I - Généralités
Lagéométr ieélémentairedel'espaeestnéedusouid'étudierlespropr iétésdel'espaedanslequelnousvivons.Lesobjets
élémentairesdeettegéométr iesontlespoints,lesdroitesetlesplans.Ononsidèreesnotion somm edesnotion spremières,
'est-à-diresufsammentfamilièrespournepaslesdénir.Pourleurétudeilseranéessaired'admettreuner tainnombrede
propr iétésdebase.
Unpointdésigneunendroitpréis.Onlereprésenteparunpoint(.)ouuneroix(£),etonluidonneunnom.Maisilfautbien
omprendrequ'ilnes'agitqued'unereprésentationdel'objetthéor ique,«point»,quin'apasd'étendue.
Unedroiteestunensembledepoin ts,qu'onreprésen teparun«segmen t»,etauque londonneunnom .ilfau tbienomp rendre
qu'ilnes'agitqued'unereprésentationdel'objetthéor ique,«droite»,quin'apasdelargeur,etquiestillimitédanslesdeux
sens.
Unplanestunensembledepoints.Lafeuilledepapierestunebonnereprésentationd'unplan.Lorsquel'onveutreprésenter
plusieurs plansde l'espae,onreprésentehaund'entreeuxparunparallélogramme,enséreprésenterunretangleen
«perspetive».Ilnes'agitlàqued'unereprésentationdel'objetthéor ique«plan»quin'apasd'épaisseuretillimitédanstous
lessens.
P
Propr iété1
Lesrésultatsdegéométr ieduplansontappliablesdanshaqueplandel'espae.
II - Axiomes d’incidence
Lesaxiomesd'inidenesdelagéométr iedansl'espaesontdesaxiomesquifour nissentdesrelationsentrelespoints,les
droitesetlesplansdeettegéométr ie.
1. Pardeuxpointsdistintsdel'espaeilpasseuneetuneseuledroite.Cettedroitepeut-êtrenotée(AB).
2. Partroispointsnonalignés,A,BetCpasseunetunseulplan.Ceplanpeut-êtrenoté(ABC).
3. SiAetBsontdeuxpointsd'unplanP,touslespointsdeladroite(AB)appar tiennentauplan.
Ilenrésultequ'unplanpeutêtredéter minéparl'unedesonditionssuivantes:
troispointsnonalignés deuxdroitesséantes unedroiteetunpointextér ieuràelle-i
P
A
B
C
P
d
d 0
P
A
d
III - Positions relatives de droites et plans
1. detd 0
sontdeuxdroitesdel'espae.Iln'existequedeuxpossibilités:
P
d A
d 0
b) ilexisteunplanontenantesdeuxdroites,ellessontditesoplanaires(ellessontalorsséantesouparallèlesdanse
plan).
2. destunedroiteetPunplandel'espae.Iln'existequetroispossibilités:
a) ladroiteetleplann'ontqu'unpointommun,ladroiteetleplansontditsséants(voirlagurepréédente),
b) ladroiteestinlusedansleplan,
) ladroiteetleplann'ontauunpointommun.
3. PetQsontdeuxplansdel'espae.Iln'existequetroispossibilités:
a) lesplansontunpointommunetsontdistints,alorsilssontséantssuivantunedroitepassantparepoint,(ainsideux
plansdistintsquiontdeuxpointsommunssontséantssuivantladroitedénieparesdeuxpoints)
P
Q
d
b) lesplanssontonfondus,
) ilsn'ontauunpointommun.
IV - Parallélisme dans l’espace
Lalistedespropr iétésn'estpasexhaustive...er tainespropr iétés"évidentes"oner nantleparallélismedansl'espaen'appa-
raissentpasdansettesetion.
a. Définitions
Dénition1
Deuxdroitessontparallèleslorsqu'ellessontoplanairesetnonséantes.Ilenestainsidedeuxdroitesonfonduesoubien
oplanairesetsanspointommun.
Deuxplanssontparallèleslorsqu'ilsnesontpasséants.Ilenestainsidedeuxplansonfondusousanspointommun.
Unedroiteetunplansontparallèleslorsqu'ilsnepasséants.Ilenestainsid'unedroiteinlusedansunplanoud'unedroite
etd'unplansanspointommun.
Remarques:
Lefaitquedeuxdroitesn'aientauunpointommunnesuftpaspouronlure,dansl'espae,qu'ellessontparallèles.
P
d
d 0
b. Parallélisme entre droites
Théorème1
Deuxdroitesparallèlesàunemêmetroisièmedroitesontparallèlesentreelles.
Théorème2
SiPetQsontdeuxplansparallèles,alorstoutplanquioupePoupeaussiQetlesdroitesd'intersetionsontparallèles.
P
Q
d
d 0
Théorème3
Siunedroiteestparallèleàdeuxplansséantsalorselleestparallèleàleurdroited'intersetion.
P
Q
¢
d
Théorème4
"Théorèmedutoit"
detd 0
sontdeuxdroitesparallèles.PestunplanontenantdetP 0
unplanontenantd 0
.
Si,enoutre,lesplansPetP 0
sontséants,alorsladroite¢d'intersetiondeesplansestparallèleàdetd 0
.
d d
0
¢
c. Parallélisme entre plans
Théorème5
Deuxplansparallèlesàunmêmetroisièmeplansontparallèlesentreeux.
Théorème6
Sideuxdroitesséantesd'unplanPsontrespetivementparallèlesàdeuxdroitesséantesd'unplanQ ,alorslesplansPetQ
sontparallèles.
P
d
d 0
Q
d
1
d 0
1
d. Parallélisme entre droite et plan
Théorème7
Siunedroitedestparallèleàunedroited 0
,alorsladroitedestparallèleàtoutplanPontennantladroited 0
.
P d
0 d
V - Orthogonalité dans l’espace
a. Définitions
Dénition2
Deuxdroitesd et¢(nonnéessairementoplanaires)sontor thogonalessilesparallèlesàesdeuxdroitesmenéesparun
pointIquelonquesontperpendiulaires.(Nousadmettronsalorsquelesparallèlesàdet¢passantparn'impor tequelautre
pointsontégalementperpendiulaires)
I
¢
d
Exemple:ABCDEFGHestunubealors(AD)?(HG).
Remarques:
Deuxdroitesor thogonalesnesontpasnéessairementperpendiulaires,ellesnelesontquesiellessontoplanaires.En
revanhelaréiproqueestvraiepardénitiondedroitesor thogonales.
Deuxdroitesor thogonalesàunemêmetroisièmenesontpasnéessairementparallèles.(faileàvoirdansunube)
Dénition3
Unedroitedestor thogonaleàunplanlorsqu'elleestor thogonaleàtouteslesdroitesdeeplan.
b. Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Théorème8
Pourqu'unedroite¢soitor thogonaleàunplanPilsuftque¢soitor thogonaleàdeuxdroitesséantesdeP.
P
d
d 0
¢
Théorème9
Deuxplansor thogonauxàunemêmedroitesontparallèles.
Sideuxplanssontparallèles,toutedroiteor thogonaleàl'unestor thogonaleàl'autre.
P
d
d 0
Q
d
1
d 0
1
Théorème10
Sideuxdroitessontparallèles,toutplanor thogonalàl'uneestor thogonalàl'autre.
Deuxdroitesor thogonalesàunmêmeplansontparallèles.
P
Q
c. Orthogonalité de deux droites de l’espace
Théorème11
Sideuxdroitessontparallèles,toutedroiteor thogonaleàl'uneestor thogonaleàl'autre.
d. Plans perpendiculaires
Dénition4
UnplanQestperpendiulaireàunplanP(Q?P),siilexisteunedroitedeQor thogonaleàP.(DanseasonaaussiP?Q ).
P
Q
d
Remarques:
l'exemplequ'ilfautavoirentêteesteluid'unube:deuxfaesquelonquesnonparallèlessontperpendiulaires.
SiP?Qalorstoutedroitedel'unn'estpasor thogonaleàl'autre,'estvraipourl'uned'entreelle s.(DansunubeABCDEFGH
lesfaesABFEetABCDsontperpendiulairesmaisladroite(AF)n'estpasor thogonaleàlafaeABCDarellen'estpas
or thogonaleà(AB))
SiP?QetP 0
?QalorsPetP 0
nesontpasnéessairementparallèles(faileàvoirdansunubeavelesfaes).Cetterelation
deperpendiular itédeplansestdonmoinssouplequeelledeperpendiular itédedroites.
Théorème12
SiPetP 0
,deuxplansséants,sontperpendiulairesàunmêmeplanQ ,alorsleurintersetionestor thogonaleàQ .
Q
P
P 0
Théorème13
SiP?Q ,toutedroitedel'un,quiestor thogonaleàleurintersetion,estor thogonaleàl'autre.(voirlaguredeladénition
préédente)
