2 Influence de la longueur d’onde

DM 13 Étude du dispositif optique d’un satellite de télédétection

à rendre le jeudi 28 janvier

• Commencer à chercher le devoirdès le soir de la distribution.

• S’aider ducourset desexercices.

• Chercher en groupe. La rédaction sera cependant personnelle.

• Si vous êtes bloqué,posez des questions.

• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;

- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;

- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;

- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.

• Après avoir reçu la correction, reprendre votre copie et le corrigé pour comprendre les erreurs, lire les conseils...

AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?

Dans ce devoir, nous étudions la prise de photographies numériques terrestres sur un capteur électronique pho- tosensible depuis le satellite de télédétection.

1 Construction de l’image obtenue

Afin d’étudier les images de la surface de la Terre par un dispositif optique, nous nous plaçons dans le cadre de l’optique géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre la Terre et le satellite sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux.

1 Comment qualifie-t-on les rayons lumineux utilisés dans l’approximation de Gauss ? Quelles sont leurs deux propriétés ?

Le dispositif optique permettant la photographie est modélisé simplement par une lentille sphérique mince convergenteL de distance focale imagef⁰et un capteur.

2 Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 6 en précisant les foyers objetF et imageF⁰. Tracer avec soin la construction de l’image d’un objet réelP M situé sur l’axe optique. Caractériser l’image obtenue (réelle ou virtuelle, agrandie ou rétrécie, de même sens ou inversée).

3 L’objetP Mse situe sur Terre à une distance de 35 · 10³km du satellite. La distance focale image de la lentille L est def⁰=5 m. Déterminer où se situe l’image de l’objetP M.

4 Le taille des pixels du capteur est de 1µm. Quelle est la dimension du plus petit objet sur Terre détectable ? L’emprise sur le sol terrestre de l’image réalisée est de 70 km. En déduire le nombre nécessaire de pixels sur la largeur du capteur.

MPSI Devoir maison 13 - Étude du dispositif optique d’un satellite de télédétection 2020-2021 5 Sur votre copie, reproduire le schéma de la figure 7 et compléter avec soin le tracé des rayons lumineux provenant d’un objet réel situé à l’infini dont les rayons sont inclinés d’un angleαpar rapport à l’axe optique.

2 Influence de la longueur d’onde

Pour un milieu transparent comme le verre de la lentille mince utilisée, dans le domaine du visible, son indice de réfractionnvarie avec la longueur d’ondeλsuivant la loi empirique de Cauchy

n(λ)=A+ B

λ², avec A=1, 5 etB=3, 8 · 10³nm².

La distance focale imagef⁰de la lentilleL est donnée en fonction de son indicenpar la relation f⁰(λ)= C

n(λ)−1, C étant une constante positive.

Dans la suite, les notations adoptées sont synthétisées dans le tableau 1.

Couleur du Pour la lentille

rayonnement Longueur d’onde Indice Distance focale image Foyer image

bleu λB=486 nm nB f_B⁰ F_B⁰

jaune λJ=589 nm nJ f_J⁰ F_J⁰

rouge λR=656 nm nR f_R⁰ F_R⁰

Tableau 1

6 Montrer que l’expression de la distance focale imagef_J⁰associée au rayonnement jaune peut s’écrire

f_J⁰= C A−1

Ã

1+ B

(A−1)λ²_J

!₋₁ .

7 En approximantλJ à 6 · 10⁻⁷m, monter que B

(A−1)λ²_J ¿1. Simplifier alors l’expression de la question pré- cédente à l’aide d’un développement limité à l’ordre 1.

8 Justifier sans calcul la position des foyers imagesF_B⁰ etF_R⁰ sur l’axe optique par rapport àF_J⁰. Représenter sur votre copie un schéma indiquant la position des foyers imagesF_B⁰,F_J⁰,F_R⁰ et le centre optiqueO de la lentilleL.

9 Qu’est-ce que le stigmatisme ? Est-il vérifié ici ? Quelle en est la conséquence ?

3 Défaut d’observation longitudinal

L’aberration chromatique longitudinaleAC L d’une lentille est définie par la distance algébriqueAC L=F_B⁰F_R⁰ qui sépare les foyers images bleu et rouge.

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10 ExprimerAC Len fonction de f_R⁰ etf_B⁰. En supposant quef_B⁰f_R⁰ =f_J⁰², montrer que 1

f_B⁰ − 1 f_R⁰ =AC L

f_J⁰² . On définit le pouvoir dispersifKd’un verre par la relation

K=nB−nR

nJ−1 . 11 Montrer que 1

f_B⁰ − 1 f_R⁰ =K

f_J⁰. En déduire l’expression deAC Len fonction deK etf_J⁰. Faire l’application numé- rique pourK=1, 4 · 10⁻²etf_J⁰=5 m.

4 Défaut d’observation transversal

L’aberration chromatique transversaleAC Tdu dispositif optique est définie comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par la superposition des faisceaux rouge et bleu provenant de rayons parallèles à l’axe optique et passant par les extrémités de la lentilleL de diamètreD. Cette définition est illustrée sur la figure 8.

12 À partir d’une étude géométrique sur la figure 8, établir deux expressions deAC Ten fonction deD,f_B⁰,f_R⁰ et des distances algébriques entre le pointHet les foyers imagesF_B⁰ etF_R⁰.

13 Montrer que

AC T(f_B⁰ +f_R⁰)=D 2 AC L.

En supposant quef_J⁰=(f_B⁰ +f_R⁰)/2, déterminer l’expression deAC T en fonction du pouvoir dispersifK et du diamètreD de la lentille.

5 Correction des défauts

Afin de limiter ces aberrations, une lentille sphérique minceL∈de centre optiqueO₂ en verre flint (verre plus dispersif que la lentille précédente) est ajoutée. L’indicen2du verre flint suit également la loi de Cauchy

n2(λ)=A2+B2

λ², A2etB2étant deux constantes positives etA2>1.

Sa distance focale image est donnée par la relation f₂⁰= C2

n₂(λ)−1, C2étant une constante dont on cherche à déterminer le signe.

Cette deuxième lentille est accolée à la première lentilleL de centre optiqueO. On suppose que les pointsOet O₂sont confondus.

La distance focale image du système {L+L2} formé par les deux lentilles accolées est notée f_T⁰.

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14 Montrer que

1 f_T⁰ = 1

f₁⁰+ 1 f₂⁰. 15 Déterminer l’expression de _f¹0

T en fonction deA,B,C,A₂,B₂,C₂, etλ.

16 Déterminer l’expression de la dérivée de _f¹0

T par rapport àλ.

17 Établir une relation entreC,B,C₂etB₂permettant de supprimer totalement les aberrations chromatiques transversales et longitudinales.

18 Quel est nécessairement le signe deC2? En déduire la nature convergente ou divergente de la lentilleL2?

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