ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 5 - durée : 4 h 5 mars 2011
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Cours.
1. Enoncer la formule des probabilités totales.
2. Donner la dénition de matrice inversible.
3. Enoncer la formule du binôme pour les matrices, et la démontrer.
Exercice I.
PROGRAM ex1 ; VAR s,k :integer ; BEGIN
s :=0 ; k :=0 ; REPEAT
k :=k+1 ; s :=s+k*k*k ; UNTIL
s>=25 000 000 ; writeln(k) ;
END.
On considère le prgramme ci-contre.
1. Expliquer son fonctionnement.
2. Quelle valeur renvoie-t-il ?
3. Le réécrire à l'aide d'une boucle WHILE.
Exercice II.
Justier brièvement la convergence des séries suivantes et calculer leur somme : 1. S=
+∞
X
n=3
5n
2n+1 2. T =
+∞
X
n=2
en
2n! 3. U =
+∞
X
n=0
n2 (−3)2n
Exercice III.
Créer un programme informatique qui calcule lanesomme partielle de la sérieT de l'exercice précédent.
Exercice IV.
On note I=I3, et on considère la matrice : A=
1 0 0
1 −1 −1
−1 4 3
. 1. Calculer A−1.
2. a. Donner la matriceJ telle que A=I+J. b. CalculerJ2,J3, puisJn, pour tout entiern≥3. 3. a. En déduire que ∀n≥2, An =I+nJ+n(n−1)
2 J2. b. L'égalité précédente reste-t-elle vraie pour n∈ {0; 1}?
c. Ecrire la matrice An.
4. a. Développer (I+J)(I−J+J2), et retrouver avec une autre méthode le résultat de la question 1.
b. L'égalité obtenue à la question 3.a. reste-t-elle vraie pour n=−1? 5. Déterminer les matrices carrées d'ordre 3 qui commutent avecJ2.
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Problème.
Dans toute la suite de l'énoncé,nest un entier supérieur ou égal à3.
Une élection comporte trois candidats, etnvotants. Tout candidat qui a obtenu au moins une voix est élu.
On suppose que chaque votant choisit un candidat au hasard, de façon équiprobable, et indépendamment du choix des autres votants.
∀k∈[[1;n]], on considère les évènements :
Uk={Après dépouillement des kpremiers bulletins, exactement un candidat a obtenu des voix}, Vk ={Après dépouillement desk premiers bulletins, exactement deux candidats ont obtenu des voix}, Wk={Après dépouillement des kpremiers bulletins, les trois candidats ont obtenu des voix}.
On pose également uk=P(Uk), vk=P(Vk) et wk =P(Wk). Partie A.
1. a. Préciser u1, v1 et w1. b. Justier les égalités u2= 1
3, v2= 2
3 et w2= 0.
(indication : introduire des évènements pour décrireU2,V2 etW2.)
2. a. A l'aide de la formule des probabilités totales, exprimer vk+1 en fonction de uk, vk et wk. b. Donner de même uk+1 et wk+1 en fonction de uk, vk et wk.
c. Donner la matriceM telle que
uk+1
vk+1
wk+1
=M
uk
vk
wk
.
d. En déduire que
un vn wn
=Mn−1
u1 v1 w1
. Partie B.
Soit la matrice A=
1 0 0 2 2 0 0 1 3
.
1. CalculerA2.
2. Montrer qu'il existe des suites réelles (ak)k∈[[1;n]], (bk)k∈[[1;n]] et (ck)k∈[[1;n]] telles que
∀k≥1, Ak =
1 0 0
ak 2k 0 bk ck 3k
et
ak+1 =ak+ 2k+1 bk+1 =bk+ 2ck
ck+1 = 2ck+ 3k 3. a. Calculer de deux façons la somme
k−1
X
j=1
(aj+1−aj), et en déduire que ak= 2k+1−2.
b. De même, calculer de deux façons la somme
k−1
X
j=1
(cj+1 2j+1 −cj
2j), et en déduire que ck= 3k−2k. c. Prouver que bk = 3k−2k+1+ 1.
4. a. Exprimer la matrice M en fonction deA. b. En déduire que un= 1
3n−1, vn =2n−2
3n−1 et wn= 1−2n−1 3n−1 . 5. a. Calculer les limites des suitesu,v etw.
b. Ces résultats étaient-ils prévisibles ? Justier.
6. A partir de quel nombrende votants est-on certain à 99.9% qu'au moins deux candidats sont élus ? (On donne ln(3000)
ln(3) '7.3)
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