2021 – 2022 1/12
OPTIQUE GEOMETRIQUE
I Le microscope sera ici modélisé par une lentille mince convergente (L1) dite objectif, de centre optique O1 et de distance focale f'1 = 5 mm et une lentille mince convergente L2 appelée oculaire, de centre optique O2 et de distance focale f' = 2 cm. Les deux lentilles sont coaxiales et leur distance O1O2 = l = 18,5 cm. L'objectif donne de l'objet AB une image A1B1 réelle agrandie, puis l'oculaire, fonctionnant en loupe, donne de A1B1 une image finale A'B' virtuelle, agrandie, et renversée par rapport à AB. L'œil est situé au foyer principal image F'2 de l'oculaire.
1) Déterminer la position de l'objet AB :
- lorsque l'observateur met au point l'image A'B' sur l'infini ; - lorsqu'il met au point cette image à 25 cm de l'œil.
En déduire la latitude de mise au point, c'est-à-dire la distance des deux positions précédentes de l'objet.
Montrer que ce résultat explique l'existence d'une vis micrométrique pour effectuer la mise au point.
2) Calculer le diamètre apparent a de l'objet AB, de 0,02 mm, vu à « l'œil nu » lorsqu'il est à 25 cm de cet œil, puis le diamètre apparent a' de l'image A'B' lorsqu'elle est observée à l'infini.
Calculer le grossissement G = a’/a du microscope.
Réponse : 𝑂#####!𝐴 = -0,516 cm puis -0,515 cm ; 1,55 µm ; 400.
II Lunette de Galilée
Une lunette de Galilée est constituée d'une première lentille mince convergente (L1) de distance focale f'1 = 0,3 m (objectif) et d'une seconde lentille mince divergente (L2) de distance focale f'2 = -0,12 m (oculaire). Ces lentilles sont distantes de 0,22 m. Au moyen de cette lunette, on observe un objet très éloigné vu sous le diamètre apparent 1°.
Déterminer les caractéristiques de l'image donnée par la lunette.
Réponse : 𝑂######"𝐴′ = 24 cm ; A'B' = 1,57 cm.
III Œil myope
Un œil myope a son punctum proximum à 12 cm et son punctum remotum à 1,2 m. Le centre optique de la lentille équivalente est à 15,2 mm de la rétine.
1) Entre quelles limites la distance focale de cet œil varie-t-elle ?
2) Déterminer la vergence de la lentille cornéenne qu'il faut lui adjoindre pour lui permettre une bonne vision de loin.
Indication : les vergences de lentilles accolées s’ajoutent.
3) Où le punctum proximum de l'œil corrigé est-il alors situé ? Réponse : 1,35 cm et 1,5 cm ; -0,877 d; 13,41 cm.
IV Macrophotographie
Un objectif photographique est constitué d'une lentille convergente L1 de centre O1, de distance focale image f'1 = 𝑂#######!𝐹′! = 75 mm. La position de la pellicule est définie par le point P tel que 𝑂####### ≤ 𝑂𝑃!𝐹′! #### ≤ 𝑂####### + 𝜏′ ; t’ = 4,25 mm est appelé le tirage de l'objectif. !𝐹′!
1) On considère un objet 𝐴𝐵#### = 1 cm situé à une distance 𝐴𝑂#####! = 35 cm devant l'objectif dans un plan perpendiculaire à l'axe.
Peut-on photographier cet objet en ayant une image nette ?
2) On place devant l'objectif une lentille additionnelle L2 convergente de centre O2, de vergence V2 = 3 d à une distance O1O2 = 5 cm constante.
a) Le tirage t' de l'appareil étant inchangé, déterminer l'ensemble des points A de l'axe qui peuvent, après mise au point, être photographiés en donnant une image nette.
b) On désire photographier l'objet défini à la question 1). La mise au point étant faite (on vérifiera qu'il est possible maintenant d'avoir une image nette), calculer la grandeur 𝐴′𝐵′###### de l'image portée sur la pellicule.
c) Faire un schéma du système qui, sans respecter l'échelle, respecte la position relative des différents éléments de l'appareil photographique (positions des lentilles, foyers) et de l'objet. Tracer deux rayons issus du point B et en déduire l'image B' sur la pellicule.
2021 – 2022 2/12
Réponse : non ; 0 ≤ 𝐹#####"𝐴 ≤ 66,06 mm ; -2,52 mm.
V Appareil photographique
1) Profondeur de champ
Un objectif photographique a une focale f (distance focale image) et le diamètre du diaphragme est D. Il est réglé au nombre d'ouverture n = f/D et la mise au point est faite sur le point A.
a) On photographie « en pied » (des pieds à la tête) une personne de hauteur AB = 1,80 m située à la distance OA = 5,00 m de l’objectif de focale f = 50,0 mm. Déterminer littéralement puis numériquement la position 𝑂𝐴′##### du capteur CCD permettant l’enregistrement numérique et la taille A’B’ de l’image sur celui-ci.
On cherche maintenant à déterminer la profondeur de champ BC définie par le cercle de confusion de diamètre d (schéma ci- dessous). Ce cercle est délimité par les rayons extrêmes passant au bord d’un pixel (unité de base permettant de mesurer la définition d’une image numérique, abréviation de « picture élément »). On sait qu’alors il n’y a pas de différence significative entre ce stigmatisme approché donnant une tache de la taille d’un pixel au maximum et un stigmatisme rigoureux.
b) Le premier plan net est le plan perpendiculaire à l'axe optique qui contient B.
Montrer que 𝑂𝐵 =#'(%&)*)#.%& avec 𝐻 =,-*!.
c) On montre de même que 𝑂𝐶 =#)(%&)*)#.%& (calcul non demandé).
Montrer que si f « OA « H, la profondeur de champ p = OC - OB vaut 𝑝 ="%&!,-
*! .
Application numérique : f = 50,0 mm ; n = 1,40 ; d = 0,03 mm ; OA = 5,00 m. Calculer H et p.
2) Distance hyperfocale
Un objectif a une focale f et son ouverture est réglée au nombre d'ouverture n =f/D (diamètre du diaphragme D).
On appelle distance hyperfocale H la distance entre le centre optique O et le point A qui donne, pour une mise au point à l'infini, une tache qui est le cercle de confusion de diamètre d (schéma ci-dessous).
a) Montrer que H/f = D/d.
b) En déduire que 𝐻 =,-*!.
c) On fait à présent la mise au point sur A. Montrer alors que l'image est nette de H/2 à l'infini. On rappelle que l'image d'un point est nette tant que son diamètre est inférieur à d, et que l’on est toujours dans l’hypothèse où f « H.
d) Pourquoi la mise au point est-elle faite à une distance H pour les appareils du type "Instamatic" qui n'ont pas de réglage de mise au point ?
e) Application numérique : H/2 = 1,00 m ; f = 50,0 mm ; n = 1,40. Calculer d.
2021 – 2022 3/12
VI Une lentille mince convergente L de distance focale image f'= 20 cm est utilisée comme une loupe par un observateur dont la vision est normale. On désigne par a = 𝐹′𝐶##### la distance qui sépare le foyer image de la lentille du centre optique C de l'œil. On appelle d = 𝐴′𝐶##### la distance de vision lorsque l'observateur utilise la loupe (cf. figure ci-contre).
Pour cet observateur, dm < d < ∞ avec dm = 20 cm.
Lorsque l'observateur regarde l'objet AB à travers la loupe, il voit son image A'B' sous l'angle a'. Lorsqu'il enlève la loupe sans changer la distance de l'objet à son œil, il voit l'objet AB sous l'angle a.
1) Exprimer la quantité Gt = &./.000000&/0000 en fonction de d, a et f'.
2) On définit le grossissement G de la loupe par le rapport G = a’/ a. On supposera les angles suffisamment petits pour que l'on puisse confondre le sinus et la tangente d'un angle avec sa valeur exprimée en radian. Exprimer G en fonction de f ', a et d.
3) Le centre optique de l'œil est placé au foyer image de la loupe. Quelle est la valeur numérique de d donnant un grossissement maximum ? Que vaut alors ce grossissement G1 ?
4) Le centre optique de l'œil est placé à 2 cm du centre optique de la loupe et, suivant la position de l'objet, il accommode de l'infini jusqu'à sa distance minimale de vision distincte dm. Quelle est la valeur numérique de la variation DG = G(∞) - G(dm) du grossissement ?
5) Le centre optique de l'œil est placé à 40 cm du centre optique de la loupe. Quelle est la valeur numérique du grossissement maximal G2 ?
Réponse : 𝐺1=-)2*. ; 𝐺 =3"*"'24(-)2))*.!
*.- ; d = ∞ ; G1 = 2 ; DG = 10-2; G2 = 3.
VII Lunette de Galilée
Une lunette de Galilée est constituée d’un objectif mince convergent L1 de distance focale image f’1 = 15 cm et d’un oculaire mince divergent L2 de distance focale f’2 = - 5 cm.
1) Calculer numériquement la distance e = O1O2 entre les centres respectifs O1 et O2 des lentilles L1 et L2 pour qu’un observateur dont l’œil est normal puisse voir en accommodant à l’infini l’image que donne la lunette d’un objet situé à l’infini.
2) Un rayon lumineux entre dans l’instrument en faisant un angle a1 avec l’axe optique. Exprimer l’angle a2 que fait le rayon émergent avec l’axe optique en fonction de a1, f’1 et f’2.
3) On définit le grossissement d’un instrument par le rapport G = ai/a0 de l’angle ai sous lequel un observateur voit un objet à travers l’instrument sur l’angle a0 sous lequel il voit le même objet à l’œil nu. Calculer numériquement le grossissement G de la lunette.
Dans les questions qui suivent, il est avantageux d’exploiter les relations des lentilles minces qui utilisent les foyers objet et image pour repérer les positions respectives de l’objet et de l’image (relations de Newton).
4) Un objet de dimension 𝐴𝐵#### est disposé dans le plan de front orthogonal à l’axe optique situé à une distance finie de la lunette.
L’objectif en donne une image 𝐴′𝐵′###### reprise par l’oculaire qui en donne une image définitive 𝐴"𝐵"###### observable par l’œil. Calculer le grandissement transversal de la lunette défini par le rapport 𝛾 =&"/"0000000
&/
0000 en fonction de f’1 et f’2.
5) L’observateur dont la distance minimale de vision distincte est dm = 20 cm regarde à travers la lunette un objet qui se rapproche de lui. Le centre optique O de son œil est placé à une distance d = 𝑂#####"𝑂 = 2 cm de l’oculaire. Pour éviter de retoucher au tirage de la lunette, il accommode de façon à conserver une vision nette de l’objet à travers l’instrument. Jusqu’à quelle distance dm = AO de l’observateur, l’objet peut-il se rapprocher ?
6) Calculer numériquement le grossissement G1 de la lunette lorsque l’objet se trouve à cette distance minimale dm.
7) Un observateur myope dont la distance maximale de vision distincte est dM = 25 cm observe à travers l’instrument, sans ses verres correcteurs, un objet situé à l’infini. Quelle doit-être la nouvelle valeur e’ = O1O2 de la distance entre les centres optiques des deux lentilles pour que l’observateur ait une vision nette de l’objet ?
8) Quel est dans ces conditions le grossissement G2 de la lunette sachant que l’observateur porte ses verres correcteurs lorsqu’il observe l’objet à l’infini sans l’instrument ?
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Réponse : e = 10 cm ; 𝛼"= −𝛼!*.#
*.! ; G = 3 ; 𝛾 = −*.*.!
# ; dm = 144 cm ; G1 = 2,4 ; e’ = 8,61 cm ; G2 = 2,16.
VIII Le grossissement en optique : étude d’une lunette astronomique On considère une lunette astronomique formée :
* d’un objectif constitué d’une lentille mince convergente L1 de distance focale image 𝑓′!= 𝑂####### > 0. !𝐹′!
* d’un oculaire constitué d’une lentille mince convergente L1 de distance focale image 𝑓′"= 𝑂####### > 0. "𝐹′"
Ces deux lentilles ont même axe optique D.
On rappelle qu’un œil normal voit net un objet sans accommoder quand celui-ci est placé à l’infini.
On souhaite observer la planète Mars, qui est vue à l’œil nu sous un diamètre apparent a.
1) Pour voir la planète nette à travers la lunette, on forme un système afocal.
a) Que cela signifie-t-il ? Que cela implique-t-il pour les positions des lentilles ? b) Faire le schéma de la lunette en prenant 𝑓′!= 5𝑓′".
Dessiner sur ce schéma la marche à travers la lunette d’un faisceau lumineux formé de rayons issus de l’étoile. On appellera 𝐴′𝐵′###### l’image intermédiaire.
c) On souhaite photographier cette planète. Où faut-il placer la pellicule ?
2) On note a’ l’angle que forment les rayons émergents extrêmes en sortie de la lunette.
a) L’image est-elle droite ou renversée ?
b) La lunette est caractérisée par son grossissement G = a’/ a. Exprimer G en fonction de 𝑓′! et 𝑓′".
c) Le principal défaut d’une lentille est appelé défaut d’aberrations chromatiques : expliquer brièvement l’origine de ce défaut et ses conséquences. Pour quelle raison un miroir n’a-t-il pas ce défaut ?
3) On veut augmenter le grossissement de cette lunette et redresser l’image. Pour cela, on interpose entre L1 et L2 une lentille convergente L3 de distance focale 𝑓′6= 𝑂####### > 0. 6𝐹′6
L’oculaire L2 est déplacé pour avoir de la planète une image nette à l’infini à travers le nouvel ensemble optique.
a) Quel couple de points doit conjuguer L3 pour qu’il en soit ainsi ?
b) On appelle g3 le grandissement de la lentille L3. En déduire 𝑂#######6𝐹′! en fonction de 𝑓′6 et g3.
c) Faire un schéma (on placera O3 entre F’1 et F2, et on appellera ######𝐴′𝐵′ la première image intermédiaire et 𝐴"𝐵"###### la seconde image intermédiaire).
d) En déduire le nouveau grossissement G’ en fonction de g3 et G. Comparer à G, en norme et en signe.
Réponse : F’1 = F2 soit O1O2 = f’1 + f’2 ; image renversée ; 𝐺 = −*.*.#
! ; 𝑂####### =6𝐹′! !)77 $
$ 𝑓′6 ; G’ = g3 G.
IX Doublet
On étudie un doublet comportant deux lentilles L1 et L2, de centres O1 et O2 représenté sur la feuille 1.
Sur la gauche un rayon incident pénètre dans le système et émerge sur la partie droite, comme indiqué sur la figure.
Un carreau correspond à un centimètre.
1) Compléter sur la feuille 1 le trajet du rayon lumineux.
2) En déduire la nature de chacune des deux lentilles (convergente ou divergente ?).
3) Soient F1 et F’1 les foyers objet et image de la lentille L1, F2 et F’2 les foyers objet et image de la lentille L2. Trouver graphiquement la position de ces foyers. Préciser les valeurs algébriques 𝑂#######!𝐹′! et 𝑂#######"𝐹′".
4) Qu’appellent-on foyer objet F, foyer image F’ d’un système optique ?
Trouver graphiquement la position de ces foyers. Préciser les valeurs algébriques 𝑂#####!𝐹 et 𝑂######!𝐹′. On choisira une couleur pour chaque trajet réel des rayons lumineux.
5) Si 𝑂#######!𝐹′! = + 4 cm, 𝑂#######"𝐹′" = - 2 cm et 𝑂#######!𝑂" = + 7 cm, déterminer par le calcul les valeurs algébriques 𝑂#####!𝐹 et 𝑂######!𝐹′.
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Réponse : L1 convergente ; L2 divergente ; 𝑂#######!𝐹′! = + 3,8 cm ; 𝑂#######"𝐹′" = - 2 cm ; 𝑂#####!𝐹 = - 6,7 cm ; 𝑂######"𝐹′ = - 1,2 cm ; 𝑂#####!𝐹 = - 7,2 cm ; 𝑂!𝐹′
###### = + 5,8 cm.
X Étude sommaire d’un appareil photo jetable
Les appareils photos jetables sont conçus pour ne servir qu’une seule fois. Ils sont donc de conception très simple afin que le prix de revient soit le plus bas possible.
L’objectif n’est composé que d’une seule lentille mince (L), de diamètre utile DL, et la pellicule se situe à une distance d fixe de la lentille. Aucune mise au point n’est possible, c’est-à-dire que la distance est fixée lors de la fabrication et n’est pas modifiable par l’utilisateur. Nous travaillerons dans les conditions de Gauss.
1)
a) Rappeler en quoi consistent les conditions de Gauss ainsi que leurs avantages et leurs inconvénients.
b) Comment fait-on en pratique pour travailler dans les conditions de Gauss ? 2)
a) En fonctionnement usuel, les objets et les images données par L sur la pellicule sont réels.
En s’intéressant à la nature convergente ou divergente du faisceau incident et du faisceau émergent, déterminer la nature convergente ou divergente de la lentille L servant d’objectif.
Par la suite sa distance focale image sera notée f’.
b) Présenter en quelques lignes la méthode dite d’auto-collimation mise en œuvre en travaux pratiques pour placer précisément une source lumineuse au foyer d’une lentille convergente.
3) L’objet à photographier étant situé à l’infini, déterminer la valeur de la distance d qu’il faut prévoir lors de la fabrication pour que son image soit nette sur la pellicule.
4)
a) Quelle est alors la dimension X, sur la pellicule, de l’image de la Lune qui a un diamètre apparent (on pourra s’aider d’une construction pour répondre).
b) Faire l’application numérique avec f’ = 3,0 cm et a = 0,5°.
5) Un objet ponctuel A, qui n’est pas situé à l’infini, a son image en dehors du plan de la pellicule et donne sur la pellicule une tache de diamètre DA’. Soit dA la distance entre le point A et la lentille (dA est une distance et donc positive).
a) Exprimer OA’ en fonction de f’ et dA.
b) Montrer que l’expression de DA’ en fonction de DL (diamètre utile de la lentille), f’ et dA est : 𝐷&.= 𝐷8-*.
%.
6) La pellicule est formée de grains que l’on supposera circulaires et de même diamètre e. Une image, après développement de la pellicule, paraît nette si un point objet n’a éclairé qu’un seul grain et a donc donné, sur la pellicule, une tache de diamètre inférieur ou égal à e.
Sachant que f’ = 3,9 mm, que DL = 2,0 mm et que e = 15 µm, calculer numériquement la position du point A (donnée par dA) le plus proche qui est encore net après traitement.
7) Afin de pouvoir diminuer dA, on augmente, lors de la fabrication, la distance d afin qu’un point à l’infini soit à la limite de netteté (il donne donc une tache de diamètre e sur la pellicule).
a) Faire un schéma du dispositif montrant la tache donnée par l’objet à l’infini.
b) Déterminer d et faire l’application numérique.
c) Déterminer la nouvelle distance dA correspondant au point le plus près donnant lui aussi une tache de diamètre e sur la pellicule et faire l’application numérique.
2021 – 2022 7/12
Réponse : lentille convergente ; d = f’ ; X = a f’ ; 𝑂𝐴′##### =--%*.
%)*. ; dA = 3 m ; 𝑑 = 𝑓′ ;1 +:9
&= = 3,03 cm ; 𝑑&=*.";1 +:9&= = 1,515 m.
XI Réfraction
Un solide transparent d’indice de réfraction n1, est plongé dans un liquide transparent d’indice de réfraction n2. Un faisceau lumineux, en incidence normale, vient éclairer le solide, et après la traversée de celui-ci, illumine un écran situé sous le solide.
1) En reproduisant fidèlement la figure ci-dessus, tracer l’allure du prolongement des rayons réfractés issus de A, B, C et D, jusqu’à l’écran, dans le cas où l’indice de réfraction n1 est supérieur à n2, puis dans le cas où l’indice de réfraction n1 est inférieur à n2. On ne tiendra pas compte des rayons réfléchis.
En déduire les zones de plus forte et de plus faible intensité lumineuse sur l’écran.
2) Application
Un collectionneur de gemmes possède trois petites pierres transparentes et incolores : une moissanite, un zircon et un morceau de verre à fort indice (flint), ainsi qu’un flacon d’iodure de méthylène liquide. Les propriétés physiques de ces quatre substances sont résumées dans le tableau ci-dessous :
Substance Masse volumique (kg/m-3) Indice de réfraction
Zircon 4690 1,95
Moissanite 3210 2,70
Verre flint 3740 1,64
Iodure de méthylène 3330 1,75
Les trois pierres ont été interverties, si bien que leur propriétaire doit conduire une série d’expériences pour les reconnaître.
a) L’immersion des trois pierres dans l’iodure de méthylène, permet de reconnaître immédiatement l’une des trois pierres.
Laquelle ?
b) Les deux pierres restantes sont posées sur un morceau de verre dépoli, recouvertes d’iodure de méthylène, puis éclairées depuis le haut. Un miroir incliné situé sous le verre dépoli permet d’observer le verre dépoli par en dessous (figure ci-dessous à gauche). La pierre numéro 1 est entourée d’un contour brillant, et ses arêtes vives sont sombres. La pierre numéro 2 est entourée d’un contour sombre, et les arêtes paraissent brillantes (figure ci-dessous à droite). Identifier les pierres numéro 1 et numéro 2.
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Réponse : on reconnaît la moissanite par immersion ; pierre n°1 : flint et pierre n°2 : zircon.
XII Capture d’empreintes digitales par réflexion totale frustrée
Il existe différentes technologies de capteurs d’empreinte digitale, c’est-à-dire de dispositifs permettant d’obtenir une image numérisée d’une empreinte digitale, le plus souvent à des fins d’identification. Certaines de ces technologies sont embarquées dans des smartphones. La technologie dite « capteur optique d’empreinte digitale » est très employée, elle repose sur le phénomène de réflexion totale frustrée qui est l’objet de cette étude.
Le doigt est posé à plat sur l’hypoténuse d’un prisme droit isocèle taillé dans un verre d’indice optique noté 𝑛. Il est éclairé par une diode laser de longueur d’onde 𝜆0 dans le vide. L’image de l’empreinte digitale à travers un système optique est formée sur un capteur CCD puis numérisée. La figure 2 décrit le schéma de principe de ce dispositif.
Figure 1 Capteur d’empreinte digitale (Wikimedia, Rachmaninoff, 2009-10-21)
Figure 2 Principe d’un capteur optique d’empreinte digitale
En première approche, le système optique se résume à la traversée d’un dioptre (𝒟) et d’une lentille convergente (ℒ) (figure 3). Si 𝐴 est un point objet de l’empreinte digitale, alors on note 𝐴1 l’image de 𝐴 à travers le dioptre (𝒟) et 𝐴′1 celle de 𝐴1 à travers la lentille (ℒ) :
𝐴(:)BC 𝐴!(8)BC 𝐴′! On définit également les longueurs algébriques suivantes :
𝐷!= 𝐴#######!𝐴′!, 𝐷 = 𝐴𝐴′######!, 𝑝 = 𝑂𝐴#####!, 𝑝′ = 𝑂𝐴′######!.
Figure 3 Schéma optique
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1) Conception du système optique
L’objectif ici est de choisir la distance focale 𝑓′ de la lentille et sa position, par exemple en déterminant 𝑝′.
À cet effet, on donne 𝑛 = 1,5, 𝐿 = 3,0 cm, 𝐷 = 10 cm et le grandissement transversal 𝛾 = 𝑝′/𝑝 du système optique.
Q 0. Définir les conditions de Gauss et préciser leur intérêt pour les systèmes optiques centrés.
Q 1. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison entre 𝐴 et 𝐴1 par le dioptre plan formé par la face de sortie du prisme s’écrit 𝐻𝐴###### =! ,!𝐻𝐴####.
Ce résultat pourra être utilisé par la suite même s’il n’a pas été démontré.
Figure 4
Q 2. Exprimer 𝑝 et 𝑝′ en fonction de 𝐷1 et de 𝛾. Déterminer alors 𝑓′ en fonction de 𝐷1 et de 𝛾 à l’aide de la formule de conjugaison de Descartes : ;.! −!;=*.!.
Q 3. On souhaite déterminer la condition portant sur la distance focale 𝑓′ d’une lentille convergente si l’on veut former l’image réelle sur un écran situé à une distance 𝐷1 d’un objet réel. En remarquant qu’il faut 𝛾 < 0 pour obtenir une image réelle d’un objet réel, montrer que le rapport 𝐷1/𝑓′ est inférieurement borné. Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction 𝑓(𝛾) =:*.#.
En déduire l’inégalité vérifiée par 𝑓′.
Q 4. Applications numériques. On suppose 𝛾 = −2,0.
Donner l’expression littérale et la valeur numérique de D1.
En déduire l’expression littérale et la valeur numérique de p’ (distance entre la lentille et l’écran).
Donner alors l’expression littérale de la distance focale f’ de la lentille en fonction de g et D1. Faire l’application numérique.
Q 5. On souhaite avoir une image la plus agrandie possible (|𝛾| maximal), mais sans augmenter l’encombrement du dispositif, ce qui impose de ne pas augmenter la longueur 𝐷1. Dans quel sens faut-il faire varier 𝑓′ ?
En pratique, quelle limitation rencontre-t-on ?
2) Résolution de l’image
Dans cette sous-partie, on fait abstraction du prisme, on considère que l’empreinte est positionnée en 𝐴1 au lieu de 𝐴.
Une empreinte digitale est faite de sillons de profondeur moyenne 𝑒 = 30 μm et dont deux crêtes voisines parallèles sont distantes de 𝑎 = 0,10 mm. On note 𝑙𝑐 la largeur d’un pixel (considéré comme étant de forme carrée) du capteur CCD. On cherche à obtenir l’image des crêtes du sillon sur le capteur CCD : la lentille conjugue le plan des crêtes, où se situe 𝐴1, à l’écran CCD (figure 5).
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Sur la figure 6, les points 𝑀1, 𝑀2 et 𝑀3 détaillent le motif de l’empreinte et leurs images respectives 𝑀′1, 𝑀′2 et 𝑀′3 détaillent l’image de l’empreinte. On remarque que le point 𝑀′2 ne se forme pas tout à fait sur la surface du CCD, les rayons lumineux délimités par la monture de la lentille viennent former une petite tache circulaire de diamètre 𝜙.
On note 𝑝′ la distance entre la lentille et la surface du CCD et |𝑝| avec 𝑝 < 0, la distance entre la lentille et le plan formé par les points objets 𝑀1 et 𝑀3. On note alors 𝛾 = 𝑝′/𝑝 le grandissement entre les couples de points conjugués (𝑀1, 𝑀′1) et (𝑀3, 𝑀′3).
On a 𝛾 = −2,0.
Q 6. À quelle condition sur 𝑎 et sur 𝑙𝑐 peut-on distinguer deux crêtes successives ? Quelle taille de pixel recommandez-vous ?
Figure 5
Figure 6 Formation de l’image d’un sillon d’empreinte digitale
Q 7. On note 𝑑 le diamètre de la monture de la lentille (ℒ). Montrer que 𝜙 = 𝛾𝑑;< dans l’approximation 𝑒 ≪ |𝑝|.
En notant 𝑒′ la distance de 𝑀′2 à la surface du capteur CCD, on pourra montrer 𝑒′ ≈ 𝛾2𝑒 si de plus 𝑒’ ≪ |𝑝’|.
On rappelle que !'=! ≈ 1 − 𝑥 pour |x| << 1.
Q 8. On voudrait que seules les crêtes soient nettes sur l’image et donc que les creux apparaissent flous.
Pour cela, il faudrait que le diamètre 𝜙 de la tache excède la distance 𝑀′1𝑀′3. Quelle inégalité doit alors vérifier le diamètre 𝑑 de la monture ? Montrer, en argumentant sur les ordres de grandeur, que c’est contraire au respect des conditions de Gauss.
3) Réflexion totale
Un montage simple avec une lentille ne permet donc pas de capturer facilement les empreintes digitales de sorte que seules les crêtes apparaissent sur l’image. On reprend donc le dispositif complet, incluant le prisme.
Q 9. Énoncer soigneusement les lois de Snell-Descartes.
Q 10. Définir la réflexion totale et en donner les conditions.
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Q 11. Étant donné la position de l’empreinte digitale, si on s’en tient strictement à l’énoncé des lois de Descartes, peut-on éclairer le doigt, afin de former son image sur le capteur CCD ? On rappelle que 𝑛 = 1,5.
Dans le montage proposé, la lentille permettra d’obtenir l’image du doigt sur l’écran du CCD. Néanmoins, il faut aborder l’optique ondulatoire pour comprendre comment le doigt est éclairé au travers du prisme …
À suivre …
Réponse : p =?)!>#: p′ =?>?)!#; f.= −(?)!)?>#!; D1 ≥ 4f’; D1 = L/n – L + D = 9,0 cm; p’ = 6,0 cm; f’ = 2,0 cm; il faut f’ petite; |𝛾|𝑎 > 𝑙@; lc < 200 mm; 𝑑 > 3|𝑝| soit un angle de 72° !; i > ilim = 42°.
XIII Découverte de Proxima du Centaure
Donnée : Distance Terre – Soleil : DTS = 1,50.108 km
Partie A – Première observation de l’étoile
L’étoile Proxima Centauri a été découverte en 1915 par l’astronome britannique Robert Innes, alors directeur de l’observatoire de l’Union à Johannesburg en Afrique du Sud. C’est une étoile de type naine rouge, de masse 𝑀𝐸 = 2,44×1029 kg et de rayon 𝑅𝐸 = 9,81×104 km. Elle est située à 𝐷𝐸 = 3,99×1013 km soit 4,22 années-lumière du Soleil.
Dans la suite du sujet, toutes les applications numériques seront faites à la longueur d’onde moyenne du visible 𝜆obs = 600 nm.
1) Justifier, par un argument d’ordre de grandeur, que la distance entre la Terre et Proxima du Centaure peut être approximée à 4,22 années-lumière.
Pour voir l’étoile Proxima Centauri, un instrument d’optique est utilisé. Il est modélisé dans la suite par deux lentilles :
— une lentille convergente 𝐿1 objectif, de centre optique 𝑂1, de foyer principal objet 𝐹1, de foyer principal image 𝐹′1 et de distance focale image 𝑓′1 = 8,00 m ;
— une lentille divergente 𝐿2 de projection, de centre optique 𝑂2, de foyer principal objet 𝐹2, de foyer principal image 𝐹′2 et de distance focale image 𝑓′2 = –0,02 m.
Si le point objet 𝐴 et le point image 𝐴′ sont conjugués par la lentille 𝐿 de focale 𝑓′ et de centre 𝑂, d’après la formule de Descartes on a
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00000−%&0000! =*.! et le grandissement transversal est 𝛾 =&./.000000&/0000 =%&.00000%&0000. L’instrument d’optique est pointé vers l’étoile Proxima Centauri.
2) Où est située l’image de l’étoile par la lentille 𝐿1, appelée image intermédiaire 𝐴1𝐵1 ? Illustrer cette situation par un schéma.
3) Déterminer l’expression de la taille de cette image intermédiaire 𝐴1𝐵1 (non algébrique, et correspondant à la moitié de la taille de l’image de l’étoile) en fonction du rayon 𝑅𝐸 de l’étoile et des caractéristiques de la lentille objectif 𝐿1.
4) La lentille de projection 𝐿2, divergente, sert à faire de l’image intermédiaire 𝐴1𝐵1 une image définitive 𝐴′𝐵′, réelle, non inversée et agrandie d’un facteur 4. Calculer la distance 𝑂1𝑂2 pour respecter ces contraintes.
5) Reproduire sur la copie et compléter le schéma ci-dessous : construire l’image A’B’ de A1B1 à travers L2.
2021 – 2022 12/12
6) En 1915, l’image définitive 𝐴′𝐵′ de l’étoile se formait sur une plaque photographique de dimension 24 mm × 36 mm, composée de cristaux de 10 μm de chlorure d’argent, précipité blanc qui noircit à la lumière.
L’image définitive de l’étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle ou étendue sur la plaque photo ?
7) À l’occasion du centenaire de la découverte de Proxima du Centaure, en 2015, la photo de l’étoile a été reprise avec l’instrument d’optique de l’époque mais la plaque photographique a été remplacée par un capteur CCD (Charge Coupled Device) de 100 millions de pixels, de taille identique à la plaque photo originelle. L’image définitive de l’étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle ou étendue sur le capteur photosensible ?
8) Sachant que la puissance surfacique reçue sur Terre de Proxima du Centaure dans le visible est de 10-8 W⋅m−2 et que la lentille d’entrée de l’instrument est de diamètre 𝐷1 = 50 cm, de combien d’électrons sera composé le signal résultant de l’étoile pour une exposition de 12 minutes du capteur ? Quelle est la charge produite par le capteur ?
9) La diffraction par la lentille d’entrée 𝐿1 est-elle gênante pour les observations ?
Partie B – Mesure de la distance entre la Terre et l’étoile
La parallaxe est l’effet du changement de position de l’observateur sur ce qu’il perçoit.
La parallaxe annuelle est, par définition, l’angle qui mesure le déplacement, au cours de l’année, de la position apparente, perçue depuis la Terre, d’une étoile proche par rapport aux étoiles lointaines.
Schéma explicatif de la mesure de parallaxe solaire
Sur la figure, deux instants d’observation sont représentés par 𝑂1 et 𝑂2.
Le satellite Hipparcos (High Precision Parallaxe Collection Satellite) a mesuré la parallaxe de 𝑃𝐸 = 1545 millisecondes d’arc pour Proxima Centauri (on rappelle qu’une seconde d’arc est le soixantième de minute d’arc, cette dernière correspondant au soixantième de degré).
10) Calculer, à partir de cette valeur de la parallaxe 𝑃𝐸, la distance séparant l’étoile Proxima Centauri du système solaire et comparer à la valeur donnée au début de cette partie.
11) Pourquoi la distance entre la Terre et le Soleil varie-t-elle au cours de l’année ?
Réponse : DE >> DTS ; A1B1 en F’1 ; A1B1 = RE.f’1/DE = 2.10-8 m ; 𝑂####### = 7,99𝑚 ; 2.A’B’ = 0,2 !𝑂" µm < 10 µm donc image ponctuelle ; 2.A’B’ < 3 µm (taille d’un pixel) donc image ponctuelle ; -2.10-7 C ; taille de la tache centrale de diffraction = 40 µm donc gênante ; DE = 2.DTS/PE = 4.1013 km ; trajectoire elliptique.
L2 (f’2)
O2 F2
F’2
A1
B1
