Master de Mathématiques

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Algèbre commutative et géométrie algébrique Corrigé de l’épreuve du mercredi 11 avril 2018

Début 8h40 - Durée 1h

La consultation de document et l’utilisation d’outil sont autorisées. Bon courage.

Pourn ∈N, on pose

Fn:=Y²+X²(X−1)²ⁿ⁺¹ ∈C[X, Y] et on désigne parC_n la courbe d’équation F_n= 0.

1) (2 points) Montrer queC_nest irréductible et déterminer son idéal de définition.

Réponse : Le polynôme −X²(X −1)²ⁿ⁺¹ n’est pas un carré car il est de degré impair. Il suit que F_n n’a pas de racine dans C(X). Étant de degré 2, il est nécessairement irréductible sur ce corps. S’il était réductible sur C[X], ses coefficients auraient alors nécessairement un facteur commun. Puisque F_n est unitaire, c’est donc un polynôme irréductible. Enfin, C étant algébriquement clos, cela implique queC_n est irréductible et que I(C_n) = (F_n).

2) (2 points) Calculer dF_n

dX et dF_n dY . Réponse : On a

dF_n

dX = 2X(X−1)²ⁿ⁺¹+ (2n+ 1)X²(X−1)²ⁿ

=X(2(X−1) + (2n+ 1)X)(X−1)²ⁿ

=X((2n+ 3)X−2)(X−1)²ⁿ

et dF_n

dY = 2Y.

3) (2 points) Montrer que l’origineOest un point singulier deC_ndont on donnera la multiplicité ainsi que les tangentes en ce point.

Réponse : On a

F_n≡Y² + (−1)²ⁿ⁺¹X² =Y²−X² mod (X, Y)³.

La partie homogène de plus bas degré est doncY²−X² = (Y −X)(Y +X). On voit donc queOest un point double avec deux tangentes distinctes d’équations Y =±X.

4) (4 points) Calculer la multiplicité d’intersection de C_n et C_n+k en O lorsque k >0.

1

Réponse : On calcule d’abord

F_n+k−F_n =X²(X−1)^2(n+k)+1−X²(X−1)²ⁿ⁺¹

=(X−1)^2k−1X²(X−1)²ⁿ⁺¹

=G_kX³(X−1)²ⁿ⁺¹ avec

Gk=

2k

X

i=1

(−1)ⁱ 2k i

!

Xⁱ⁻¹,

et on remarque queG_k(O) =−2k 6= 0. On voit donc queO est un point triple de la courbe D_n,k d’équation F_n+k −F_n = 0 et que l’axe des Y est l’unique tangente en ce point. Comme la multiplicité d’intersection ne change pas si on remplace F_n+k par F_n+k−F_n, on a

(C_n·C_n+k)_O = (C_n·D_n,k)_O= m_O(C_n)×m_O(D_n,k) = 6.

5) (2 points) Montrer que si n > 0, alors C_n possède un unique autre point singulier I (qui ne dépend pas de n) que l’on déterminera.

Réponse : On doit résoudre le système







Y² +X²(X−1)²ⁿ⁺¹ = 0

X((2n+ 3)X−2)(X−1)²ⁿ= 0 2Y = 0

,

ou, de manière équivalente, puisque n >0,

( X(X−1) = 0

Y = 0 .

On trouve donc bien, hormis l’origine, l’unique point I := (1,0).

6) (4 points) Déterminer la multiplicité de I dans C_n ainsi que les tangentes en ce point.

Réponse : On aF₀(I) = 0, (dF₀/dX)(I) = 1 et (dF₀/dY)(I) = 0 si bien que I est un point non-singulier de C₀, c’est à dire de multiplicité 1, et la tangente est verticale en ce point. Lorsquen >0, on a

F_n(1 +X, Y) = Y²+ (X+ 1)²X²ⁿ⁺¹ ≡Y² mod (X, Y)³

si bien queI est un point double de C_n et que l’axe des X (qui ne change pas si on fait une translation horizontale) est l’unique tangente en ce point.

7) (4 points) Calculer la multiplicité d’intersection de Cn et Cn+k en I lorsque k >0.

Réponse : On reprend le calcul ci-dessus qui nous donne

F_n+k(1 +X, Y)−F_n(1 +X, Y) = X^2k−1(X+ 1)²X²ⁿ⁺¹, 2

et le même raisonnement nous fournit

(C_n·C_n+k)_I = 2×(2n+ 1) = 4n+ 2 (qui fonctionne aussi lorsque n= 0).

8) (bonus) Déterminer les points en lesquels C_n possède une tangente horizontale ou verticale.

Réponse : En O, les tangentes ne sont ni horizontales ni verticales. En I, il y a une tangente verticale sin = 0 et une tangente horizontale si n > 0. Afin de déterminer les autres points en lesquels les tangentes seraient horizontales ou verticales, on doit résoudre les systèmes

( Y²+X²(X−1)²ⁿ⁺¹ = 0

X((2n+ 3)X−2)(X−1)²ⁿ= 0 et

( Y²+X²(X−1)²ⁿ⁺¹ = 0

2Y = 0 .

Puisque nous avons exclus les pointsO etI, nous voyons immédiatement qu’il n’y a aucune autre tangente verticale mais nous découvrons deux nouvelles tangentes horizontales aux points d’abaisse 2

2n+ 3. On calcule les ordonnées avec la formule

Y²+

2 2n+ 3

2 2

2n+ 3 −1

2n+1

= 0.

On trouve donc les points 2

2n+ 3,±2(2n+ 1)^n+1/2 (2n+ 3)^n+3/2

!

.

3