansSn+1, notons τ= (1 2)et σ= (1 2 . . . n+ 1). Soit Gle sous-groupe de Sn+1 engendré par {τ, σ} (on note souvent G =hσ, τi).
Alorsστ σ−1∈G. Or
στ σ−1= (2 3)
On montre alors par récurrence (à l’aide de la même « conjugaison » parσ) que tous les(k k+ 1)(1≤k ≤n) sont dans G. Et aussi(1 n+ 1). Et donc aussi (1n+ 1)(1 2 . . . n+ 1), i.e. (1 2 . . . n). Par récurrence,Gcontient donc tous
les éléments deSn+1 qui fixent n+ 1. Maisσ(n) =n+ 1, σ2(n−1) =n+ 1 etc. . ., donc pour touteφ∈Sn+1 il existek telle queσk◦φfixen+ 1. On en déduit queφ=σ−kσkφ∈G.
Exercice 5(Oral X).
SoitGun groupe fini. On noteD(G)le sous-groupe engendré par
{xyx−1y−1 ; (x, y)∈G2}
On peut alors définir, par récurrence,Dn(G) pour tout n∈ N. On dit que G est résoluble lorsqu’il existen≥1 tel queDn(G) ={e}(eest l’élément neutre deG).
1. On suppose qu’il existe deux groupes N et K et deux morphismes de groupes i : N −→ G et s : G −→ K, respectivement injectif et surjectif, tels que Ker(s) =Im(i).
Montrer queGest résoluble si et seulement siN et Kle sont.
2. Montrer que tout produit de deux transpositions dansSn appartient au sous-groupe deAn engendré par les 3-cycles.
3. Calculer le produit de 3-cycles suivant (a, b, c, d, esont deux à deux dis- tincts) :
(a d c)(b e c)(a c d)(b c e) 4. Montrer que, sin≥5,Sn n’est pas résoluble.
1. L’idée de départ est simple : regarder comment se « transporte » D(G) par morphisme. Notons
X(G) ={xyx−1y−1 ; (x, y)∈G2}
Alors (commençons par s) :
s(X(G)) ={s xyx−1y−1
; (x, y)∈G2}
={s(x)s(y)s(x)−1s(y)−1 ; (x, y)∈G2} (morphisme)
={kk0k−1k0−1; (k, k0)∈K2} (surjectivité)
Doncs(X(G)) =X(K). Un sous-groupe deGcontenantD(G)est donc transformé par s en un sous-groupe de K contenant X(K). Et aussi, si H est un sous-groupe de K contenant X(K), alors s−1(H) est un sous-groupe deGcontenantX(G). Il n’est pas très difficile d’en déduire que s(D(G)) =D(K) (mais peut-être à l’oral faudrait-il s’expliquer un peu. . .s(D(G))est un sous-groupe deKcontenants(X(G)) =X(K); si H est un sous-groupe deKcontenantX(K),s−1(K)est un sous-groupe deGcontenantX(G), doncD(G)⊂s−1(K), doncs(D(G))⊂K).
s est donc un morphisme surjectif deD(G)dansD(K); une récurrence facile montre alors que, pour toutn≥1, s(Dn(G)) =Dn(K). Et donc
Si Gest résoluble,K l’est .
Regardons maintenant pouri: on voit facilement quei(X(N))⊂X(G), donc X(N) ⊂ i−1(X(G)). Donc i−1(D(G)) est un sous-groupe de N contenantX(N), et doncD(N)⊂i−1(D(G)), ce qui donne aussii(D(N))⊂ D(G). On a donciqui induit un morphisme injectif deD(N)dansD(G).
Et donc, par une récurrence facile, pour toutn≥1, i(Dn(N))⊂Dn(G). Et donc, via l’injectivité de i, SiGest résoluble,N l’est .
Supposons maintenantN etKrésolubles. Soitntel queDn(K) ={eK}.
Alors Dn(G) ⊂ Ker(s) = Im(i). Mais i induit un isomorphisme de N sur Im(i). Donc, comme vu plus haut, pour toutm ∈N,i(Dm(N)) = Dm(Im(i)). Il existe doncmtel queDm(Im(i)) ={eG}. Facilement, on montre que siGest un sous-groupe deG0alorsD(G)est un sous-groupe deD(G0), on obtient alors queDm+n(G) ={e}d’où la résolubilité deG.
Question difficile.
