• Aucun résultat trouvé

Ag 2 : exercices

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Ag 2 : exercices"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Ag 2 : exercices

Le groupe symétrique est présent à l’oral de Centrale avec Python, et dans certains énoncés X-ens. Comme le montre l’énoncé suivant, même à l’oral des Mines on aborde prudemment ce sujet.

Exercice 1(Oral Mines). Décomposer unn-cycle en composée de transpositions.

Un exercice à faire absolument :

Exercice 2 (Oral ens). Soit c = (a1 a2 . . . am) un cycle dans Sn (les ak sont des éléments de{1, . . . , n}, deux à deux distincts). Soit σ∈Sn. Déterminerσ◦c◦σ−1

Exercice 3(Oral ens). Ne pas regarder l’énoncé suivant, cela « ruinerait » en partie la première question de cet exercice

1. Quel est le nombre minimal de permutations nécessaires pour engendrerSn? 2. Siσest une permutation, siΩ1, . . . ,Ωp sont les orbites deσ, on note

N(σ) =

p

X

i=1

(|Ωi| −1)

Montrer que, siτ est une transposition,

N(τ σ) =N(τ σ)±1

3. Quel est le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrerSn?

Exercice 4. Montrer que(1 2)et (1 2 . . . n)engendrentSn.

Exercice 5(Oral X).

SoitGun groupe fini. On noteD(G)le sous-groupe engendré par

{xyx−1y−1; (x, y)∈G2}

On peut alors définir, par récurrence, Dn(G) pour tout n ∈ N. On dit que G est résoluble lorsqu’il existen≥1 tel queDn(G) ={e}(eest l’élément neutre deG).

1. On suppose qu’il existe deux groupesN et K et deux morphismes de groupes i : N −→ Get s : G −→ K, respectivement injectif et surjectif, tels que Ker(s) =Im(i).

Montrer queGest résoluble si et seulement siN etK le sont.

2. Montrer que tout produit de deux transpositions dansSn appartient au sous- groupe deAn engendré par les 3-cycles.

3. Calculer le produit de 3-cycles suivant (a, b, c, d, esont deux à deux distincts) :

(a d c)(b e c)(a c d)(b c e) 4. Montrer que, sin≥5,Sn n’est pas résoluble.

1

Références

Documents relatifs

Proposez une correction de l’exercice comme vous le feriez devant une classe de première scientifique en vous appuyant éventuellement sur un logiciel. Présentez deux ou trois

[r]

Corollaire: La signature de  est (-1) k où k est le nombre de transpositions rentrant dans la décomposition de . La parité de ce nombre ne dépend pas de la

Le baromètre de Torricelli est composé d’un tube, rempli de mercure retourné sur une cuve, contenant également du mercure. L’atmosphère, qui exerce une

Un récipient, muni d’un piston mobile de masse négligeable pouvant se déplacer sans frottement, contient un gaz parfait occupant initialement un

On considère un extrait d’une table thermodynamique d’un fluide très utilisé dans les installations

On veut accélérer la circulation d’un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des