Introduction à la mécanique quantique 1.

(1)

Sup PCSI1 - Exercices de physique Introduction à la mécanique quantique

1 Introduction à la mécanique quantique

1. Nombres de photons

a) Le flux solaire au niveau du sol terrestre vaut, par beau temps, environ 0,50 kW∙m

^-2

. En prenant pour les photons solaires une longueur d'onde moyenne 0,50 μm, trouver l'ordre de grandeur du nombre de photons reçus par un capteur solaire de surface 1 m² pendant ∆t = 0,10 s.

On donne la vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0.10

⁸

m.s

^-1

et la constante de Planck h = 6,62.10

^-34

J∙s b) Il est possible de voir à l'oeil nu une étoile de magnitude 6,5. La magnitude m est reliée au flux d'énergie

provenant de l'étoile par la relation m-m

o

= 2,5.log(φ

o

/φ) , où m

o

et φ

o

correspondent à une étoile de référence. La magnitude du Soleil est égale à -26,8. Trouver l'ordre de grandeur du nombre de photons provenant d'une étoile de magnitude 6,5 entrant pendant 0,10 s dans un oeil dont la pupille, ouverte au maximum, a un diamètre de 7,0 mm (pour une perception continue de la lumière, les cellules de l’oeil doivent être excitées environ toutes les 0,1 secondes). On prendra pour longueur d'onde moyenne des photons de l'étoile la même valeur que pour les photons solaires (hypothèse valide si la température de l'étoile est proche de celle du Soleil).

Réponses : a) 1,3.10

²⁰

photons ; b) Pour l’étoile φ = 2,4.10

^-11

W.m

^-2

; 230 photons.

2. Étude d'une cellule photoélectrique au potassium

a) La cathode d'une cellule photoélectrique au potassium est éclairée par deux radiations lumineuses monochromatiques différentes de longueurs d'ondes respectives λ = 490 nm et λ = 660 nm. La puissance P = 9,00.10

^-7

W de ces deux sources de rayonnement est la même. Le travail d'extraction d'un électron du potassium est W

o

= 2,25 eV.

On rappelle la masse de l'électron 9,11.10

^-31

kg, la charge élémentaire 1,60.10

^-19

C et la constante de Planck h = 6,62.10

^-34

J∙s. Les deux radiations permettent-elles l'émission d'électrons ?

b) Déterminer l'expression de la vitesse des électrons émis par la cathode et calculer sa valeur numérique. On observe que l'intensité du courant de saturation est I = 4 ,00.10

^-8

A. Déterminer le rendement quantique de la cellule, c'est-à-dire le rapport du nombre d'électrons émis au nombre de photons reçus. On supposera que tous les électrons émis participent au courant de saturation.

Réponses : a) émission pour λ = 490 nm uniquement. b) v = 3,14.10

⁵

m.s

^-1

; r

quantique

= 11,3 %.

3. Microscopie électronique.

a) Un microscope optique ne peut révéler des détails plus petits que l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de la lumière visible. Expliquer pourquoi et donner une valeur numérique typique.

b) La longueur d’onde de de Broglie pour des électrons accélérés sous une tension de 100 V, donc ayant acquis une énergie cinétique de 100 eV, est beaucoup plus courte. Quelle est sa valeur ?

On rappelle la masse de l'électron 9,11.10

^-31

kg, la charge élémentaire 1,60.10

^-19

C et la constante de Planck h = 6,62.10

^-34

J∙s.

c) Dans certains appareils, l’énergie cinétique atteint 100 keV et la longueur d’onde obtenue est alors de l’ordre de 1 pm = 10

^-12

m. Pour évaluer cette longueur d’onde, montrer que l’on doit avoir recours aux formules de mécanique relativiste.

L’énergie cinétique répond alors à l’expression (non exigible au programme de PCSI) : = − 1 ² où c = 3.10

⁸

m.s

^-1

est la vitesse de la lumière dans le vide et est le coefficient relativiste

= 1 1 − ² ²

mettant en jeu le rapport v/c de la vitesse de la particule à celle de la lumière. Calculer la longueur d’onde λ des électrons, sachant que la quantité de mouvement s’écrit p = pour le cas relativiste.

Réponses : a) diffraction, λ = 400 à 800 nm ≈ 1 µm ; b) λ = 0,1 nm ; c) par la mécanique classique v = 0,6 c > 0,1 c

(2)

2 →résultat non valide. = 1 +

= 1,20 , v =1,66.10

⁸

m.s

^-1

; λ = 3,7 pm.

4. Expériences des fentes d'Young avec des particules

On considère des expériences de type « fentes d'Young » réalisée avec des particules.

a) Dans une première expérience réalisée avec des électrons, la source est constituée par une cathode chauffée qui émet des électrons supposés sans vitesse initiale. Ces électrons sont accélérés par une différence de potentiel U = 3,00 kV et sont alors introduits dans l'interféromètre. L’énergie qui leur est cédée vaut alors e.U. On donne m

e

= 9,11.10

^-31

kg. La

distance entre les fentes est prise égale à d = 1,00 μm et la distance entre le plan des fentes et l'écran à D = 1,00 m.

En raisonnant sur le schéma de l’expérience ci-contre, justifier que l’écart de distance entre les deux fentes F

1

et F

2

et un point P de cote y le long d’un axe orthogonal à la direction des fentes, contenu dans le plan de l’écran, correspond à la grandeur δ = y.d/D.

(on suppose y << D et d <<< D)

En utilisant les relations de de Broglie, déterminer alors l'expression et la valeur de l'interfrange.

b) Dans une seconde expérience, on utilise des atomes de néon ultra-froids. Le néon possède une masse atomique de 20,0 u.m.a. (l'u.m.a. est l'unité de masse atomique, définie par 1 u.m.a. = 1,60.10

^-27

kg).

Dans le dispositif expérimental, la distance des fentes à la platine où sont détectés les atomes a la valeur D = 113 mm et la distance entre les fentes est d = 6,00 μm.

Les atomes ont une vitesse moyenne 〈〉 = 1,25 m.s

^-1

au niveau des fentes.

Déterminer l'expression et la valeur de l'interfrange.

c) Sachant que les atomes d'un gaz à l'équilibre ont une vitesse d'agitation thermique =

, où m est la masse d'un atome et k est la constante de Boltzmann de valeur k = 1,38.10

^-23

J.K

^-1

, quelle est la longueur d'onde λ

Ne

associée à des atomes de néon à la température ambiante T = 300 K ? Commenter.

d) À quelle température doit-on refroidir les atomes pour que leur vitesse thermique soit inférieure à la vitesse moyenne 〈〉 = 1,25 m.s

^-1

, intentionnellement donnée aux atomes au niveau des fentes ?

Réponses : a) i = λD/d ; i = 22,5 µm ; b) i = 0,31 mm ; c) λ = 3,3.10

^-11

m , taille inférieure à celle d’un atome, on ne peut réaliser de fente occasionnant une diffraction, phénomène nécessaire à l’expérience (pour créer l’interférence entre les ondes de matière par superposition des ondes) ; d) T < 1,2 mK atomes ultra-froids.

5. Expérience de G. P. Thomson

En 1927, les physiciens américains Davisson et Germer fournissaient la preuve expérimentale de l’hypothèse de Louis de Broglie en mettant en évidence le phénomène de diffraction d’électrons sur un échantillon monocristallin de nickel. Quelques mois plus tard, le britannique G. P. Thomson confirmait ce résultat en faisant passer un faisceau d’électrons monocinétique à travers une mince feuille de métal. Avec des électrons accélérés par une différence de potentiel (tension) de l’ordre du kilovolt (kV), il obtient sur une plaque photographique placée derrière la cible une figure de diffraction identique à celle observée avec des rayons X de même énergie. La figure ci-contre représente les anneaux concentriques obtenus par diffraction sur un mince feuillet métallique :

- de rayons X (à gauche) ; - d’électrons (à droite).

F

1

F

2

P y

d D

x

(3)

3 (Les deux figures ne sont pas à la même échelle, mais ont été re-calibrées pour aider la comparaison).

a) En quoi l’expérience de G. P. Thomson confirma-t-elle la nature ondulatoire des électrons ?

b) Donner l’ordre de grandeur de la longueur d’onde des rayons X. L’utilisation de ces derniers vous semble-t- elle adaptée pour mener une étude cristallographique par diffraction ?

c) Soumis à une différence de potentiel U > 0, un électron de charge q = - e = -1,60.10

^-19

C et de masse m = 9,11.10

^-31

kg, initialement au repos acquiert une énergie cinétique égale à e.U.

Etablir la relation numérique approchée λ = 1,23/ √ , pour λ en nanomètres où U est la tension accélératrice en volts. En déduire la longueur d’onde des électrons utilisés par Thomson pour U = 600 V. Commenter.

Donnée : h = 6,63.10

^-34

J.s.

Réponses : a) diffraction -> ondes ; b) λ

X

≈ 0,1 nm : λ

e

=0,050 nm = 50 pm pour U = 600 V.

6. Cyanines.

Les cyanines sont une classe de molécules correspondant à des colorants organiques.

Leur structure générale est présentée ci-contre.

Elles sont formées d’une chaîne carbonée mettant en jeu des doubles liaisons conjuguées. Des fonctions amines sont présentes aux extrémités de cette chaîne. Divers substituants peuvent être envisagés sur les atomes d’azote.

Nous examinerons le cas ici de substituants méthyle CH

3

-. Dans un modèle simple, on peut montrer que leur couleur est directement liée à leur longueur. En effet, Cette structure particulière, par des phénomènes de mésomérie, permet d’obtenir une délocalisation des électrons participant aux liaisons π.

La molécule peut alors être modélisée pour ces électrons comme un fil conducteur de longueur L dans lequel ils seront cantonnés.

a) Etablir l’expression des longueurs d’onde possibles pour la fonction d’onde associée à un électron piégé dans un puits représenté par une boîte de longueur L.

Déduire la quantité de mouvement de cet électron et obtenir alors les valeurs associées E

n

pour les énergies quantifiées accessibles à l’électron.

On exprimera les énergies E

n

en fonction du nombre quantique n, de la longueur L, de la constante de Planck h = 6,62.10

^-34

J.s et de la masse de l’électron m = 9,1.10

^-31

kg.

b) On considère le cas d’une cyanine possédant 9 atomes de carbones sur sa chaîne (p = 3 sur le schéma). La distance entre deux atomes de carbone ou un atome de carbone et un atome d’azote est d ≈ 0,14 nm. On considèrera que la délocalisation se fait sur une longueur correspondant à l’ensemble des liaisons impliquées, et qu’elle dépasse d’une demi-longueur de liaison à chaque extrémité.

Calculer les niveaux d’énergie correspondant en eV (1 eV = 1,6.10

^-19

J), jusqu’à n = 7.

c) Combien d’électrons sont-ils impliqués dans cette délocalisation ? Le principe d’exclusion de Pauli implique que l’on ne peut placer que deux électrons (de spins opposés) par niveau (on n’oubliera pas le doublet libre sur l’atome d’azote situé à droite sur le schéma, non représenté). Tracer le diagramme de remplissage dans l’état d’énergie le plus bas.

d) Quelle est la transition pour l’excitation de plus basse énergie ? Calculer la longueur d’onde associée et expliquer la coloration de la molécule. Quelle est la couleur observée pour cette molécule ?

On donne c = 3,0.10

⁸

m.s

^-1

.

e) Quelles sont les longueurs d’onde et couleurs pour des cyanines à 7 ou à 11 atomes de carbone ?

Réponses : a) L = nλ

n

/2 (onde stationnaire confinée) ; λ

n

=h/p et E = p²/(2m) donnent E

n

= n²h²/(8mL²). b) 10

intervalles plus deux moitié L = 11d. c) 12 électrons à placer. d) ∆E = 2,0 eV soit λ = 0,62 µm.

(4)

4 7. Dimension de l’atome d’hydrogène.

On considère un atome d’hydrogène sphérique, de taille caractéristique a. Cet espace est supposé imposer un confinement à l’électron de cet atome. On admet l’approximation suivante pour l’énergie de l’électron dans l’atome :

= ℎ²

2² + −

^!

4#$

_%

h = h/2π avec h = 6,62.10

^-34

J.s ; m = 9,11.10

^-31

et ε

o

permittivité diélectrique du vide ε

o

= 8,85.10

^-12

F.m

^-1

. a) En employant la relation d’Heisenberg, justifier que l’énergie cinétique minimale de l’électron

correspond au premier terme de l’expression.

Le second terme est l’énergie potentielle d’interaction électrique entre l’électron et le noyau, formé ici d’un proton.

b) Déterminer la valeur a

min

du paramètre a qui minimise l’expression de l’énergie E. Calculer sa valeur numérique, qui donne l’ordre de grandeur de la taille de l’atome d’hydrogène.

c) Quelle est la valeur minimale de l’expression approchée de E ? Dans l’état fondamental, on mesure expérimentalement E

o

= -13,6 eV. Comparer

d) En mécanique classique, pour un électron en orbite circulaire de rayon r autour du noyau, on trouve une énergie mécanique :

= −

^!

8#$

_%

'

De plus, l’électromagnétisme permet de montrer que l’électron en mouvement produit lors un champ électromagnétique dont le rayonnement se traduit par une très rapide perte d’énergie du système.

Interpréter la phrase suivante : « C’est l’inégalité d’Heisenberg qui est à la base de la stabilité des atomes ».

Réponses : a) ∆x.∆p > h amène p > h/a et donc E

c

= p²/(2m) = h²/(2ma²) ; b) résoudre dE/da = 0 ; a

min

= 5,3.10

^-11

m d) E

min

= -2,1.10

^-18

J ≈ -14 eV.

8. Diffusion Compton

L’américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l’expérience suivante. Il a envoyé des rayons X durs (c’est-à-dire une onde électromagnétique de fréquence élevée, donc de très faible longueur d’onde λ typiquement de 1 pm à 1 nm) sur une mince feuille de graphite. Il a observé que l’onde était diffusée (déviée) dans la direction θ vérifiant la relation : (

⁾

− ( =

^*

(1 − +,-) où λ’ est la longueur d’onde diffusée, m = 9,1.10

^-31

kg la masse de l’électron, h = 6,6.10

^-34

J .s la constante de Planck et c = 3.10

⁸

m.s

^-1

la vitesse de la lumière.

Cette relation peut être établie théoriquement par un bilan d’énergie et de quantité de mouvement écrit dans le cadre de la mécanique relativiste.

L’expérience peut être interprétée en termes corpusculaires, mais pas de manière ondulatoire, vu le changement de fréquence du rayonnement. Tout comme l’effet photoélectrique, elle nécessite donc la notion de photon.

a) Montrer que la quantité h/(mc) est homogène à une longueur et la calculer.

b) Pourquoi cette expérience est-elle spécialement intéressante pour des rayons X ? c) Comment évolue l’énergie du photon dans cette expérience ? Que se passe-t-il ?

d) Pour des rayons X incidents avec λ = 7,08.10

^-11