Familles de vecteurs

Familles de vecteurs

Jérôme Feret

DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 10/11/15 Février 2016

1 Familles libres

Définition 1.1. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble. Une famille(u_i)_i∈I d’éléments de E est dite libre si et seulement si pour tout ensemble fini J ⊆I et toute famille de scalaire(λj)_j∈J, on a :

X

j∈J

λj•uj= 0E⇔ ∀j∈J, λj= 0.

Définition 1.2. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel etf une famille d’éléments de E. On dit quef est liée si et seulement si elle n’est pas libre.

Remarque 1.1. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble fini. Une famille (ui)_i∈I ∈ E^I d’éléments de E est libre si et seulement si pour tout toute famille de scalaires(λi)i∈I, on a :

X

i∈I

λi•uI = 0E ⇔ ∀i∈I, λj= 0.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble fini. Une famille(ui)i∈I ∈E^Id’éléments deE.

— (⇒) Si(ui)i∈I est libre.

I est un sous-ensemble fini deI.

Puis par la définition 1.1, pour tout toute famille de scalaires(λ_i)_i∈I, on a :P

i∈Iλ_i•u_i= 0_E⇔ ∀i∈ I, λ_j= 0.

— (⇐) On suppose que pour tout toute famille de scalaires (λ_i)_i∈I, on a : P

i∈Iλ_i•u_i = 0_E ⇔ ∀i ∈ I, λ_j= 0.

SoitJ un sous ensemble fini de I.

Soit(λj)_j∈J∈K^J une famille de scalaire.

On pose pouri∈I\J,λi= 0.

On a :

∀j∈J, λj= 0⇔ ∀i∈I, λi= 0, puisque pour touti∈I\J,λi= 0. Et, par hypothèse,

∀i∈I, λ_i = 0⇔X

i∈I

λ_i•u_i= 0_E. Donc :

∀j∈J, λ_j = 0⇔X

i∈I

λ_i•u_i = 0_E Or :

X

i∈I

λi•ui=X

j∈J

λj•uj

Donc :

∀j∈J, λj= 0⇔X

j∈J

λj•uj = 0E. Puis, par la définition 1.1,(ui)i∈I est une famille libre.

2

Propriété 1.1. Si(E,+,•)est unK-espace vectoriel, alors les familles libres ne contiennent pas l’élément 0_E.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble et(ui)_i∈I ∈E^I une famille d’éléments deEindexée parI. On suppose qu’il existe un indicei0∈Itel queui₀ = 0E. Alors1•ui₀ est une combinaison linéaire d’éléments de(ui)_i∈I avec un coefficient non nul (1). Or1•ui₀= 1•0E, puis,1•ui₀= 0E. Donc la famille(ui)_i∈I est liée dansE.

2

Exemple 1.1. Si (E,+,•)est un K-espace vectoriel, alors toute famille formée d’un élément deE\ {0E} est libre.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un singleton {i0} et (ui)i∈I ∈E^I une famille d’un élément deE indexée parI. On suppose queu_i0 6= 0E. SoitJ ⊆I, et(λ_j)_j∈J ∈E^J une famille de scalaires indexée parJ telle queP

j∈Jλ_j•u_j= 0_E. 1. SiJ =∅, alors pour toutj∈J,λ_j= 0.

2. Sinon,J ={i0}, puis,λi0•ui0 = 0E. Donc,λi0 = 0ouui0 = 0E, puis, commeui0 6= 0E,λi0 = 0.

Donc dans tous les cas, pour toutj∈J,λj= 0.

Puis, la famille(ui)i∈I est libre.

2

Exemple 1.2. La famille((1,1,0),(−1,1,0)) est libre dans(R³,+,^. ·).^.

Preuve Soientλ∈Retµ∈Rtels queλ^.·(1,1,0)+^. µ·^.(−1,1,0) = (0,0,0).

On a sur la première coordonnée :λ−µ= 0; et sur la seconde coordonnée :λ+µ= 0.

Ainsi :

(λ−µ= 0 λ+µ= 0.

Puis par substitution :

(λ=µ 2·µ= 0.

Puis :

(λ= 0 µ= 0.

Ainsi la famille((1,1,0),(−1,1,0))est libre dans (R³,+,^{. .}·).

2

Exemple 1.3. La famille((1,1,0),(−1,1,0),(2,3,0)) est liée dans(R³,+,^{. .}·).

Preuve On a :

(−5)^.·(1,1,0) + (−1)^.·(−1,1,0) + 2^.·(2,3,0) = ((−5) + (−1)·(−1) + 2·2,(−5) + (−1) + 2·3,0) (−5)^.·(1,1,0) + (−1)^.·(−1,1,0) + 2^.·(2,3,0) = (−5 + 1 + 4,−5−1 + 6,0)

(−5)^.·(1,1,0) + (−1)^.·(−1,1,0) + 2^.·(2,3,0) = (0,0,0) Donc la famille((1,1,0),(−1,1,0),(2,3,0))est liée.

2

Exemple 1.4. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(Kⁿ,+,^.

·

). l’espace vectoriel desn-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille(δ^k)_1≤k≤n de vecteurs telle queδk a toutes ses coordonnées égales à 0, sauf la k-ième coordonnée qui vaut1 est libre.

Preuve Soit(λk)_1≤k≤n∈Kⁿ une famille de scalaires telle quePn k=1λk

.·δ^k= (0)_1≤k≤n. Soitj∈Ntel que1≤j≤n, on a sur laj-ième coordonnée,Pn

k=1λk·δ^k_j = 0. Orδ_j^k = 0pour toutk tel quej 6=k. Puis λk·1 = 0etλk= 0. Donc la famille(δ^k)_1≤k≤n est libre.

2

Propriété 1.2. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈E^I une famille libre d’éléments de E indexée parI. SoitJ un sous ensemble de I. Alors, la famille(uj)_j∈J est libre.

Preuve Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble et (ui)_i∈I ∈ E^I une famille libre d’éléments deE indexée parI. SoitJ un sous ensemble deI.

Montrons que(uj)j∈J est une famille libre.

SoitK un sous ensemble fini deJ et (λk)k∈K ∈K^K une famille de scalaires indexée parK. CommeJ ⊆I, K est un sous ensemble fini deI. Donc, par la définition 1.1, P

k∈Kλk•uk = 0E ⇔ ∀k∈K, λk = 0. Puis, par la définition 1.1, la famille(u_j)_j∈J est libre.

2

Propriété 1.3. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (u_i)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit σune bijection de I dans I. Soit (v_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments de E définie par :

n

v_i ^∆=u_σ(i).

Alors, la famille(ui)_i∈I est libre si et seulement si la famille(vi)_i∈I est libre.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un ensemble. Si(ui)_i∈I ∈E^I une famille d’éléments deE indexée parI. Soitσune bijection deIdansI. Soit(vi)_i∈∈E^I la famille d’éléments deEdéfinie par :

n

v_i=^∆u_σ(i).

— (⇒)On suppose que la famille(ui)i∈I est libre.

Montrons que la famille(vi)i∈I est libre.

Soit J un sous-ensemble fini de I et (λ_j)_j∈J ∈ K^J une famille de scalaires indexée par J tel que :P

j∈Jλ_j•v_j = 0_E. Il faut montrer que pour toutj ∈J,λ_j = 0.

Pourj∈J, on a : v_j=u_σj. DoncP

j∈Jλ_j•u_σj. Puis, commeσest une bijection, on peut faire le changement de variablej⁰=σ(j).

D’oùP

j⁰∈{σ(j)|j∈J}λ_σ−1(j⁰)•u_j⁰. Or l’ensemble {σ(j)|j∈J} est fini et la famille(u_i)_i∈I est libre, donc par la définition 1.1, on a : pour j⁰ ∈ {σ(j) | j ∈ J}, λ_σ−1(j⁰) = 0. Puis en posant j ∈ J, λ_σ−1(σ(j))= 0, etλj= 0.

Ainsi, par la définition 1.1, la famille(vi)_i∈I est libre.

— (⇐) On suppose que la famille(vi)i∈I est libre.

Alors la famille(ui)i∈I en appliquant le point précédent en remplaçant(ui)i∈I par(vi)i∈I et récipro- quement, puis en remplaçantσparσ⁻¹.

2

Propriété 1.4. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (u_i)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit λ ∈ K tel que λ 6= 0 et i₀ ∈ I un élément de I. Soit (v_i)_i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(v_i0=^∆λ•u_i0 vi

∆=ui pouri∈I\ {i0}.

Alors, la famille(u_i)_i∈I est libre si et seulement si la famille(v_i)_i∈I est libre.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un ensemble. Si(u_i)_i∈I ∈E^I une famille d’éléments deEindexée parI. Soitλ∈Ktel queλ6= 0eti₀∈Iun élément deI. Soit(v_i)_i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆λ•ui₀

v_i=^∆u_i pouri∈I\ {i0}.

— (⇒) On suppose que la famille(ui)_i∈I est libre.

Montrons que la famille(vi)_i∈I est libre.

Soit J un sous-ensemble fini de I et (λj)_j∈J ∈ K^J une famille de scalaires indexée par J tel que :P

j∈Jλj•vj = 0E. Il faut montrer que pour toutj ∈J,λj = 0.

On pose, pourj∈J,λ⁰_j=^∆λj sij6=i0, etλ⁰_j=^∆λ·λj sij=i0. On a donc :P

j∈Jλ⁰_j•uj= 0.

Or la famille(ui)_i∈I est libre, donc par la définition 1.1, on sait que, pour toutj ∈J, λ⁰_j = 0.

Puis pourj∈J,

— sij6=i0,

λ⁰_j=λj, puisλj= 0;

— sij=i0,

λ⁰_j=λ·λj etλ6= 0, doncλj= 0; donc dans les deux cas,λ_j = 0.

Puis par la définition 1.1, la famille(v_i)_i∈I est libre.

— (⇐) On suppose que la famille(v_i)_i∈Iest libre. On montre que la famille(u_i)_i∈I est libre en appliquant le point précédent en remplaçant la famille (u_i)_i∈I par la famille (v_i)_i∈I et réciproquement, et en remplaçantλpar son inverse (puisqueλ6= 0).

2

Propriété 1.5. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soient i0 ∈ I et j0 ∈ I deux éléments de I. Soit (vi)_i∈ ∈ E^I la famille d’éléments de E définie par :

(v_i0 =^∆u_i0+u_j0 vi

=∆ui pour i∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)i∈I est libre si et seulement si la famille(vi)i∈I est libre.

Preuve SoitI un ensemble. Si (ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments deE indexée par I. Soienti0 ∈I etj0∈Ideux éléments deI. Soit(vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

v_i=^∆u_i+δⁱ_i

0·u_j0 pour i∈I.

1. sii0=j0, (ui)i∈I est libre si et seulement si(vi)i∈I est libre d’après la propriété 1.4 (avecλ= 2).

2. on suppose quei06=j0:

(a) (⇒) On suppose que la famille(u_i)_i∈I est une famille libre.

SoitJ ⊆Iun sous-ensemble fini de I.

Soit(λ_i)_i∈J∈K^J une famille de scalaires indexée parJ, telle queP

i∈Jλ_i•v_i= 0_E. On a doncP

i∈Jλi•(ui+δ_iⁱ

0·uj₀) = 0E. Puis,λi₀·uj₀+P

i∈Jλi•ui= 0E. Puis,P

i∈J(λi+δⁱ_j

0·λi₀)·ui= 0E.

Comme(ui)_i∈I est libre dans (E,+,•), pour touti∈J, λi+δ_jⁱ₀·λi₀ = 0.

Donc pouri∈J\ {j0}, λi= 0.

De plus, on a :λj₀+λi₀ = 0.

Commej06=i0, on aλi0 = 0, doncλj0 = 0. Puis,(vi)i∈I est une famille libre de(E,+,•).

(b) (⇐) On suppose que la famille(vi)_i∈I est une famille libre.

SoitJ ⊆Iun sous-ensemble fini de I.

Soit(λi)_i∈J∈K^J une famille de scalaires indexée parJ, telle queP

i∈Jλi•ui= 0E. On a doncP

i∈Jλi•(vi−δⁱ_i0·uj₀) = 0E. Or vj₀ =uj₀ cari06=j0.

DoncP

i∈Jλi•(vi−δⁱ_i0·vj₀) = 0E. Puis,P

i∈J(λi−δ_jⁱ₀·λi₀)·vi= 0E. Comme(v_i)_i∈I est libre dans(E,+,•), pour touti∈J,λ_i−δⁱ_j

0·λ_i0 = 0.

Donc pouri∈J\ {j0}, λ_i= 0.

De plus, On a : λ_j0−λ_i0 = 0, doncλ_j0 = 0. Puis(u_i)_i∈I est une famille libre de(E,+,•).

2

Propriété 1.6. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. Soitλ∈K. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI tels que i06=j0. Soit (vi)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆ui₀+λ•uj₀

v_i=^∆u_i pouri∈I\ {i₀}

Alors, la famille(ui)i∈I est libre si et seulement si la famille(vi)i∈I est libre.

Preuve On définit la famille(w_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE défine par : (wj₀

=∆λ•uj₀

w_i=^∆u_i pouri∈I\ {j0} Puis, la famille(w_i⁰)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(w⁰_i

0

=∆wi₀+wj₀

w⁰_i=^∆wi pouri∈I\ {i0} Et, la famille(w⁰_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :





 w_j⁰⁰

0

=∆ ¹ λ •w_j⁰

0

w_i⁰⁰=^∆w⁰_i pouri∈I\ {j0} puis la famille(ui)_i∈I est libre dans(E,+,•),

si et seulement si, par la propriété 1.4, la famille(wi)_i∈I est libre dans(E,+,•),

si et seulement si, par la propriété 1.5, la famille(w_i⁰)i∈I est libre dans(E,+,•), si et seulement si, par la propriété 1.4, la famille(w”i)i∈I est libre dans(E,+,•).

Or, pouri∈Ion a : 1.

w⁰⁰_i

0 =w_i⁰

0 (cari₀6=j₀)

w⁰⁰_i

0 =w_i0+w_j0 w⁰⁰_i

0 =u_i0+λ•u_j0 (cari₀6=j₀) w⁰⁰_i

0 =vi₀

2.

w⁰⁰_j

0 = ¹

λ·w⁰_j

0

w⁰⁰_j0 = ¹

λ·w⁰_j0 (carj06=i0) w⁰⁰_j

0 = ¹

λ·(λ•u_j0) w⁰⁰_j

0 =uj₀

w⁰⁰_j0 =vj0 (carj06=i0) 3. et pouri∈I\ {i0, j0}:

w_i⁰⁰=w⁰_i (cari6=j₀) w_i⁰⁰=w_i (cari6=i₀) w_i⁰⁰=u_i (cari6=j₀) w_i⁰⁰=v_i (cari6=i₀)

Ainsi(u_i)_i∈I est libre dans(E,+,•)si et seulement si(v_i)_i∈I est libre dans(E,+,•).

2

Propriété 1.7. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)_1≤i≤m ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs du K-espace vectoriel (Kⁿ,+,^. ·). Si pour tout^. i entre 1 et m, il existe une coordonnée ji telle que pour tout indicei⁰ entre1etm, la ji-ième coordonnée deui⁰ soit égale à0si et seulement si i⁰6=i, alors la famille (ui)_1≤i≤mest libre.

Preuve Soient(λi)1≤i≤m∈K^mune famille demscalaires tels quePm i=1λi

•. ui= (0)1≤j≤n. Soitientre1et m.

Soitji entre1etntel que pour touti⁰ entre1etmon ait : laji-ième cordonnée deui⁰ soit égale à zéro si et seulement sii6=i⁰.

On a :Pm

i=1λ_i•^. u_i= (0)_1≤j≤n.

Donc, selon laj_i-ième coordonnée, on obtient : λ_i•u_i= 0.

Puis, comme u_i6= 0, λ_i= 0.

Donc la famille(u_i)_1≤i≤n est libre.

2

Algorithme 1.1. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)_1≤i≤n ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs de Kⁿ. On noteui,j la j-ième coordonnée du i-ième vecteur de la famille(ui)_1≤i≤m. L’algorithme suivant permet de décider si (ui)_1≤i≤mest libre, ou liée.

Prendrep←0.

1. si p=m alors la famille est libre.

2. si p < met s’il pour toutq entre1 etn,up+1,q= 0, alors la famille est liée.

3. sinon, prendre qle plus petit entier tel queup+1,q6= 0.

4. Multiplier le vecteur up+1 par l’inverse de up+1,q.

5. Soustraire à chaque vecteurup⁰ pourp⁰6=ple vecteurup+1 multiplié parup⁰,q. 6. Prendrep←p+ 1.

7. Retourner à l’étape 1.

Preuve À l’étape 1, on peut montrer par récurrence que pour tout les vecteurs uk pour 1 ≤ k ≤p, il existe une coordonnéej_k tel queu_k0,jk = 0 pour k⁰ entre 1 et met k⁰ 6=k. De plus, les transformations effectuées sur la famille de vecteur ne modifient pas le fait d’être lié ou libre (d’après la propriété 1.4 pour l’étape4, la propriété 1.6 pour l’étape 5). Ainsi, si à l’étape 1,p=m, alors la famille satisfait la propriété 1.7, elle est donc libre. Par contre, si un vecteur est nul, d’après la propriété 1.1 la famille est liée. Dans les autres cas, on peut continuer à itérer l’algorithme.

2

Exemple 1.5. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille((1,1,0),(−1,1,0)) est libre.

Preuve La famille

(1,1,0) (−1,1,0)

est libre, si et seulement si la famille

(1,1,0) (0,2,0)

est libre (en utilisant la transformationL2←L2+L1), si et seulement si la famille

(1,1,0) (0,1,0)

est libre (en utilisant la transformationL₂←L₂/2), si et seulement si la famille

(1,0,0) (0,1,0)

est libre (en utilisant la transformationL1←L1−L2).

Or cette dernière famille est libre, par la propriété 1.7, donc la famille((1,1,0),(−1,1,0))est libre.

2

Exemple 1.6. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille((1,0,1),(−1,0,1)) est libre.

Preuve La famille

(1,0,1) (−1,0,1)

est libre, si et seulement si la famille

(1,0,1) (0,0,2)

est libre (en utilisant la transformationL2←L2+L1), si et seulement si la famille

(1,0,1) (0,0,1)

est libre (en utilisant la transformationL₂←L₂/2), si et seulement si la famille

(1,0,0) (0,0,1)

est libre (en utilisant la transformationL1←L1−L2).

Or cette dernière famille est libre, par la propriété 1.7, donc la famille((1,0,1),(−1,0,1))est libre.

2

Exemple 1.7. On peut utiliser l’algorithme 1.1 pour montrer que la famille((1,1,0),(−1,−1,0))est liée.

Preuve La famille

(1,1,0) (−1,−1,0)

est libre, si et seulement si la famille

(1,1,0) (0,0,0)

est libre (en utilisant la transformationL2←L2+L1).

Or cette dernière famille est liée, par la propriété 1.1, donc la famille((1,1,0),(−1,−1,0))est liée.

2

2 Familles génératrices

Définition 2.1. Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble. Une famille(u_i)_i∈I d’éléments de E est dite génératrice de(E,+,•)si et seulement si pour tout élémentu∈E, il existe un sous-ensemble fini J ⊆I et une famille de scalaire(λ_j)_j∈J, tels que :

X

j∈J

λj•uj =u.

Propriété 2.1. Soit(E,+,•) un K-espace vectoriel, soit I un ensemble, et soit (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. La famille(ui)i∈I est une famille génératrice de(E,+,•)si et seulement si Vect({ui|i∈I}) =E.

Preuve Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble et soit (u_i)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée parI.

1. (⇒) On suppose que(u_i)_i∈I est une famille génératrice de(E,+,•).

On sait que :Vect({u_i|i∈I})⊆E.

Montrons que :E⊆Vect({u_i|i∈I}).

Soitu∈E.

(ui)_i∈I est une famille génératrice de E.

Donc, il existeJ ⊆Iun sous ensemble fini deI et une famille(λj)_j∈J de scalaires indexée parJ, tel que :u=P

j∈Jλj•uj. Puis u∈Vect({ui|i∈I}).

D’oùE⊆Vect({ui|i∈I}).

PuisE=Vect({ui|i∈I}).

2. (⇐) On suppose queVect({ui|i∈I}) =E.

Montrons que :(ui)_i∈I est une famille génératrice de E.

Soitu∈E.

On a : u∈Vect({ui|i∈I}).

Puis, il existe J ⊆I un sous ensemble fini deI et une famille(λj)j∈J de scalaires indexée parJ, tel que :u=P

j∈Jλj•uj.

Donc(u_i)_i∈I est une famille génératrice deE.

2

Exemple 2.1. Pour tout élément non nul,λ∈K\{0}, la famille(λ)est une famille génératrice deK-espace vectoriel(K,+,·).

Preuve Soitλ∈Ktel que λ6= 0.

Soitµ∈K. On a, commeλ6= 0,µ= ^µ

λ·λ.

Donc(λ)est une famille génératrice de (K,+,·).

2

Exemple 2.2. Si (E,+,•)est un K-espace vectoriel, alors la famille (u)_u∈E de tous les vecteurs de E est une famille génératrice.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel.

Pouru∈E, on au= 1•u.

Donc(u)_u∈E est une famille génératrice de E.

2

Exemple 2.3. La famille((1,1,0),(−1,1,0),(1,1,1)) est une famille génératrice de (R³,+,^{. .}·).

Preuve Soit(x, y, z)∈R³. On a : ^x+y−2·z

2

.·(1,1,0)+^{. y−x}

2

·.(−1,1,0)+^. z·^.(1,1,1) =

x+y−2·z

2 −^y−x

2 +z,^x+y−2·z

2 +^y−x

2 +z, z

. Puis, ^x+y−2·z

2

.·(1,1,0)+^{. y−x}

2

.·(−1,1,0)+^. z^.·(1,1,1) = (x, y, z).

Donc, la famille((1,1,0),(−1,1,0),(1,1,1))est une famille génératrice de(R³,+,^. ·).^. 2

Exemple 2.4. La famille((1,1,0),(−1,1,0),(2,3,0)) n’est pas une famille génératrice de(R³,+,^. •).^.

Preuve Montrons que(0,0,1)6∈Vect({(1,1,0),(−1,1,0),(2,3,0)}).

Par l’absurde, soitλ, µ, ν∈Rtel queλ^.·(1,1,0)+^. µ^.·(−1,1,0)+^. ν ^.·(2,3,0) = (0,0,1).

Pour la troisième coordonnée, on aurait :λ·0 +µ·0 +ν·0 = 1.

Puis1 = 0, ce qui est absurde.

Donc la famille((1,1,0),(−1,1,0),(2,3,0))n’est pas une famille génératrice de(R³,+,^. ·).^. 2

Exemple 2.5. La famille des suites(δ^k)_k∈N n’est pas une famille génératrice de l’espace des suites à valeur dansR.

Preuve Montrons que la suite(n)_n∈N6∈Vect((δ^k)_k∈N). Par l’absurde, soitI un sous ensemble fini deN et(λi)_i∈I ∈K^I une famille finie de scalaire indexée parI, tel que :(n)_n∈N=P

i∈Iλi .·δⁱ. I serait une partie finie deN.

Donc il existerait un entiern0>0tel que pour touti∈I,i < n0. Au rangn0, on auraitn0=P

i∈Iλi .·δⁱ_n0. Or pouri∈I,i < n0 donci6=n0, puisδⁱ_n0 = 0.

D’où,n0= 0 (ce qui est absurde).

Donc la famille(δ^k)k∈Nn’est pas une famille génératrice des suites à valeur dansR. 2

Propriété 2.2. Soitn∈N un entier naturel. Soit I un ensemble et (ui)_i∈I une famille d’éléments deKⁿ telle qu’il existe un indicei0 ∈I tel que pour tout indicei∈I, la coordonnée i0 deui soit égale à 0. Alors la famille(ui)_i∈I n’est pas génératrice.

Preuve Soitn∈Nun entier naturel. SoitI un ensemble et (ui)i∈I une famille d’éléments de Kⁿ telle qu’il existe un indicei₀∈I tel que pour tout indicei∈I, la coordonnéei₀ deu_i soit égale à 0.

Soitδⁱ⁰ ∈Kⁿ, le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à0, sauf lai-ième coordonnée qui vaut1.

SoitJ ⊆I un sous-ensemble fini deI et (λ_j)_j∈J ∈K^J une famille de scalaires indexée parJ. On suppose par l’absurde queδⁱ⁰ =P

j∈Jλ_j •^.u_j. Sur lai-ième coordonnée, on aurait :1 = 0, ce qui est absurde.

Donc la famille(u_i)_i∈I n’est pas une famille génératrice.

2

Propriété 2.3. Soitm, n∈Ndeux entiers naturels. Soit (ui)1≤i≤m une famille dem éléments deKⁿ. On suppose qu’il existe un indicei₀ tel que1≤i₀≤min(m−1, n), et tel que pour toutientre1eti₀, laj-ième coordonnée du vecteuru_i vaut 1sii=j et0 sinon, et tel que pour touti > i₀ la i₀+ 1-ième coordonnée du vecteuru_i vaut 0. Alors la famille(u_i)_1≤i≤m n’est pas génératrice.

Preuve Soitm, n∈Ndeux entiers naturels. Soit(ui)_1≤i≤mune famille deméléments deKⁿ. Soiti0un indice tel que1≤i0≤min(m−1, n), et tel que pour touti entre1et i0, laj-ième coordonnée du vecteur

ui vaut1 sii=j et0 sinon, et tel que pour touti > i0 lai0+ 1-ième coordonnée du vecteurui vaut0. On noteui,j la valeur de laj-ième coordonnée du vecteur ui Posons(vj)1≤j≤n ∈Kⁿ le vecteur défini par :

(v_j = 1 sij 6=i₀ vj = 1 +Pi₀

k=1uk,i₀ sij =i0

On suppose par l’absurde qu’il existe(λi)_1≤i≤m∈K^mune famille demscalaires tels queP

1≤i≤mλi

·.ui= (vj)_1≤j≤n. Pour j < i0, on aurait, sur la j-ième coordonnée, vj = λj, puis λj = 1. Mais, sur la i0-ième coordonnée, on aurait v_i0 = Pi0

k=1λ_k ·u_k,i0, puis 1 +Pi0

k=1u_k,i0 = Pi0

k=1λ_k ·u_k,i0, et 1 = 0 (ce qui est absurde).

Donc la famille(ui)_1≤i≤mn’est pas génératrice.

2

Exemple 2.6. D’après la propriété 2.3, la famille :









(1,0,0,3) (0,1,0,2) (0,0,1,2) (0,0,0,0)









n’est pas une famille génératrice de(R⁴,+,^. ·).^.

Exemple 2.7. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(Kⁿ,+,^{. .}·). l’espace vectoriel des n-uplets de scalaires, muni de l’addition et la multiplication coordonnée par coordonnée. La famille(δ^k)_1≤k≤n de vecteurs telle queδk a toutes ses coordonnées égales à 0, sauf la k-ième coordonnée qui vaut1 est génératrice.

Preuve Soit(x_i)_1≤i≤n∈Kⁿ. Posonsy=P

1≤k≤nx_k·^.δ^k. Soitj un entier tel que1≤j≤n,

laj-ième coordonnée de(x_i)_1≤i≤n vautx_j. laj-ième coordonnée dey vautP

1≤k≤nxk·δ^k_j, puis la j-ième coordonnée dey vautxj. Ainsi(xi)i∈I =P

1≤k≤nxk

.·δ^k. Donc(δ^k)1≤k≤n est une famille génératrice deKⁿ. 2

Propriété 2.4. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée par I. Soit J un sous ensemble deI. Alors, si la famille(uj)_j∈J est génératrice de E, alors la famille(ui)_i∈I est génératrice deE.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un ensemble. Si(ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments deE indexée parI. SoitJ un sous ensemble deI. Alors, si la famille(uj)j∈J est génératrice deE.

Soitx∈E, SoitK⊆J un ensemble fini d’indices, et(λ_k)_k∈K∈E^K, une famille de scalaires indexée par K telle que :x=P

k∈Kλ_k•u_k. On a :J ⊆I, doncK est un sous ensemble fini deI etx=P

k∈Kλ_k•u_k. Ainsi(u_i)_i∈I est une famille génératrice de(E,+,•).

2

Propriété 2.5. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments deE indexée parI. Soitσune bijection deI dansI. Soit(vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

n vi

=∆u_σ(i)

Alors, la famille(ui)_i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)_i∈I est génératrice.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un ensemble. Si(ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit σune bijection de I dans I. Soit (vi)i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

n vi

=∆uσ(i).

1. (⇒) On suppose que la famille(ui)_i∈I est une famille génératrice.

Soitx∈E.

SoitJ⊆I et(λj)j∈J∈K^J une famille de scalaires indexée parJ telle quex=P

j∈Jλj•uj. On a donc :x=P

j∈Jλ_σ(σ⁻¹_(j))•u_σ(σ⁻¹_(j)). Puis :x=P

j∈Jλσ(σ⁻¹(j))•vσ⁻¹(j). Enfin :x=P

j⁰∈{k∈I|σ(k)∈J}λ_σ(k)•v_k.

Or {k ∈ I | σ(k) ∈ J} est un sous-ensemble fini de I, puis (v_i)_i∈I est une famille génératrice de (E,+,•).

2. (⇐) On suppose que la famille(vi)_i∈I est une famille génératrice. Alors la famille (ui)_i∈I l’est égale- ment, en appliquant le point précédent en remplaçant(ui)_i∈I par(vi)_i∈I, et réciproquement etσpar σ⁻¹.

2

Propriété 2.6. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soit λ ∈ K tel que λ 6= 0 et i₀ ∈ I un élément de I. Soit (v_i)_i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆λ•ui₀

v_i=^∆u_i pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(u_i)_i∈I est génératrice si et seulement si la famille(v_i)_i∈I est génératrice.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitI un ensemble. Si(ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments deEindexée parI. Soitλ∈Ktel queλ6= 0eti₀∈Iun élément deI. Soit(v_i)_i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆λ•ui₀

v_i=^∆u_i pouri∈I\ {i0}

1. (⇒) On suppose que la famille(ui)_i∈I est une famille génératrice de(E,+,•).

Soitx∈E,

Comme(u_i)_i∈I est une famille génératrice, il existe un sous-ensembleJ ⊆I fini de I et une famille de scalaires(µ_j)_j∈J ∈K^J indexée parJ de sorte que :x=P

j∈Jµ_j•u_j. Or, pouri∈I, on a :u_i= ¹

1+(λ−1)×δ_iⁱ⁰ •v_i. D’oùx=P

j∈J µ_j

1+(λ−1)×δ_iⁱ⁰ •v_i. Puis(vi)est une famille génératrice.

2. (⇐) On suppose que la famille(vi)_i∈I est une famille génératrice de (E,+,•).

On a pouri∈I, commeλ6= 0 :





 u_i= ¹

λ•v_i sii=i₀ u_i=v_i sinon; Or ¹

λ 6= 0, par le point précédent, la famille(u_i)est une famille génératrice de(E,+,•).

2

Propriété 2.7. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)_i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée par I. Soient i0 ∈ I et j0 ∈ I deux éléments de I. Soit (vi)_i∈ ∈ E^I la famille d’éléments de E définie par :

(vi0

=∆ui0+uj0

vi

=∆ui pour i∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)_i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)_i∈I est génératrice.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble. Si(ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments deE indexée par I. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI. Soit(vi)i∈ ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(vi₀

=∆ui₀+uj₀

vi

=∆ui pouri∈I\ {i0}.

1. si i0 =j0, alors vi0 = 2•ui0, puis d’après la propriété 2.6, (ui)i∈I est une famille génératrice si et seuelement si(v_i)_i∈I est une famille génératrice.

2. sii₀6=j₀:

(a) (⇒)On suppose que la famille(u_i)_i∈I est une famille génératrice de (E,+,•).

Soitx∈E un vecteur deE.

SoitJ ⊆I un sous ensemble fini deI et (µ_j)_j∈J ∈K^J une famille de scalaires indexée parJ et telle quex=P

j∈Jµ_j•u_j.

On a, pouri∈I,vi=ui+δⁱ_i⁰•uj₀.

Puis commei06=j0,vj₀ =ui₀ et, pouri∈I,vi=ui+δⁱ_i⁰•vj₀. Ainsi, pouri∈I,ui=vi−δ_iⁱ⁰•uj₀.

D’où, x=P

j∈Jµ_j•(v_i−δⁱ_i⁰•u_j0). Et,x=P

j∈J(µ_j−δ^j_i⁰×µ_i0)•v_i. Donc la famille(v_i)_i∈I est une famille génératrice de (E,+,•).

(b) (⇐)On suppose que la famille(v_i)_i∈I est une famille génératrice de(E,+,•).

Soitx∈E un vecteur deE.

SoitJ ⊆I un sous ensemble fini deI et (µ_j)_j∈J ∈K^J une famille de scalaires indexée parJ et telle quex=P

j∈Jµ_j•v_j. On a donc,x=P

j∈Jµ_j•(u_j+δ_iⁱ⁰•u_j0). Puis,x=P

j∈J(µ_j+δ_i^j0µ_i0)•u_i. Puis(u_i)_i∈I est une famille génératrice de(E,+,•).

2

Propriété 2.8. Soit (E,+,•) un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Si (ui)i∈I ∈ E^I une famille d’éléments de E indexée parI. Soitλ∈K. Soienti0∈I etj0∈I deux éléments deI tels que i06=j0. Soit (vi)i∈∈E^I la famille d’éléments deE définie par :

(v_i0=u_i0+λ•u_j0

vi=ui pouri∈I\ {i0}

Alors, la famille(ui)i∈I est génératrice si et seulement si la famille(vi)i∈I est génératrice.

Preuve On définit la famille(w_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE défine par : (w_j0=^∆λ•u_j0

wi

=∆ui pouri∈I\ {j0}

Puis, la famille(w_i⁰)i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par : (w⁰_i

0

=∆wi₀+wj₀

w⁰_i=^∆wi pouri∈I\ {i0} Et, la famille(w⁰_i)_i∈I ∈E^I la famille d’éléments deE définie par :







w_j⁰⁰₀ =^{∆ 1}

λ •w_j⁰₀

w_i⁰⁰=^∆w⁰_i pouri∈I\ {j0} puis la famille(ui)_i∈I est génératrice de(E,+,•),

si et seulement si, par la propriété 2.6, la famille(wi)i∈I est génératrice de(E,+,•), si et seulement si, par la propriété 2.7, la famille(w_i⁰)i∈I est génératrice de(E,+,•), si et seulement si, par la propriété 2.6, la famille(w”i)i∈I est génératrice de(E,+,•).

Or, pouri∈Ion a : 1.

w⁰⁰_i0 =w_i⁰₀ (cari06=j0) w⁰⁰_i

0 =w_i0+w_j0 w⁰⁰_i

0 =u_i0+λ•u_j0 (cari₀6=j₀) w⁰⁰_i

0 =v_i0 2.

w⁰⁰_j

0 = ¹

λ·w⁰_j

0

w⁰⁰_j

0 = ¹

λ·w⁰_j

0 (carj06=i0) w⁰⁰_j0 = ¹

λ·(λ•uj₀) w⁰⁰_j

0 =u_j0

w⁰⁰_j0 =vj₀ (carj06=i0) 3. et pouri∈I\ {i0, j0}:

w_i⁰⁰=w⁰_i (cari6=j0) w_i⁰⁰=wi (cari6=i0) w_i⁰⁰=ui (cari6=j0) w_i⁰⁰=vi (cari6=i0)

Ainsi(ui)i∈I est génératrice de(E,+,•)si et seulement si(vi)i∈I est génératrice de(E,+,•).

2

Algorithme 2.1. Soient m et n deux entiers positifs dans N. Soit (ui)1≤i≤n ∈ (Kⁿ)^m une famille de m vecteurs de Kⁿ. On noteu_i,j la j-ième coordonnée du i-ième vecteur de la famille(u_i)_1≤i≤m. L’algorithme suivant permet de décider si (u_i)_1≤i≤mest génératrice, ou non.

Prendrep←0.

1. si p=n alors la famille est génératrice.

2. si p < n et si pour toutk tel quep < k≤m, on a : u_k,p+1= 0 alors la famille n’est pas génératrice.

3. sinon, prendre kle plus petit entier strictement supérieur à ptel queuk,p+16= 0.

4. Multiplier le vecteur uk par l’inverse de uk,p+1.

5. Soustraire à chaque vecteuruk⁰ pour k⁰6=kle vecteur uk multiplié paruk,p+1. 6. Permuter le vecteurup+1 etuk.

7. Prendrep←p+ 1.

8. Retourner à l’étape 1.

Preuve À l’étape 1, on peut montrer par récurrence que pour toutk et tout l tels que 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤l ≤ p, uk,l = 0si k 6=l, et uk,l = 1 sik =l. De plus, les transformations effectuées sur la famille de vecteur ne modifient pas le fait d’être une famille génératrice, ou non (d’après la propriété 2.6 pour l’étape 4, d’après la propriété 2.7 pour l’étape5, d’après la propriété 2.5 pour l’étape6). Ainsi, si à l’étape 1,p=n, la famille est celle de l’exemple 2.7, elle est donc génératrice. Par contre, si le test de l’étape (2) échoue, la famille ne peut pas être génératrice soit par la propriété 2.2, soit par la propriété 2.3.

2

Exemple 2.8. On peut utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille((1,1,0),(−1,1,0),(1,1,1))est une famille génératrice.

Preuve La famille





(1,1,0) (−1,1,0)

(1,1,1)



est une famille génératrice si et seulement si la famille





(1,1,0) (0,2,0) (0,0,1)



 est une famille génératrice (en utilisant les transformationsL₂← L₂+L₁ etL₃←L₃−L₁)

si et seulement si la famille





(1,1,0) (0,1,0) (0,0,1)



 est une famille génératrice (en utilisant la transformation L2 ← L2/2)

si et seulement si la famille





(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)



 est une famille génératrice (en utilisant la transformation L1 ← L1−L2)

Or cette dernière famille est génératrice car elle satisfait la propriété 2.2.

Donc la famille((1,1,0),(−1,1,0),(1,1,1))est une famille génératrice.

2

Exemple 2.9. On peut utiliser l’algorithme 2.1 pour montrer que la famille ((1,1,1),(−1,1,−1),(2,0,2)) n’est pas génératrice.

Preuve La famille





(1,1,1) (−1,1,−1)

(2,0,2)



est une famille génératrice si et seulement si la famille





(1,1,1) (0,2,0) (0,−2,0)



 est une famille génératrice (en utilisant les transformations L₂←L₂+L₁ et L₃←L₃−2·L₁)

si et seulement si la famille





(1,1,1) (0,1,0) (0,−2,0)



est une famille génératrice (en utilisant la transformationL₂← L₂/2)

si et seulement si la famille





(1,0,1) (0,1,0) (0,0,0)



 est une famille génératrice (en utilisant la transformation L₁ ← L1−L2)

Or cette dernière famille n’est pas génératrice car pour tout(x, y, z)∈Vect((1,0,1),(0,1,0),(0,0,0)), on a x=z. Puis(0,0,1)6∈Vect((1,0,1),(0,1,0),(0,0,0)).

Donc la famille((1,1,1),(−1,1,−1),(2,0,2))n’est pas une famille génératrice.

2

3 Bases et dimensions

Définition 3.1. Soit(E,+,•) un K-espace vectoriel. On appelle base de E toute famille d’éléments deE qui est à la fois libre et génératrice de E.

Théorème 3.1. Soit(E,+,•)un K-espace vectoriel. SoitI un ensemble et(ui)_i∈I ∈E^I une famille d’élé- ments de E indexée par I, tel que (ui)i∈I soit une base de E.

Alors pour tout vecteur u∈ E, il existe un unique sous-ensemble J ⊆ I et une unique famille (λj)j∈J de scalaires non nuls tel que :

u=X

j∈J

λj•uj.

Ainsi tout vecteur admet une décomposition unique dans une base.

Preuve Soit(E,+,•)unK-espace vectoriel. SoitIun ensemble et (ui)i∈I ∈E^I une famille d’éléments deE indexée par I, tel que(ui)i∈I soit une base deE.

Soitu∈E.

— La famille(u_i)_i∈I est génératrice. Il existe donc un sous-ensemble finiJ ⊆Iet une famille(λ_j)_j∈J∈ K^J de scalaires dansKtel que u=P

j∈Jλ_j•u_j.

— SoientJ⁰ un sous-ensemble deI, et(λ⁰_j0)_j⁰_∈J⁰ ∈K^J

0 une famille de scalaires non nuls telle que :u= P

j⁰∈J⁰λ_j⁰ •u_j⁰. On définit, pour j⁰ ∈ J \J⁰, λ⁰_j0 = 0 et pour j ∈ J⁰ \J, λ_j = 0. On a donc : u = P

j∈J∪J⁰λ_j •u_j et u = P

j∈J∪J⁰λ⁰_j • u_j. Puis P

j∈J∪J⁰λ_j •u_j = P

j∈J∪J⁰λ⁰_j • u_j. D’où : P

j∈J∪J⁰(λ_j−λ⁰_j)•u_j. OrJ∪J⁰ est un ensemble fini, et la famille(u_i)_i∈I est libre. Donc pour tout j ∈J∪J⁰,λ_j−λ⁰_j = 0. Puis pour tout j ∈J ∪J⁰,λ_j =λ⁰_j. On en déduit queJ =J⁰, et pour tout j∈J,λj=λj⁰.

2

Exemple 3.1. Tout élément non nul deKest une base duK-espace vectoriel (K,+,•).

Preuve Soit λ∈ K\ {0}. Nous savons que (λ) est une famille libre duK-espace vectoriel (K,+,•).

D’après l’exemple 2.1,(λ)est une famille génératrice duK-espace vectoriel(K,+,•). Ainsi,(λ)est une base duK-espace vectoriel (K,+,•).

2

Exemple 3.2. Soitn∈Nun entier naturel. Soit(δ_i)_1≤i≤n∈(Kⁿ)ⁿ la famille denvecteurs de Kⁿ telle que la j-ième coordonnée dui-ième vecteur soit égale à0 sii6=j et à1 sinon. Alors(δ_i)_1≤i≤n ∈(Kⁿ)ⁿ est une base de(Kⁿ,+,^. ·)^. (on dit que c’est la base canonique deKⁿ).

Preuve Soitn∈Nun entier naturel. Soit(δ_i)_1≤i≤n ∈(Kⁿ)ⁿ la famille denvecteurs deKⁿ telle que la j-ième coordonnée dui-ième vecteur soit égale à0sii6=j et à1sinon. Nous savons que la famille(δ_i)_1≤i≤n