ENDOMORPHISMES TRIGONALISABLES. ENDOMORPHISMES NILPOTENTS.

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�� ENDOMORPHISMES TRIGONALISABLES. ENDOMORPHISMES NILPOTENTS.

SoitKun corps commutatif,EunK-espace vectoriel de dimension finienœN^ú.

I. Généralités

I. A. Rappels sur l’étude d’endomorphismes

^[MM��]

Soitf œL(E).

D��. [�� ]

Ïf :K[X]≠æK[f], P ‘≠æP(f)est un morphisme d’algèbres. Son noyau est un idéal de K[f]engendré par un unique polynôme unitaireﬁfappelé polynôme minimal def. P��. On adim(K[f]) = deg(ﬁf).

E��. Polynômes minimaux usuels [�� ]

P��. Soientf, gœL(E)tels quefetgcommutent. Alorsker(f)etIm(f)sont stables parg. En particulierker(P(f))etIm(P(f))sont stables parfpour toutP œK[X].

L��. [�� ]

Soit(Pi)1ÆiÆrune famille de polynômes deux à deux premiers entre eux etf œ L(E). Alors en posantP=rr

i=1Pi, on aker(P(f)) =mr

i=1ker(Pi(f)).

De plus, le projecteur deker(P(f))sur l’un de ces sous-espaces parallèlement à la somme des autres est un polynôme enf.

A��. SoitPannulateur def. SiP =rr

i=1P_i^–ⁱoù les(Pi)1ÆiÆrsont deux à deux premiers, alors on a la décomposition en sous-espacesf-stablesE=mr

i=1ker(P_i^–ⁱ(f)).

D��. [�� ]

On définit le polynôme caractéristique deM œ Mⁿ(K)par‰M(X) = det(XIn ≠M).

Deux matrices semblables ayant même polynôme caractéristique, on définit le polynôme caractéristique def.

E��. Polynômes caractéristiques usuels [�� ]

P��. [�� ]

⁄œKest une valeur propre defsi et seulement si‰f(⁄) = 0si et seulement siﬁf(⁄) = 0.

T��. [�� C��-H��]

‰fest un polynôme annulateur def. Autrement dit,ﬁf |‰f.

I. B. Noyaux itérés

[MM��, ChII/IV, p��]

P��. La suite(ker(f^k))kœNest croissante stationnaire et on a :

’kœN,dim(ker(f^k+1)) = dim(ker(f^k)) + dim(ker(f)ﬂIm(f^k))

C��. La suite(dim(ker(f^k+1))≠dim(ker(f^k)))_kœNest décroissante.

D��. p= min()

qœN|’kœN,ker(f^q+k) = ker(f^q)*)est appelé indice def. P��. pÆnet on aE= ker(f^p)üIm(f^p).

II. Endomorphismes nilpotents

[MM��, ChI/II/IX/X, p�/��/��/��]

D��. f œL(E)est nilpotent sif^p= 0, oùpest l’indice (de nilpotence) def.

Soitfnilpotent d’indicer.

A��. On a alorsﬁf =X^pet‰f=Xⁿ.

P��. On apÆnet on a égalité si et seulement sidim(ker(f)) = 1.

A��. Sifest nilpotent d’inciden, il existe une baseBdeEtelle que :

M_B(f) =Jn= Q cc cc a

0 . . . 0

1 0

0 1 ... ... ... ... ... 0

0 . . . 0 1 0

R dd dd b En particulier,fest trigonalisable.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

E��. Sin= 3:

• soitp= 1, alorsf = 0,

• soitp= 2, alorsdim(ker(f)) = 2,

• soitp= 3, alorsdim(ker(f)) = 1.

P��. fest trigonalisable, avec une diagonale de0.

P�� ��. Si K = R ou C, g œ L(E) est nilpotent si et seulement si

’kœ N^ú,Tr(g^k) = 0.

E��. SiK=Fp, le résultat est faux, prenantg= Id_(Fp)^p.

III. Trigonalisation

[MM��, ChIX]

III. A. Caractérisation

D��. f œ L(E)est trigonalisable s’il existe une base deE dans laquelle la matrice defsoit triangulaire.

P��. Sifest trigonalisable, les coe�icients diagonaux de sa matrice dans une base adaptée sont les valeurs propres def. Notant(⁄i)1ÆiÆrses valeurs propres, chacune de multiplicité algébriquema(⁄i), on a :

Tr(f) = ÿr i=1

ma(⁄i)⁄i et det(f) = Ÿr i=1

⁄^m_i ^a^(⁄ⁱ⁾

T��. fest trigonalisable si et seulement si‰fest scindé si et seulement siﬁfest scindé si et seulement sifadmet un polynôme annulateur scindé.

C��. SiK = Cou est algébriquement clos, tout endomorphisme deL(E)est trigonalisable.

E��. La matrice3 0 ≠1

1 0

4

est trigonalisable surCmais par surR. A��. PourAœMⁿ(C), on adet(exp(A)) = exp(Tr(A)).

C��. Sifest trigonalisable et siFest un sous-espacef-stable deE, alorsfFest trigonalisable.

III. B. Co-trigonalisation

L��. Soientf, gœL(E)tels quefetgcommutent. Alors les sous-espaces propres de fsontg-stables.

P�� ��. Soit(fk)1ÆkÆN une famille d’endomorphismes trigonalisables com- mutant deux à deux. Alors il existe une base commune de trigonalisation (on dit que les (fk)1ÆkÆN sont co-trigonalisables).

E��. Soient(fk)1ÆkÆndes endomorphismes nilpotents qui commutent deux à deux.

Alorsf1. . . fn= 0.

P��. SoitK=C. Soientf, gœL(E)trigonalisables tels quef g = 0. Alorsf etgsont co-trigonalisables.

P��. SoitK = C. Soientf, g œ L(E)trigonalisables tels quef g ≠gf = –f +—gpour un couple(–,—)œK². Alorsfetgsont co-trigonalisables.

IV. Utilisations d’endomorphismes nilpotents/trigonalisables

IV. A. Décomposition de D��

[MM��, Ch��] [Gou��, §�.�, p��]

T��. [�� D��]

Soitf œL(E)de polynôme caractéristique scindé. Alors il existe un unique couple(d, n)œ L(E)²tel quedest diagonalisable,nest nilpotent,f =d+netdcommute avecn.

De plus,detnsont des polynômes enf.

A�� ��. Soit M œ Mⁿ(K)de polynôme caractéristique scindé. On note µ₁, . . . , µnlesnracines de‰M(comptées sans leur multiplicité). Soit(D, N)la décompo- sition deD��deM. SoitP œGLⁿ(K)telle queP^≠1DP = = diag(µ1, . . . , µn)soit diagonale. Alors on a :

exp(A) =Pdiag(e^µ¹, . . . ,e^µⁿ)P^≠1

n≠1

ÿ

k=0

N^k k!

E��.

A _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

B

=I3+

A _{0 1 0}

0 0 1 0 0 0

B A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B

=

A _{1 1 1}

0 1 1 0 0 3

B +

A _{0 0 0}

0 0 0 0 0 0

B

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exp

AA _{1 1 0}

0 1 1 0 0 1

BB

=

A _{e e e}_/2

0 e e 0 0 e

B

E��. Un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul.

A��. Résolution de l’équation di�érentielleY^Õ =AY pourAœMⁿ(C).

IV. B. Réduction de J��

[MM��, ChX] [Rom��, Ch��, p��–��]

L�� ��. Soit f nilpotent d’indice r. Soit x œ/ ker(f^r≠1). Posons Fx = Vect()x, f(x), . . . , f^r≠1(x)*).

• Fxestf-stable etB^x=)x, f(x), . . . , f^r^≠1(x)*en est une base,

• Fxadmet un supplémentairef-stable.

P��. [�� J�� ’�� ]

Soitf œL(E)nilpotent. Il existe des entiersd1Ø· · ·Ød¸tels que dans une certaine base BdeE,M_B(f)soit diagonale par blocs avec les blocs(Jrk)1ÆkÆ¸.

T��. [�� J��]

Soitf œL(E)de polynôme caractéristique scindé. Notons⁄1, . . . ,⁄rses valeurs propres.

Il existe des entiersdj,1Ø· · ·Ødj,¸jpourjœJ1, rKtels que dans une certaine baseBde E,M_B(f)soit diagonale par blocs avec les blocs(Bj, k)1ÆjÆr

1ÆkÆ¸j

, oùBj, k=⁄jIdj, k+Jdj,k

avecJd =C(X^d)œM^d(K).

E��.

Q cc a

≠1 ≠1 0 0

0 ≠1 0 0

0 2 0 ≠1

0 2 2 3

R dd

best semblable à Q cc a

≠1 1 0 0 0 ≠1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

R dd b.

T��. Deux endomorphismes trigonalisables sont semblables si et seulement si ils ont même réduction deJ��.

D��. [�� Y��]

Le tableau deY��associé à une suite d’entiersd₁ Ø · · · Ød¸est un tableau à¸lignes telles que chaque ligneicomportedicases.

A un endomorphisme nilpotentf, on peut donc associer un unique tableau deY��asso- cié à cet endomorphisme via sa réduction deJ��.

Plus généralement, sif est trigonalisable, de valeurs propres⁄1, . . . ,⁄r, on lui associe les rtableaux deY�� associés auxrvaleurs propres comme le tableau deY��de fNi≠⁄iIdNioùNi = ker(f≠⁄iid)^m^a^(⁄ⁱ⁾.

P��. Deux endomorphismes nilpotents (resp. trigonalisables) sont semblables si et seulement si ils ont même tableau deY��(resp. ils ont même valeurs propres et mêmes tableaux deY��associés à chacune des valeurs propres).

E��. [�� ’�� Y��]

Soitfnilpotent. Regardons son tableau deY��:

• les cases du tableau s’interprètent comme les éléments d’une base dans laquelle la matrice defest la forme réduite deJ��.

Lai-ième ligne est associée au bloc deJ��de tailledi. Si on prendxtel queFxest le sous-espace associé à ce bloc, alors les cases de la ligneiparcourues de gauche à droite sont associées à la basef^dⁱ^≠1(x), . . . , f(x), xdeFx,

• pour trouver les sous-espaces associés àIm(f^k), il su�it d’enlever leskdernières cases de chaque ligne,

• pour trouver les sous-espaces associés à ker(f^k), on garde lesk premières cases de chaque ligne,

• de ces deux dernières observations on déduit facilementdim(Im(f^k))etdim(ker(f^k)),

• l’indice de nilpotence est le nombre maximal de cases sur une ligne.

A��. Soientf, g œ L(E)nilpotents ayant même polynôme minimal et même rang. Alors sinÆ6,fetgsont semblables. En dimension7, on a un contre-exemple : considérer les tableaux(3,2,2)et(3,3,1).

A��. Il y a autant de classes de similitudes de matrices nilpotentes que de parti- tions den.

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��

Polynômes minimaux et caractéristiques usuels

SoitFun sous-espace vectoriel de dimension1ÆpÆn≠1.

f ﬁf ‰f

nilpotent d’indicek X^k Xⁿ

homothétie de rapport⁄ X≠⁄ (X≠⁄)ⁿ projecteur surF X²≠X (X≠1)^pX^n≠p symétrie par rapport àF X²≠1 (X≠1)^p(X+ 1)ⁿ^≠^p Tableaux deY��

��

Les endomorphismes trigonalisables sont très intéressants à étudier car leur structure permet une simplification des manipulations (le produit de matrices triangulaires supérieures reste une matrice triangulaire supérieure, on a les valeurs propres sur la diagonales, ...).

Leur étude nous amène d’abord à regarder le cas des endomorphismes nilpotents. Le lien entre les deux arrive avec la décomposition deD��.

��

Cette leçon est sensée amener versJ��.

��

Q Soientf, gœL(E). Montrer que si[[f, g], f] = 0, alors[f, g]est nilpotent.

R On a :

Tr([f, g]ⁿ) = Tr([f, g]ⁿ^≠1[f, g]) = Tr([f, g]ⁿ^≠1(f g≠gf))

= Tr([f, g]^n≠1f g)≠Tr([f, g]^n≠1gf)

= Tr(gf[f, g]ⁿ^≠1)≠Tr([f, g]ⁿ^≠1gf) = 0 Il reste à appliquer la proposition��.

Q À quoi correspond l’espace vectoriel engendré par les nilpotents?

R Cet espace ne contient pas d’élément inversible, car0est valeur propre de chacun de ses éléments. Tous les éléments de l’ensemble ont une trace nulle, carTr(n1+n₂) = 0. On va montrer qu’en fait ce sont tous les éléments de trace nulle. En e�et, matriciellement, les matrices de trace nulle sont de dimensionn²≠1, et la dimension de notre espace vectoriel est au moinsn²≠ncar(Ei j)i”=jest une famille libre de notre espace, tout comme les matrices (diag(0, . . . ,0,3 1 ≠1

1 ≠1 4

,0, . . . ,0))1ÆiÆn≠1où le bloc non nul est en positioni, et les

deux familles considérées sont libres entre elles. On a donc une famille libre de dimension n²≠1, ce qui conclut.

Q Montrer que la décomposition de D�� reste valable pour toute matrice réelle, et qu’alorsDetNsont réelles.

R SoitM œMⁿ(R). Elle est trigonalisable surC, donc on écritM =D+Nsa décomposition deD��. On a alorsD+N =M =M =D+Ndonc par unicitéDetNsont bien réelles.

Q TrigonaliserM = Q

a 2 2 ≠3 5 1 ≠5

≠3 4 0 R b.

R On calcule‰M = (X ≠1)³. On trouvee₁= (1,1,1)^€ œker(M≠I₃)ete₂ = (1,1,0)^€ œ ker(M ≠I3)². Complétant en une base(e1, e2, e3), la matrice dans cette base est triangulaire.

��

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[MM��] R.M��et R.M��:Algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes. De Boeck,

�^èmeédition,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

￿￿￿ ENDOMORPHISMES TRIGONALISABLES. ENDOMORPHISMES NILPOTENTS.