Ex. 8.2 p. 277 # 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Ex 8.2 : p. 277
1. Compléter la définition suivante.
La droite d’équation y = b, où
b ∈ R
, est une asymptote horizontale de la courbe de f si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :f x b
x
=
−∞
→
( )
lim
ouf x b
x
=
+∞
→
( )
lim
2. Soit f, définie par le graphique ci-contre.
a) Évaluer les limites suivantes : i)
lim f ( x )
x→−∞
= 2
ii)lim f ( x )
x→+∞
= − 3
b) Donner les équations des asymptotes horizontales.
3
2 = −
= et y y
3. a) Tracer un graphique qui répond aux deux conditions suivantes : i)
lim f ( x ) 2
x
=
−∞
→ ii)
lim f ( x ) 1
x
= −
+∞
→
b) Donner les équations des asymptotes horizontales.
1
2 = −
= et y y
4. Déterminer si les limites suivantes sont indéterminées. Évaluer ces limites.
a)
lim ( 7 x
34 x
27 x 1 )
x
− + −
−∞
→
= −∞
b)
lim ( 7 x
34 x
27 x 1 )
x
− + −
+∞
→ , indétermination de forme
− ∞ , +∞
= +∞
− + −
=
→+∞ 2 33
4 7 1
7
lim x x x x
x
c)
lim ( x
24 x
3)
x
+ +
−∞
→ , indétermination de forme
− ∞ , +∞
−∞
=
+
+
= −
+
+
−
=
+
+
=
+
+
= →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ 4 1
1 1 4 lim
1 4 lim
1 4 lim
1
lim 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x
5. Déterminer, si possible, les asymptotes horizontales de chacune des fonctions suivantes, en explicitant les étapes du calcul, lorsque la limite est indéterminée.
a)
x 1
7 3 ) x (
f = − +
+ =
− + =
−
+∞
→
∞
→
1 7 7 3
lim
1 7 7 3
lim x x
x
x , donc y = 7 est une asymptote horizontale.
b)
5 x 4 x 1
1 x ) 3
x (
f
22
+ +
= −
=
+ +
− + =
+
−
=
+ +
− + =
+
−
−∞
→
−∞
→
∞
→
∞
→
5 3 1 5 4
3 1 1 lim
4 5
1 lim 3
5 3 1 5 4
3 1 1 lim
4 5
1 lim 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
, donc y = 3/5 est une asymptote horizontale.
c)
7 x 1
x ) 4 x (
f
23
= +
−∞
=
+ + =
∞
=
+ + =
−∞
→
−∞
→
∞
→
∞
→
2 2
3 2
3
2 2
3 2
3
7 1 lim 4 1 7 lim 4
7 1 lim 4 1 7 lim 4
x x x x
x
x x x x
x
x x
x x
, donc il n’y a pas d’asymptote horizontale.
d)
9 x
1 x ) 4 x (
f
2+
= +
9 4 1 4 1 9 lim
1 4 1 9 lim
1 4 1 9 lim
1 lim 4
9 4 1 4 1 9 lim
1 4 1 9 lim
1 4 1 9 lim
1 lim 4
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
−
=
+
−
+
=
+
+
=
+
+ + =
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+ + =
+
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x
x x
x x
donc y = 4 et y = -4 sont des asymptotes horizontales.
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6. Déterminer, si possible, les asymptotes horizontales des fonctions suivantes et donner l’esquisse du graphique de la fonction près de ces asymptotes.
a) 4
3
2)
( x x
x x
f −
= −
0 x x
x 1
) 3 ( lim x x
x x lim 3
0 x x
x 1
) 3 ( lim x x
x x lim 3
2 2
2 4 x
2 x
2 2
2 4 x
2 x
=
−
= −
−
−
=
−
= −
−
−
+∞
→ +∞
→
∞
→
−∞
→
, donc y = 0 est une asymptote horizontale
b)
f ( x ) = 5 + x 1
x 5 5 1 lim
x 5 5 1 lim
x x
= +
= +
+∞
→
−∞
→ , donc y = 5 est une asymptote horizontale
c)
3
x 1 ) x
x (
f =
2− −
; D =x ≥ 1
3 3 0 x 3
x 1 x x 1 lim x 3
1
lim x 2 2
2 x
x − = − =−
−
=
− −
+∞
→ +∞
→ , donc y = -3 est une asymptote horizontale
d)
x
1 x 5 4
) x ( f
2
+
−
=
3 2 x 5
x 4 1 x 5 x lim
x 4 1 x 5 x lim
1 x 5 4 lim
7 2 x 5
x 4 1 x 5 x lim
x 4 1 x 5 x lim
1 x 5 4 lim
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
=
−
= +
−
= +
− + =
−
= +
= +
−
−
= +
− + =
−
+∞
→ +∞
→ +∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
, donc y = 7 et y = 3 sont des asymptotes horizontales
e) 8 4
2 8
x x 4
1 x 2 x ) 7 x (
f +
+
= +
4 7 x
4 1 x
x 1 x 7 2 x x lim
x 4
1 x 2 x lim 7
4 7 x
4 1 x
x 1 x 7 2 x x lim
x 4
1 x 2 x lim 7
4 8
8 6 8
4 x 8
2 8 x
4 8
8 6 8
4 x 8
2 8 x
=
+
+ +
+ = + +
=
+
+ +
+ = + +
−∞
→ +∞
→
−∞
→
−∞
→
, donc y = 7/4 est une asymptote horizontale
f)
5 x
) 7 x (
f = −
, D=x ≤ 5
x 0 5 lim 7 x 5 lim 7x
x =
= −
− →−∞
−∞
→
, donc y = 0 est une asymptote horizontale
g)
4 3 3 2
x 4
x ) x
x ( f
+
= +
, D=x ≥ 0
∞
=
=
+
+
=
+
+
= +
+
+∞ +
− →
−
+∞
→ +∞
→ 0
1
x 1 x 4
1 x
1 lim x x
x 4
1 x x lim x
4 x lim x
4 1 3 1
x 4
1 3
1
4 x 3 3 2
x
Aucune asymptote horizontale
h)
3 2 x
x ) 5
x (
f = −
2 5 2 5 x 2
x 3 x lim 5
x 2 3
x lim 5
2 5 x 2
x 3 x lim 5 x 2 3
x lim 5
x x
x x
− =
= −
−
= −
−
= −
−
− =
−∞
→
−∞
→
+∞
→ +∞
→
Donc, y = -5/2 et y = 5/2
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7. Déterminer la valeur de k, où k > 0, telle que : a) y = 8 soit une asymptote horizontale de
4 x 3
1 ) kx
x (
f −
= +
, lorsquex → +∞
24 k 3 8
k
3 k x 3 4 x
x k 1 x 4 lim x 3
1 lim kx
x x
=
→
=
=
−
+
− = +
+∞
→ +∞
→
b) y = 7 soit une asymptote horizontale de
4 x
1 x ) 7 x (
f
2k
−
= +
, lorsquex → −∞
2 k 0 2 k 1 x
7 x 7
x 7 x 1 4 x
x 7 1 x 4 lim
x 1 x lim 7
2 k
2 k
2 k
2 2
k k
2 x k x
=
→
=
−
→
=
=
=
−
+
− = +
−
−
−
−∞
→
−∞
→
