L’élimination des nœuds en mécanique quantique P. A. M. Dirac 1. Introduction.

L’élimination des nœuds en mécanique quantique P. A. M. Dirac

1. Introduction.

Les lois de la mécanique classique doivent être généralisées quand on les applique à des systèmes atomiques, la généralisation étant que la loi commutative de la multiplication, lorsqu’on l’applique à des variables dynamiques, doit être remplacée par certaines conditions quantiques, qui sont juste suffisantes pour permettre d’évaluer xy −yx quand x et y sont donnés. Il découle de cela que les variables dynamiques ne peuvent être des nombres ordinaires exprimables en notation décimale (nombres qui seront appelés des c-nombres), mais doivent être considérés comme des nombres d’une sorte particulière (que nous appellerons q-nombres), dont la nature ne peut être spécifiée exacte- ment, mais qui peuvent être utilisés dans la solution algébrique d’un problème dynamique d’une manière assez analogue à la manière dont les variables classiques correspondantes sont utilisées¹. La seule justification des noms donnés aux variables dynamiques réside dans l’analogie avec la théorie classique, e.g., si on dit que x, y, z sont les coordonnées cartésiennes d’un électron, on veut seulement dire que x, y, z sont des q-nombres qui apparaissent dans la solution quantique du problème d’une manière analogue aux coordonnées cartésiennes de l’électron dans la solution classique. Il peut se produire que deux q-nombres ou plus sont analogues aux mêmes quantités clas- siques (l’analogie étant, bien sûr, imparfaite et selon différentes caractéristiques pour des q-nombres différents), et ainsi ont droit aux mêmes noms. Cela arrive, par exemple, quand on considère que les q-nombres seront appelés les fréquences d’un système multi-périodique, donnant lieu à plusieurs fréquences orbitales et plusieurs fréquences de transition, chacune correspondant selon certains cri- tères aux fréquences classiques. Dans un tel cas, on doit décider quelles sont les propriétés des variables classiques qui sont dynamiquement les plus importantes, et on doit choisir le q-nombre qui a ces propriétés comme étant la variable quantique correspondante.

Dans le traitement classique du problème dynamique d’un certain nombre de particules ou d’élec- trons bougeant dans un champ central de force et se perturbant les uns les autres, on commence toujours par faire la simplification initiale, connue sous le nom d’élimination des nœuds, qui consiste à obtenir une transformation de contact des coordonnées cartésiennes et des moments des électrons à un ensemble de variables canoniques, dont toutes sauf trois sont indépendantes de l’orientation du système comme un tout, alors que les trois en question déterminent l’orientation. En l’absence d’un champ de force externe, l’Hamiltonien, quand il est exprimé en fonction des nouvelles variables, doit être indépendant de ces trois, ce qui simplifie l’équation du mouvement. On peut montrer que les nouvelles variables peuvent être les suivantes : la distance r de chaque électron au centre, avec la composante radiale du moment p_r comme variable conjuguée, la composante M_z (= p disons) du moment angulaire total du système dans une direction donnée, z disons, avec l’azimut de cette direction par rapport à la direction du moment total comme variable conjuguée ; et dans le cas d’un

P. A. M. Dirac, Lycée St. John, Cambridge.

Communiqué par R. H. Fowler, F.R.S., reçu le 27 mars 1926.

traduction Denise Vella-Chemla, janvier 2021.

1. Roy. Soc. Proc., A, vol. 110, p. 561 (1926). La méthode qui est donnée dans les § 1 et § 4 de cette référence est celle que nous utiliserons ici.

système avec un seul électron, les seules autres nouvelles variables doivent être la grandeur du mo- ment angulaire k, avec l’angle θdans le plan orbital entre le vecteur rayon et la ligne d’intersection du plan orbital avec le planxy comme variable conjuguée ; alors que dans le cas de deux électrons, les nouvelles variables restantes doivent être les moments angulairesk etk⁰des deux électrons, avec, pour variables conjuguées, les angles θ et θ⁰ entre les vecteurs rayons et la ligne des nœuds, et le moment angulaire totalj avec l’azimutψ de la ligne de nœuds par rapport à la direction de j pour variable conjuguée. La transformation n’implique pas de choses sensiblement différentes lorsqu’il y a plus de deux électrons, et on peut considérer que tous les électrons sauf un forment un système interne, ou noyau, qui joue le rôle du second électron quand il n’y en a que deux, de telle façon que le j du noyau compte comme le k⁰ du système global, leψ du noyau comptent comme le θ⁰ du sys- tème global, alors que la grandeur des résultants de k et k⁰ correspond aux j du système global, et l’azimut par rapport à la direction du résultant de la ligne d’intersection des plans perpendiculaires aux vecteurs de k et k⁰ est le ψ. Toutes les nouvelles variables sont indépendantes de l’orientation du système comme un tout, exceptés p, φ et ψ (ou θ quand il n’y a qu’un seul électron). On peut appeler les variables k, k⁰, j etp des variables d’action, et leurs conjugués canoniques des variables d’angle.

L’objet du présent article est de réaliser la simplication initiale correspondante dans le traitement quantique du problème par l’introduction de certaines variables quantiques, à qui on donnera les mêmes nomsr, p_r, k, θ, etc. dont les propriétés après recherche s’avèreront être très analogues à celles des variables classiques. Les variables quantiques, bien sûr, ne peuvent être considérées géométri- quement. Les relations géométriques satisfaites par les variables classiques doivent être exprimées sous une forme analytique de telle façon que l’on puisse essayer d’obtenir les variables quantiques qui satisfont les mêmes relations algébriques. Si une variable classique est indépendante de l’orien- tation du système comme un tout, la variable quantique correspondante doit être invariante selon la transformation

(1)







x=l1x+m1y+n1z p_x =l1px+m1py +n1pz

y=l₂x+m₂y+n₂z p_y =l₂p_x+m₂p_y+n₂p_z z =l₃x+m₃y+n₃z p_z =l₃p_x+m₃p_y +n₃p_z

où les l, m et n sont des c-nombres satisfaisant les mêmes relations que les coefficients classiques pour les axes de rotation. Les nouvelles variables, bien sûr, doivent être réelles, et également les variables d’angles θ, θ⁰, ψ et φ doivent être telles que les coordonnées cartésiennes, quand on les exprime en fonction des nouvelles variables, sont des multiples périodiques des θ, θ⁰, ψ et φ de pé- riode 2π. Finalement, la propriété la plus essentielle des nouvelles variables est qu’elles doivent être canoniques, ce qui peut être vérifié seulement en évaluant toutes leurs expressions par crochets de Poisson, calculées pour les variables prises deux à deux.

Dans le présent article, nous ne sommes pas trop concernés par ce qu’est l’Hamiltonien du système.

Nous voulons seulement trouver la transformation de contact à partir des coordonnées cartésiennes et des moments pour les nouvelles variables, notamment, les r, pr et certaines variables que nous appellerons variables d’action et variables d’angle. Ce seront de vraies actions et de vraies variables d’angle seulement si l’Hamiltonien est une fonction des r, p_r et des variables d’action seulement.

Dans ce cas, pour compléter la solution du problème dynamique, il est seulement nécessaire d’ob- tenir une transformation de contact de r et p_r à une action externe et des variables d’angle, dont la transformation peut nécessiter l’ajout de fonctions desr etp_r aux précédentes variables d’angle.

Quand l’Hamiltonien ne satisfait pas cette condition, les variables d’action et d’angle introduites dans le présent article forment un système préliminaire de variables canoniques, dont les variables uniformisantes finales peuvent être obtenues par une transformation de contact supplémentaire. On peut montrer que l’énergie cinétique d’un électron est une fonction des r,p_r, et des seules variables d’angle, et par conséquent, si le champ total dans lequel se meut l’électron est approximativement central ou symétrique par rapport à l’axe des z, l’Hamiltonien diffèrera d’une fonction des r, p_r et des variables d’action seulement par une petite quantité, de telle façon que la transformation de contact supplémentaire peut être effectuée à l’aide de la théorie de la perturbation. En l’absence d’un champ externe de force, l’Hamiltonien doit dans tous les cas être une fonction seulement de celles des nouvelles variables qui sont invariantes par la transformation (1), puisque l’Hamiltonien lui-même est invariant selon cette transformation.

2. Relations algébriques préliminaires.

Soient x, y, z et px, py, pz, les coordonnées cartésiennes et les moments d’un électron. Toute fonc- tion des coordonnées et moments d’un électron commute avec toute fonction de ceux d’un autre.

Définissons r et p_r par

(2) r= (x²+y²+z²)¹²,

(3) rp_r =xp_x+yp_y+zp_z−ih.

Alors nous avons, puisque r commute avec x, y et z

[r, rp_r] =x[r, p_x] +y[r, p_y] +z[r, p_z].

Maintenant

[r, p_x] = [(x²+y²+z²)¹², p_x] =x/(x²+y²+z²)¹² =x/r, avec des équations similaires pour [r, p_y] et [r, p_z]. Par conséquent

[r, rp_r] = (x²+y²+z²)/r=r, ou

[r, p_r] = 1.

Ainsi r et p_r sont canoniquement conjugués et peuvent être pris comme paires des nouvelles va- riables, puisqu’ils sont trivialement invariants selon la transformation (1). Le (−ih) est mis dans l’équation (3) pour des raisons de symétrie et pour rendre p−r réel, l’équation imaginaire conju- guée, obtenue en écrivant −ipour i et en inversant l’ordre des facteurs des produits est

(3⁰) p_rr=p_xx+p_yy+p_zz+ih qui est en accord avec (3).

Les composants du moment angulaire² d’un électron sont définis, comme dans la théorie classique, par

m_x =yp_z−zp_y, m_y =zp_x−xp_z, m_z =xp_y −yp_x.

2. Les relations de moment angulaire de cette section ont été obtenues indépendamment par Born, Heisenberg et Jordan (Zeits. f. Phys. vol. 35, p. 557 (1926).

Nous avons à la fois l’identité

(4) xm_x+ym_y+zm_z = 0

comme dans la théorie classique. Aussi (5)

( [m_z, x] = [xp_y −yp_x, x] =y [m_z, y] = [xp_y −ypx, y] =−x

(6) [m_z, z] = [xp_y−yp_x, z] = 0,

et similairement

(7) [m_z, p_x] =p_y, [m_z, p_y]=−p_x,

(8) [m_z, p_z]= 0,

avec les relations correspondantes pour m_x, et m_y. De plus, (5)







[mx, my] = [mx, zpx−xpz] = [mx, z]px−x[mx, pz]

=−yp_x+xp_y =m_z

[m_y, m_z] =m_x, [m_z, m_x] =m_y, de façon similaire.

Ces relations seront continuellement utilisées dans la suite du travail. On peut se souvenir aisément des équations (5), (7) et (9) à partir du fait que le signe + est utilisé quand l’ordre cyclique (x y z x) est préservé, et le signe - dans le cas contraire.

De (2), (5) et (6),

[r², m_z] = [x² +y², m_z] =−2xy+ 2xy= 0, et de (3), (5), (6), (7) et (8),

[rp_r, m_z] = [xp_x+yp_y, m_z] =−yp_x−xp_y +xp_y +yp_x = 0,

de telle façon que r et p_r commutent avec m_z, et par conséquent, il y a symétrie également avec m_x et m_y, et par conséquent, avec toute fonction des moments angulaires.

Mettons,

M_x =^Pm_x, M_y =^Pm_y, M_z =^Pm_z,

la sommation étant développée pour tous les électrons. Nous avons à la fois de (5) et (6) pour chaque électron

(10) [Mx, x] =y, [Mx, y] =−x, [Mx, z] = 0.

Également (11)

( [Mx, My] = [^Pmx,^Pmy] =^P[mx, my] =^Pmz =Mz

[M_y, M_z] =M_x, [M_z, M_x] =M_y, de façon similaire.

Posons

m²_x+m²_y +m²_z =m². On a à partir de (9),

[m², m_z] =^hm²_x+m²_y, m_zⁱ=−m_ym_x−m_xm_y+m_xm_y+m_ym_x = 0, de telle façon que m commute avec mz, et par conséquent également avec mx et my. De façon similaire, si

M_x²+M_y²+M_z² =M²

M commute avec M_x, M_y etM_z.

L’énergie cinétique d’un électron est une fonction de (p²_x +p²_y +p²_z). Grâce à (2), (3) et (3’), on obtient

m² =^P_xyz(yp_z−zp_y)² =^P_xyz(yp_zyp_z +zp_yzp_y −yp_zzp_y−zp_yyp_z)

=^P_xyz(y²p²_z+z²p²_y−yp_yp_zz−zp_zp_yy−xp_xp_xx+x²p²_x−2ihxp_x)

= (x²+y²+z²)(p²_x+p²_y +p²_z)−(xp_x+yp_y +zp_z)(p_xx+p_yy+p_zz+ 2ih)

=r²(p²_x+p²_y+p²_z)−(rp_r+ih)(p_rr+ih)

=r²(p²_x+p²_y+p²_z)−r²p²_r. Par conséquent

(12) p²_x+p²_y +p²_z =p²_r+m²/r²

comme dans la théorie classique. Maintenantm² va être une fonction des variables d’action, et par conséquent, l’énergie cinétique du système sera une fonction des r, p_r et des variables d’action.

Nous ne serons pas davantage concernés par les r et p_r si ce n’est pour vérifier qu’ils commutent avec chacune des variables d’action et d’angle qui seront introduites, ceci étant nécessaire pour que les variables soient canoniques.

3. Les variables d’action

Dans la théorie classique, l’une des variables d’action à introduire, appelons-la k, est juste égale à m. La variable quantiquek peut ne pas être égale à m, mais elle doit être choisie de telle façon que x, y etz soient des fonctions périodiques de sa variable conjuguéeθ de période 2π. Dans la théorie classique, si une coordonnée, disons z, est développée en série de Fourier des variables d’angle, les coefficients des termes dans lesquels e^uiθ intervient s’évanouissent tous à moins quen=±1. Ce fait s’exprime analytiquement par l’équation∂²z/∂θ² =−z, ou par l’expression par crochets de Poisson [k,[k, z]] = −z. Nous essayons de choisir nos variables quantiques de façon à satisfaire également

(13) [k,[k, z]] = −z.

Cette relation devrait assurer que quandzest exprimé en fonction des nouvelles variables, il devrait être périodique en θ de période 2π, et, de plus, que tous les coefficients dans le développement de Fourier devraient s’évanouir exceptés ceux des termes en e^iθ ete^−iθ. La règle de sélection ordinaire pour k devrait alors en découler.

L’équation (13) donne

[k²,[k, z]] = k[k,[k, z]] + [k,[k, z]]k =−(kz+zk), et par conséquent

[k²,[k², z]] =k[k²,[k, z]] + [k²,[k, z]]k=−(k²z+ 2kzk+zk²)

=−2(k²z+zk²) + (k²z−2kzk+zk²)

=−2(k²z+zk²)−h²[k,[k, z]]

=−2(k²z+zk²) +h²z ou

(14) ¹₂[k²,[k², z]] = −(k²− ¹₄h²)z−z(k²−¹₄h²).

Maintenant de (5) et (6)

(15) ¹₂[m², z] = ¹₂^hm²_x+m²_y, zⁱ= ¹₂(−ym_x−m_xy+xm_y+m_yx)

=m_yx−m_xy+ihz =m_yx−ym_x =xm_y−m_xy.

Des relations similaires sont vérifiées pour ¹₂[m², x] et ¹₂[m², y]. Par conséquent

1

2 [m²[m², z]] = m_y[m², x]−m_x[m², y] +ih[m², z]

=m_y2(ym_z−m_yz)−m_x2(m_xz−xm_z) +ih[m², z]

= 2(m_xx+m_yy+m_zz)m_z−2(m²_x+m²_y +m²_z)z+ih[m², z]

=−2m²z+ (m²z−zm²)

=−m²z−zm².

En comparant cela avec l’équation (14), nous voyons qu’elles sont en accord si l’on prend (17) m² =k²− ¹₄h² =k₁k₂,

où

k₁ =k+¹₂h, k₂ =k−¹₂h.

(En général, nous prendrons l’indice 1 pour chaque variable d’action pour dénoter que la valeur de cette variable est augmentée de ¹₂h, et l’indice 2 pour dénoter que sa valeur est diminuée de ¹₂h.) Avec k définie par (17), l’équation (14) découle de l’équation (16), mais l’équation (13) ne découle pas nécessairement de l’équation (14). Nous pourrions, pourtant, prendre (13), en même temps que les équations correspondantes

(18) [k,[k, x]] = −x [k,[k, y]] =−y

comme complétant la définition dek, qui avait été précédemment seulement défini park². Il semble probable qu’en général, une équation algébrique en algèbre quantique a un nombre infini de ra- cines, e.g., l’équation algébrique xa−ax=b est analogue à une équation différentielle de la théorie classique, et sa solution générale contient des c-nombres arbitraires. Il semble ainsi raisonnable de prendre deux équations ou plus pour définir un q-nombre, lorsque c’est nécessaire, sous la contrainte que ces équations sont consistantes, comme dans le cas présent.

On peut examiner la nécessité des prochaines suppositions (13), (18) dans la définition de k par la méthode matricielle utilisée par Born, Heisenberg et Jordan³. Si on regarde (14) comme une équa- tion matricielle et que l’on rend égaux les composants (nm) des deux côtés, on obtient une relation qui est effectivement la même que l’équation 22 chap. 4 de Born, Heisenberg et Jordan (excepté le fait que Born, Heisenberg et Jordan utilisent M plutôt quem, etX, une fonction linéaire dex, y et z, plutôt que z). De ceci, ces auteurs déduisent que tous les composants (nm) deX s’évanouissent, exceptés ceux reliés aux deux k, a_n eta_m disons, qui satisfont

(23) chap.4. a_n =±a_m±1.

Mais nous voulons que tout X (nm) s’évanouisse excepté quand

(23⁰) chap.4. a_n=a_m±1

Born, Heisenberg et Jordan posent que les valeurs négatives de k peuvent être ignorées sans perte de généralité, mais ceci n’est justifiable que si on peut montrer que les transitions d’une valeur po-

3. Born, Heisenberg et Jordan, loc. cit.

sitive à une valeur négative k ne peuvent avoir lieu. Ceci ne peut être réalisé sans une supposition supplémentaire, puisque s’il y a une représentation matricielle dans laquelle tout X (nm) s’éva- nouit excepté quand (23’) chap. 4 est satisfaite, on peut obtenir de celle-ci d’autres relations par lesquelles la condition n’est pas respectée, mais seulement la condition que chaque X (nm) s’éva- nouit, excepté quand (23) chap. 4 est satisfaite, en interchangeant dans la matricek quelques-unes des paires de lignes, et les paires de colonnes correspondantes, pour lesquelles les a_n sont égaux en valeur mais de signes opposés, car ce procédé n’affecte pas la validité de toute équation matricielle dans laquellek n’intervient que sous la formek². Les équations (13), (18) fournissent la supposition supplémentaire nécessaire.

On peut prendre comme autre variable d’action la quantité M_z, égale à p disons, puisque de (10) (19)







[p,[p, x]] = [p, y] =−x [p,[p, y]] =−[p, x] =−y.

Ces équations montrent quexety sont des fonctions périodiques deφ, les variables conjuguées des p, de période 2π, et que tous les coefficients dans leurs développements de Fourier s’évanouissent exceptés ceux des termes en e^iφ et e^−iφ. De plus, puisque [p, z] = 0, tous les coefficients dans le développement de Fourier de z s’évanouissent exceptés ceux des termes indépendants de φ. Les règles de sélection pour p découlent de cela.

À nouveau, quand il y a plus d’un électron dans le système, nous pouvons définir j par (20) M² =j² − ¹₄h² =j₁, j₂,

qui est analogue à (17), et prendrej comme une variable d’action, parce que, comme nous le mon- trerons ultérieurement, des quantités µ_x, µ_y, µ_z peuvent être trouvées qui satisfont

(21) [j,[j, µ_x]] =−µ_x, [j,[j, µ_y]] =−µ_y, [j,[j, µ_z]] =−µ_z.

Des résultats du § 2, il est évident que j, p et les k commutent avec les r et les pr et les uns avec les autres et également que les j et les k sont invariants par la transformation (1).

4. Les variables d’angle.

Chacune des variables d’angle west donnée dans la théorie classique par le fait qu’e^iw est égal à la racine carrée du rapport de deux quantités qui sont des imaginaires conjugués, i.e. par une relation du type

(22) e^iw = a+ib

a−ib

!¹₂

oùa etb sont réels. Cela bien sûr, rend wréel, puisque si on écrit −ià la place de idans (22), elle reste vraie. Dans la théorie quantique, il y a deux façons correspondantes par lesquelles on peut définir e^iw, notamment,

e^iw =

(a+ib) 1 a−ib

¹₂

et e^iw =

1

a−ib(a+ib)

¹₂

,

mais aucune des deux ne rend w réel. La généralisation quantique correcte de (22) est la relation plus symétrique

(23) e^iw(a−ib)e^iw =a+ib.

Celle-ci devient, quand on rend égaux les imaginaires conjugués des deux côtés e^−iw(a+ib)e^−iw =a−ib,

ce qui est équivalent à (23), de telle façon que wdéfini de cette manière est réel. On peut résoudre l’équation (23) pour e^iw des deux manières, notamment,

e^iw(a−ib)e^iw(a−ib) = (a+ib)(a−ib), ce qui donne

e^iw(a−ib) ={(a+ib)(a−ib)}¹² ={(a+ib)(a−ib)}⁻¹²(a+ib)(a−ib), de telle façon que,

(24) e^iw ={(a+ib)(a−ib)}⁻¹²(a+ib), ou alternativement

(a−ib)e^iw(a−ib)e^iw = (a−ib)(a+ib), qui donne

(25) e^iw = (a+ib){(a−ib)(a+ib)}⁻¹². Supposons maintenant que J est une variable d’action telle que

(26) [J, a] =b, [J, b] =−a.

On a

[J, a+ib] =b−ia=−i(a+ib)

[J, a−ib] =b+ia=i(a−ib), de telle façon que

(27)







J(a+ib) = (a+ib)(J+h) J(a−ib) = (a−ib)(J−h),

J(a+ib)(a−ib) = (a+ib)(J+h)(a−ib) = (a+ib)(a−ib)J,

de telle façon que J commute avec le produit (a+ib)(a−ib). Par conséquent, de (24) ou (25) J e^iw =e^iw(J +h),

ou

[e^iw, J] =ie^iw.

Il n’en découle pas rigoureusement que [w, J] = 1, mais puisque w n’intervient dans l’analyse que dans l’expression e^iw, la relation [e^iw, J] = ie^iw est suffisante pour montrer que nous pouvons prendre w comme étant la variable conjuguée de J.

De (26)

(28) [J,[J, a]] =−a.

Par conséquent, pour déterminer la variable d’anglewcanoniquement conjuguée à n’importe quelle

variable d’actionJ, on doit rechercher une quantitéaqui satisfait (28) et qui commute avec chacune des autres variables d’action, et alors, si on réussit à en trouver une, il faut alors définir wpar (28) avec b égal à [J, a]. Cela rendra w réel et conjugué à J, et le fera commuter avec toutes les autres variables d’action. Il devra être vérifié, bien sûr, qu’il commute avec les r et p_r. (Dans la théorie classique, les conditions qu’a doit satisfaire sont qu’elle doit varier périodiquement selon la loi des cosinus lorsque w croît uniformément et que les autres nouvelles variables sont gardées constantes, et doit rester constante lorsque les variables d’action r, p_r, et w sont gardées constantes et que les autres variables d’angle varient arbitrairement.)

Pour déterminer, par exemple, la variable d’angle θ canoniquement conjuguée au k du § 3, nous savons que [k,[k, z]] = −z et que z commute avec p, et par conséquent, pour le cas d’un système avec un seul électron quand il n’y a pas d’autre variable d’action, nous pouvons définir θ par (29) e^iθ(z−i[k, z])e^iθ =z+i[k, z].

Nous devrons prendre une valeur différente pour a lorsqu’il y a plus d’un électron dans le système, puisque z ne commute pas avec j. Il est évident que θ, défini par (29) ou

e^iθ ={(z+i[k, z])(z−i[k, z])}⁻¹²(z+i[k, z]),

commute avec r puisque z et k le font. Pour prouver qu’il commute également avecp_r, on a [z, rp_r] =z

ou

z(rpr) = (rpr+ih)z.

Cette équation doit rester vraie quand on substitue à z l’expression (z+i[k, z]) ou (z−i[k, z]) ou {(z+i[k, z](z−i[k, z])}¹².⁴ Il en découle quee^iθ commute avec rp_r, et par conséquent avec p_r. De (27), nous déduisons l’équation

(30) k₂(z+i[k, z]) = (z+i[k, z])k₁, qui sera nécessaire ultérieurement.

De la même façon, nous pouvons définir φ, la variable d’angle canoniquement conjuguée à p, en prenant a =M_x, puisque nous savons que [p,[p, M_x]] = −M_x, et que M_x commute avec chaque k et avec j. Nous avons par conséquent

e^iφ(M_x−iMy)e^iφ =Mx+iMy.

Il est évident que r et p_r commutent avec φ, puisqu’elles commutent avec M_x etM_y.

Les équations (23), (24), (25) pour les variables d’angle typiques sont plus utiles sous la forme (31)







a+ib ={(a+ib)(a−ib)}¹²e^iw =e^iw{(a−ib)(a+ib)}¹². a−ib ={(a−ib)(a+ib)}¹²e^−iw =e^−iw{(a+ib)(a−ib)}¹².

Il est nécessaire d’évaluer les produits de (a +ib) et (a −ib) dans chaque cas dans lesquels ces

4. Cela n’est pas rigoureux, mais semble justifiable.

équations sont utilisées. Dans le cas où a estM_x et b estM_y, on a

(M_x+iM_y)(M_x−iM_y) = M_x²+M_y²−i(M_xM_y−M_yM_x)

=M²−M_z²+hM_z =j² −¹₄h²−p²+hp

=j²−p²₂, de telle façon que les équations (31) deviennent (32)

( M_x+iM_y = (j²−p²₂)¹²e^iφ =e^iφ(j²−p²₁)¹² M_x−iM_y = (j²−p²₁)¹²e^−iφ =e^−iφ(j²−p²₂)¹²

L’évaluation du produit (z+i[k, z])(z−i[k, z]) n’est pas si facile. Nous évaluerons le produit plus général (z+i[k, z])(ζ−i[k, ζ]), où ξ, η, ζ sont trois quantités satisfaisant les relations analogues à (4), (5) et (6) (et les relations correspondant à (5) et (6) pour my et mz) dans lesquelles x, y, z ont été remplacées par ξ, η, ζ car nous aurons besoin de cette partie de l’analyse ultérieurement.

ξ, η, ζ doivent satisfaire les relations analogues à n’importe quelle conséquence de (4), (5) et (6) qui ne nécessitent pas pour leur preuve le fait que x, y, z commutent les unes avec les autres, comme (15) et (13) [si la contrainte que les suppositions auxiliaires (13), (18) nécessitées pour la définition de k sont vraies pour les ξ, η, ζ].

Nous déduisons de (15), dans laquelle m² est remplacé park²,

k[k, z] + [k, z]k = [k², z] = 2(myx−mxy+ihz).

Également

k[k, z]−[k, z]k=ih[k,[k, z]] = −ihz qui découle de (13). Par conséquent,

(33) k[k, z] =m_yx−m_xy+¹₂ihz, et de façon similaire

k[k, ζ] =m_yξ−m_xη+¹₂ihζ.

De (4)

m_zzm_zζ = (m_xx+m_yy)(m_xξ+m_yη), de telle façon que

(m_yx−m_xy)(m_yξ−m_xη) +m_zzm_zζ

=m_y(xm_y+ym_x)ξ+m_x(ym_x+xm_y)η

+m_x(xm_x−ym_y)ξ+m_y(ym_y−xm_x)η

=m_y(m_yx+m_xy)ξ+m_x(m_xy+m_yx)η

+mx(m_xx−myy)ξ+my(m_yy−mxx)η

= (m²_x+m²_y)(xξ+yη)−ihm_zyξ+ihm_zxη En utilisant ces résultats et également (30), on trouve

(34)

k(k−h)(z+i[k, z])(ζ−i[k, ζ]) =k(z+i[k, z])k(ζ−i[k, ζ])

={k₂z+i(m_yx−m_xy)}{k₁ζ−i(m_yξ−m_xη)}

= (m_yx−m_xy)(m_yξ−m_xη) +{k₂z+i(m_yx−m_xy)}k₁ζ

−ik₂z(m_yξ−m_xη)

= (m²_x+m²_y)(xξ+yη)−m²_zzζ+ihm_z(xη−yξ)

+k₂{k₂z+i(m_yx−m_xy)}ζ−ik₂z(m_yξ−m_xη)

= (k₁k₂−m²_z)(xξ+yη) + (k²₂−m²_z)zζ+ihm_z(xη−yξ))

−ik₂{−(myx−mxy)ζ+ (myz−ihx)ξ−(mxz+ihy)η}

= (k₂²−m²_z)(xξ+yη+zζ) +ihm_z(xη−yξ)

−ik₂{m_x(yζ−zη) +m_y(zξ−xζ)}.

Maintenant, prenons ξ, η, ζ égaux à x, y, z. L’équation (34) se réduit à ce simple résultat (35) k(k−h)(z+i[k, z])(z−i[k, z]) = (k₂²−m²_z)r².

5. Les équations de transformation pour le système avec un seul électron

Quand le système est constitué d’un seul électron, les nouvelles variables canoniques sont, en plus des r et p_r, les variables d’action k [définies par (17)] et p [= m_z] et les variables d’angle θ et φ [définies par (29) et (32)]. Grâce à (35), l’équation de transformation (29) peut être mise sous la forme (31). Le résultat est

(36)



















z+i[k, z] =rk⁻¹²(k−h)⁻¹²(k₂²−p²)¹²e^iθ

=rk⁻¹²(k₂²−p²)¹²e^iθk⁻¹² =rk⁻¹²e^iθ(k₁²−p²)¹²k⁻¹² z−i[k, z] =rk⁻¹²(k₁²−p²)¹²e^−iθk⁻¹² =rk⁻¹²e^−iθ(k₂²−p²)¹²k⁻¹².

Nous avons déjà montré que les nouvelles variables satisfont toutes les conditions qu’elles doivent satisfaire à l’exception du fait que [θ, φ] = 0. Cette relation n’est pas très facile à prouver, mais heureusement, elle n’est pas d’une importance dynamique puisque si elle n’est pas vraie, nos θ et φ diffèreront des vraies variables conjuguées à k et p seulement par des quantités réelles qui sont fonctions de k et pseulement, et sont, par conséquent, constantes. L’amplitude de x, y, z exprimée en série de Fourier ne sera alors pas affectée.

Un manière plus simple que celle déjà fournie de prouver que la transformation depuis les variables originales vers les nouvelles variables est une transformation de contact consiste à supposer que les nouvelles variables sont canoniques et satisfont les conditions quantiques, et de déduire de cela que les variables originales sont canoniques. Il est pratique avec cette méthode d’introduire les variables

ξ₁ = (k+p− ¹₂h)¹²e^12i(θ+φ) = e^12i(θ+φ)(k+p+¹₂h)¹², η₁ =−i(k+p+¹₂h)¹²e^{−12i(θ+φ)} =−ie^{−12i(θ+φ)}(k+p− ¹₂h)¹²,

ξ₂ = (k−p− ¹₂h)¹²e^12i(θ−φ) = e^12i(θ−φ)(k−p+ ¹₂h)¹², η₂ =−i(k−p+ ¹₂h)¹²e^{−12i(θ−φ)}=−ie^{−12i(θ−φ)}(k−p− ¹₂h)¹², dont on vérifie facilement qu’elles sont canoniques, ce qui donne

ξ₁η₁ =−i(k+p−¹₂h), η₁ξ₁ =−i(k+p+ ¹₂h), ξ₂η₂ =−i(k−p− ¹₂h), η₂ξ₂ =−i(k−p+¹₂h).

Les équations de transformation peuvent maintenant être mises sous la forme simple (37)











x+iy=−¹₂rk⁻¹²(ξ₁²−η²₂)k⁻¹² x−iy =−¹₂rk⁻¹²(ξ₂²−η₁²)k⁻¹²

z = ¹₂rk⁻¹²(ξ₁ξ2+η1η2)k⁻¹². m_x+im_y =iξ₁η₂

m_x−im_y =iξ₂η₁

mz = ¹₂i(ξ₁η1−ξ2η2) xp_x+yp_y +zp_z =rp_r+ih,

dont on peut aisément vérifier que x, y, z, p_x, p_y, p_z sont canoniques quand on suppose que les ξ et η sont canoniques. Accessoirement, cette méthode montre que nos θ etφ précédents commutent.

Les équations (37) sont aussi les plus pratiques pour évaluer les amplitudes des différentes compo- santes des vibrations, puisqu’elles donnent directement

(38)







































































x+iy=−¹₂r

(k+p− ¹₂h)¹²(k+p− ³₂h)¹²

k¹²(k+h)¹² e^i(θ+φ) + (k−p+ ¹₂h)¹²(k−p+³₂h)¹²

k¹²(k+h)¹² e^i(φ−θ)

x−iy = ¹₂r

(k−p− ¹₂h)¹²(k−p−³₂h)¹²

k¹²(k−h)¹² e^i(θ−φ) +(k+p+¹₂h)¹²(k+p+ ³₂h)¹²

k¹²(k+h)¹² e^−i(φ+θ)

z = ¹₂r

(k+p− ¹₂h)¹²(k−p− ³₂h)¹²

k¹²(k−h)¹² e^i(θ+φ)

−(k+p+ ¹₂h)¹²(k−p+³₂h)¹² k¹²(k+h)¹² e^−iθ.

La simplicité des équations (37) est due au fait qu’on peut associer chaque composante de vi- bration du système avec le produit de deux des variables ξ, η qui ne sont pas conjuguées. Avec des systèmes de plus d’un électron, il y a trop de composantes des vibrations pour qu’on puisse procéder ainsi, de telle façon qu’il n’y a pas d’équations correspondant à (37) pour de tels systèmes.