Ag 2 : exercices
Le groupe symétrique est présent à l’oral de Centrale avec Python, et dans certains énoncés X-ens. Comme le montre l’énoncé suivant, même à l’oral des Mines on aborde prudemment ce sujet.
Exercice 1(Oral Mines). Décomposer unn-cycle en composée de transpositions.
Un exercice à faire absolument :
Exercice 2 (Oral ens). Soit c = (a1 a2 . . . am) un cycle dans Sn (les ak sont des éléments de{1, . . . , n}, deux à deux distincts). Soit σ∈Sn. Déterminerσ◦c◦σ−1
Exercice 3(Oral ens). Ne pas regarder l’énoncé suivant, cela « ruinerait » en partie la première question de cet exercice
1. Quel est le nombre minimal de permutations nécessaires pour engendrerSn? 2. Siσest une permutation, siΩ1, . . . ,Ωp sont les orbites deσ, on note
N(σ) =
p
X
i=1
(|Ωi| −1)
Montrer que, siτ est une transposition,
N(τ σ) =N(τ σ)±1
3. Quel est le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrerSn?
Exercice 4. Montrer que(1 2)et (1 2 . . . n)engendrentSn.
Exercice 5(Oral X).
SoitGun groupe fini. On noteD(G)le sous-groupe engendré par
{xyx−1y−1; (x, y)∈G2}
On peut alors définir, par récurrence, Dn(G) pour tout n ∈ N. On dit que G est résoluble lorsqu’il existen≥1 tel queDn(G) ={e}(eest l’élément neutre deG).
1. On suppose qu’il existe deux groupesN et K et deux morphismes de groupes i : N −→ Get s : G −→ K, respectivement injectif et surjectif, tels que Ker(s) =Im(i).
Montrer queGest résoluble si et seulement siN etK le sont.
2. Montrer que tout produit de deux transpositions dansSn appartient au sous- groupe deAn engendré par les 3-cycles.
3. Calculer le produit de 3-cycles suivant (a, b, c, d, esont deux à deux distincts) :
(a d c)(b e c)(a c d)(b c e) 4. Montrer que, sin≥5,Sn n’est pas résoluble.
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