Chapitre 9 Barycentre Leçon 33 Barycentre de deux points

5. FONCTION LOGARITHME | 108

Chapitre 9 Barycentre

Leçon 33 Barycentre de deux points Le principe des leviers

Le principes des leviers affirme que la balance ci-dessus est en position équilibre lorsque :

BG m

AG

m₁ = ₂

Vectoriellement, on a : 2AG =3BG ou 2AG =−3GB ou 2 3 0

= + GB

AG .

On dit que G est me barycentre de A et B affectés respectivement des masses m₁ et m2.

1. Point pondéré (ou point massif)

Soit A et B des points du plan. La notion

(

A,

)

, où  est un nombre réel, signifie que le point A est affecté du coefficient  (on dit aussi du poids , positif ou négatif).

Le couple

(

A,

)

s’appelle alors un point pondéré.

2. Barycentre de deux points pondérés Définition

Soit

(

A,

)

et

(

B,

)

deux points pondérés tels que + 0. On appelle barycentre de

(

A,

)

et

(

B,

)

le point G défini par :

0

= + GB GA 

 .

On note : G bar ^{A B}

=  

Exemple : Construire le barycentre G des points

(

A,

)

et

(

B,

)

dans chacun des cas suivants.

a. =3,  = −2

b. =3, = −3

Solution a. =3,  = −2

On a : +=3−2=10 donc le barycentre G existe.

On a :

3 2

A B G=bar

− 3GA−2GB=0

5. FONCTION LOGARITHME | 109

( )

3 2 0

3 2 0

3 2 2 0

2 0

2 GA GB GA GA AB GA GA AB GA AB

GA AB

− =

− + =

− − =

− =

=

ດ ັ່ງຮູບ

b.  =3,  = −3

Comme + =3−3=0 donc le barycentre n’est pas défini.

Propriété

Le barycentre ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) les coefficients de chaque point par un même réel non nul.

Exemple : Construire le barycentre G du système de points

(

^A;−2

)

,

(

^B;−4

)

. Solution

On a :

2 4

A B G=bar

− −  −2GA−4GB=0

2 4 4 0

6 4 0

6 4

6 4

3 2

GA GA AB GA AB GA AB AG AB AG AB

− − − =

− − =

− =

=

=

On divise les coefficients de A et B par −2, on a :

'

1 2

A B

G =bar G A' +2 'G B=0

' 2 ' 2 0

3 ' 2 0

3 ' 2

G A G A AB G A AB G A AB

+ + =

+ =

= −

ou 3AG'=2AB montre que G=G'. 3. Situation du barycentre

Théorème

Soit G le barycentre de

(

A,

)

et

(

B,

)

.

Le barycentre G de deux points distincts appartenant à la droite

( )

^AB . - si  et  sont de même signe, Gappartenant au segment

 

AB .

- si  et  sont de signe contraires, G est à l’extérieur du segment

 

AB . - de A et de B, le point le plus près du barycentre est celui dont le

coefficient a la plus grande valeur absolue.

- si  =0, alors G est en B, et si  =0 G est en A.

- si = , G est le milieu du segment

 

^AB . On dit alors que G est

5. FONCTION LOGARITHME | 110

l’isobarycentre de A et B. Exemple :

a.

2 3

A B

G=bar ,  



  





=

= 3 2

b. 3 2

A B

G=bar ,  



  





=

= 2 3

c. 5 3

A B G=bar

− ,  



  





−

=

= 3 5

d. 3 5

A B G=bar

− ,  



  





−

=

= 5 3

4. Réduction de MA+MB

Théorème

Soit

(

A,

)

et

(

^B,

)

deux points pondérés avec + 0, et G le barycentre de

(

A,

)

et

(

B,

)

.

Pour tout point M du plan, on a :

(

^{MG GA}

) (

^{MG GB}

)

MB

MA+ = + + +



=MG+GA+MG+GB

=

(

+

)

^MG+^GA+^GB

⁼

(

^{ +}

)

^MG+0

( )

^MG

MB

MA   

 + = +

Soit MA MB MA MB

MG  

















+ +

= + +

= +

MG MA MB













+ +

= +

5. Coordonnées du barycentre

Dans le plan rapporté à un repère

(

^O;i,j

)

, considérons les points A

(

x_A,y_A

)

,

(

x_B y_B

)

B , et ^G

(

^x_G^,y_G

)

, où G est le barycentre de

(

A,

)

et

(

B,

)

. En choisissant M =O dans le théorème précédent, on obtient :

OB OA

OG  









+ +

= + .

Soit, en passant aux coordonnées :









+

= + +

= +

















B A G

B A G

y y y

x x x

5. FONCTION LOGARITHME | 111

Exemple : Dans le plan muni du repère

(

^O;i,j

)

, on donne les points ^A

(

^−1;3

)

et ^B

( )

^2;1 . Déterminer les coordonnées du barycentre G de

(

^{A, 2}

)

et

(

^{B, 1−}

)

.

On obtient :

( ) ( ) ( )

2 1 1 2

2 1 4 xG  − + − 

= = −

+ − et

( )

( )

2 3 1 1

2 1 5 yG  + − 

= =

+ −

On a bien donc ^G

(

^−4;5

)

.

5. FONCTION LOGARITHME | 112

Exercices

1. Soit A et B deux points distincts et G le barycentre de

(

A,3

)

,

(

B,2

)

.

Quelles sont parmi les propositions suivantes celles qui sont vraies ? celles qui sont fausses ?

a. L’abscisse de G dans le repère

(

^A,B

)

est

5 2. b. BG BA

5

=3 . c. 2AB =5AG

d. G est le barycentre de

(

A,6

)

,

(

B,4

)

. e. GA GB AB

5

=1 +

2. Construire dans chacun des cas suivants le barycentre de A et ^B

(

^A^B

)

. a.

( ) (

^{A,1 , B, 4}

)

b.

( ) (

^{A,1 , B, 2−}

)

c.

(

^{, 2 ,}

)

^,1

A B 2

 

 

d. ^{,1 ,}

(

^{, 2}

)

A 2 B

  −

 

 

e. ,³ , , ²

2 3

A B

   − 

   

   

f.

(

^{A; 0, 002 ,}

) (

^{B; 0, 004}

)

3. Soit les points ^A

( )

^{4;3 et B}

(

− −^{1; 2}

)

.

a. Calculer les coordonnées de G, barycentre de

(

^{A, 2}

)

et

(

^{B, 3}

)

. b. Montrer que le point C

(

5,4

)

est située sur la droite

( )

^AB .

c. Trouver deux nombres  et  tels que C soit barycentre de

(

^A,

)

et

(

^B,

)

. Indication : Calculer les coordonnées de CA et CB.

4. On considère les points ^A

( )

^1;3 et ^B

( )

^2;1 et l’on désigne par P le barycentre de

(

^{A, 1−}

)

et

(

^{B, 3 ,}

)

^Q le barycentre de

(

^{A, 2}

)

et

(

^{B, 1 .−}

)

Vérifier de P et Q sont les points d’intersection de la droite

( )

^AB avec les axes de coordonnées.