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Exercice I.

SoitX ,→U([a;b]), aveca < bdeux réels quelconques. CalculerE(X)etV(X).

Exercice II.

SoitX ,→U([0; 1]).

1. Déterminer la loi de la v.a.X=aU +b, oùaetbsont des réels,a6= 0.

2. Déterminer la loi de la v.a.Y =−1

λln(1−X), pourλ >0.

3. En déduire une simulation informatique de la loi exponentielle.

Exercice III.

SoitX ,→U(]−1; 1[). Déterminer la loi de Y = 1 2ln

1 +X 1−X

. Exercice IV.

SoitX ,→ E(1).

1. Déterminer la loi de Y =X². 2. CalculerE(Y)etV(Y).

Exercice V.

SoitX ,→ E(λ), avecλ >0. Déterminer les lois de :

1. Y =X². 2. Z =e^X. 3. T = ln(X). 4. U =aX+b, oùaetbsont des réels,a6= 0.

Exercice VI.

SoitX ,→ N(0; 1).

1. a. Déterminer la loi de Y =X². b. CalculerE(Y)etV(Y).

2. Mêmes questions avecZ=e^X.(C’est la loi "log-normale".) Exercice VII.

SoitX ,→ N(0; 1)etω ,→U({−1; 1})deux v.a. indépendantes. Déterminer la loi de Y =ωX. Exercice VIII.

1. SoitXetY indépendantes, de même loiE(λ), avecλ >0. On poseZ=min(X, Y).

a. DéterminerZ(Ω).

b. Exprimer l’évènement[Z > z]à l’aide d’évènements impliquant les v.a.XetY. c. En déduire la fonction de répartitionF_ZdeZ.

d. Quelle est la loi deZ? En donner une densité.

2. Plus généralement, soit(Xk)_16k6nest une famille de v.a. indépendantes de même loiE(λ).

Exercice IX.

1. SoitXetY indépendantes, de même loiE(λ), avecλ >0. On poseZ=max(X, Y).

a. DéterminerZ(Ω).

b. Exprimer l’évènement[Z 6z]à l’aide d’évènements impliquant les v.a.XetY. c. En déduire la fonction de répartitionF_ZdeZ.

d. Quelle est la loi deZ? En donner une densité.

e. CalculerE(Z)etV(Z).

2. Plus généralement, soit(X_k)_16k6nest une famille de v.a. indépendantes de même loiE(λ).

EtudierZ =max(X1, ..., Xn).

Exercice X.

Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes.

On considère les v.a.X1,X2etX3, définies de la manière suivante :

X1est la durée de fonctionnement de la machine entre sa mise en marche et la première panne.

X₁est la durée de fonctionnement entre la première panne et la deuxième panne.

X₁est la durée de fonctionnement entre la deuxième panne et la troisième panne.

Après la troisième panne, l’utilisation de la machine est suspendue.

On suppose que les v.a.X1,X2etX3sont indépendantes et de même loiE 1

2

.

1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives ?

2. Soit l’évènement E = ”chacune des 3 périodes de fonctionnement dure plus de 2 heures”. Calculer P(E).

3. SoitY la v.a. égale à la plus grande des3durées de fonctionnement de la machine.

a. Déterminer la fonction de répartition deY. b. En déduire une densité deY.

4. Soita6= 0.

a. Pourx∈R, calculer Z x

0

te^atdt.

b. En déduire que la v.a.Y admet une espérance, la calculer, puis l’exprimer en heures et minutes.

Exercice XI.

Soitf la fonction définie surRpar :

( f(x) =e^−|x| si −ln 26x6ln 2 f(x) = 0 sinon

1. Etudier les variations def et donner l’allure de la courbe représentative def. 2. Montrer quef est une densité de probabilité.

3. SoitXune variable aléatoire réelle admettantf comme densité.

a. Déterminer la fonction de répartitionF deX.

b. Montrer queXadmet une espérance et calculer l’espérance deX.

c. On poseY =|X|.

Déterminer la fonction de répartitionGdeY. Montrer queY est une variable à densité et déterminer une densitégdeY.

Exercice XII.

On considère la fonctionF définie par :

F(x) =

( 0six60

1−e^−x2 six >0

1. Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densitéX dont on calculera une densité et l’espérance.

2. Montrer queY = X³,Z = |X|etT = √

X sont des variables aléatoires à densité dont on déterminera une densité.

Exercice XIII.

1. On considère l’applicationf :R→R définie pour tout nombre réelxpar : ( f(x) =e^−x six >0

f(x) = 0 six60 Montrer quef est une densité de probabilité.

On considère une variable aléatoireXadmettantf pour densité.

2. On définit la variable aléatoire discrèteY à valeurs dansNde la façon suivante :

? l’événement(Y = 0)est égal l’événement(X <1)

? pour tout nombre entier strictement positifn, l’événement(Y =n)est égal à l’événement(n6X < n+ 1).

a. Montrer, pour tout entier natureln: P (Y =n) =

1−1 e

e⁻ⁿ

b. Montrer que la variable aléatoireY + 1suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

En déduire l’espérance et la variance deY. Exercice XIV.

Pourn∈N^?on considèreX1, ..., Xnnvariable aléatoires indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètreλ >0.

On noteM_n=max(X1, ..., X_n).

1. Rappeler sans démonstration les valeurs de l’espéranceE(X₁), de la varianceV(X₁)ainsi que l’expres- sion de la fonction de répartitionF_X1 de la variable aléatoireX₁.

2.a) Montrer qu’une densitéf_MndeM_nest donnée par :

fMn(x) =nλe^−λx(1−e^−λx)ⁿ⁻¹ pourx >0etfMn(x) = 0pourx60.

b) Établir pour toutn∈N^∗, l’existence de l’espéranceE(M_n)de la variable aléatoireM_n. c) En posantz= 1−e^−λx, justifier pour touta >0, l’égalité :

Z a 0

xe^−λx(1−e^−λx)ⁿ⁻¹ dx=−1 λ²

Z 1−e^−λa 0

zⁿ⁻¹ln(1−z)dz.

d) En déduire que l’on a :E(M_n) =−n λ

Z 1 0

zⁿ⁻¹ln(1−z)dz.

e) Montrer que la fonctionz 7−→ (1−z)(1−ln(1−z))définie sur l’intervalle [0,1[, est une primitive de la fonctionz7−→ln(1−z).

À l’aide d’une intégration par parties, en déduire pour toutn∈N^∗une relation entreE(M_n+1)etE(M_n).

f) On pose pour toutn∈N^∗:un=

n

X

j=1

1

j. Déduire de la question précédente queE(Mn) = 1 λun. Exercice XV.

On noteU une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep.

1. Rappeler la loi deU, son espérance et sa variance.

On considère une variable aléatoireT telle que : ∀n∈N^∗, ∀t∈[0; +∞[, P_(U=n)(T > t) =e^−nt. 2. a. Montrer :∀t∈[0; +∞[, P (T > t) = p e^−t

1−q e^−t.

b. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoireT.

c. En déduire queT est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité.

3. On noteZ =U T.

a. Montrer :∀n∈N^∗, ∀z∈[0; +∞[, P_(U=n)(Z > z) =e^−z.

b. En déduire que la variable aléatoireZsuit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

c. Montrer :∀n∈N^∗, ∀z∈[0; +∞[, P (U =n , Z > z) = P (U =n) P (Z > z). Exercice XVI.

Soient X ,→ U([a, b])et Y ,→ U([a, b])deux variables aléatoires indépendantes. On noteU = min(X, Y) et V =max(X, Y). Montrer queU etV sont à densité puis calculer leur espérance et variance.

Exercice XVII.

On désigne parX une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, par f sa densité et par FX

fonction de répartition.

On noteY =g(X)avecg(x) =−ln(1−F_X(x))pour tout réelx.

1. Montrer queFX réalise une bijection deRsur]0,1[.

2. Calculer la fonction de répartition de Y. En déduire que Y est une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité.

Exercice XVIII.

Soitf la fonction définie par :







f(x) = 0six <0 f(x) =xe⁻

x²

2 six>0 1. Vérifier que f est une densité de probabilité.

La durée de vie d’un certain composant électronique est une variable aléatoireXdont une densité estf. 2. a. Déterminer la fonction de répartitionF deX.

b. Calculer la médiane deXc’est-à-dire le réelµtel quep(X 6µ) = 1 2.

3. On appelle mode de la variableXtout réel x en lequelf atteint son maximum. Montrer que X a un seul mode, notéM_o, et le déterminer.

4. a. En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que X a une espérance et montrer queE(X) =

√ 2π 2 .

b. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, la variance deX.

Exercice XIX.

On admet que siX etY sont deux variables aléatoires à valeurs positives admettant pour densitéf_X et f_Y continues surR^?₊et continue à droite en0alorsX+Y est à densité et une densité est donnée par

f_X+Y(x) = Z x

0

f_X(t)f_Y(x−t)dtpourx>0.

Calculer la densité deX+Y dans le cas oùX ,→ E(λ)etY ,→ E(µ)avecλ6=µ.

Sujets récents

Exercice XX. (Ecricome 2020) Soitaun réel strictement positif.

1. Pour tout entiernsupérieur ou égal à2, on pose I_n(a) = Z +∞

a

1 tⁿ. Montrer que l’intégraleIn(a)donverge et vaut 1

(n−1)aⁿ⁻¹. 2. Soitf la fonction définie surRpar f(t) =







0 si t < a 3a³

t⁴ si t>a

a. Démontrer quef est bien une densité de probabilté. SoitXune variable aléatoire admettantf pour densité.

b. Donner la fonction de répartition deX.

c. Démontrer queXadmet une espérance et calculer cette espérance.

d. Démontrer queXadmet une variance et que celle-ci vaut 3a² 4 .

3. SoitU une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur]0,1]. On pose :Y = a U¹³. a. DéterminerY(Ω).

b. Déterminer la fonction de répartition deY et vérifier queY etXsuivent la même loi.

c. Écrire une fonction en langage Scilab d’en-tête :function Y = simulX(a, m, n)prenant en argument un réela strictement positif et deux entiers naturels m et n non nuls, qui renvoie une matrice à m lignes et n colonnes dont chaque coefficient est un réel choisi de façon aléatoire en suivant la loi deX. Ces réels seront choisis de façon indépendante.

À cet effet, on rappelle que simetnsont des entiers naturels non nuls, l’instruction :rand(m, n) renvoie une matrice àmlignes etncolonnes dont chaque coefficient suit la loi uniforme sur]0,1], ces coefficients étant choisis de façon indépendantes.

4. a. CalculerP(X >2a).

b. CalculerP_[X>2a](X >6a).

c. On suppose que la fonction Scilab précédente a été programmée correctement. Compléter le script ci-dessous afin qu’il renvoie une valeur permettant de vérifier le résultat de la question précédente.

a = 10 N = 100000 s1 = 0 s2 = 0

X = simulX(a, 1, N) for k = 1 :N

if ... then s1 = s1 + 1

if X(k) > 6 * a then ...

end end end

if s1 > 0 then disp(...) end

Exercice XXI. (EML 2019)

Dans ce problème, toutes les v.a. sont supposées définies sur un même espace probabilisé noté(Ω,A, P).

Partie A : Des résultats préliminaires

SoientU etV deux variables aléatoires à densité indépendantes, de densités respectivesf_U etf_V, et de fonc- tions de répartition respectivesF_UetF_V.

On suppose que les fonctionsfU etfV sont nulles sur]− ∞; 0[et continues sur[0; +∞[.

1. a. Justifier : ∀t∈[0; +∞[, 06FU(t)fV(t)6fV(t).

b. En déduire que l’intégrale Z +∞

0

F_U(t)f_V(t)dtconverge.

On admet le résultat suivant :

Z +∞

0

F_U(t)f_V(t)dt=P(U 6V).

2. En déduire que P(U > V) = Z +∞

0

(1−FU(t))fV(t)dt.

3. Exemple : Soitλ, µ∈R^∗₊. On suppose dans cette question queU suit la loi exponentielle de paramètre λet queV suit la loi exponentielle de paramètreµ.

a. Rappeler, pour toutt∈R+, une expression deF_U(t)et def_V(t).

b. En déduire que P(U > V) = µ λ+µ. Partie B : Une application

Soitλ∈R^∗+. On considère(T_n)n∈Nune suite de v.a. indépendantes suivant toutes la loiE(λ).

On définit ensuite la v.a.N égale au plus petitk∈N^∗tel queT_k 6T₀ si un tel entier existe, et égale à0sinon.

4. Soitn∈N^∗. On définit la variable aléatoireMnpar Mn= min(T1, . . . , Tn).

a. Calculer, pour touttdeR+,P(Mn> t).

b. En déduire la fonction de répartition deMnsurR.

Reconnaître la loi deM_net préciser ses paramètres.

5. a. Montrer que P(N = 1) =P(T₁ 6T₀) = 1 2. b. Justifier que ∀n∈N^∗, [N > n] = [Mn> T0].

En déduire, pour toutndeN^∗, une expression deP(N > n)en fonction den.

c. Montrer alors que ∀n∈N\ {0,1}, P(N =n) = 1 n(n+ 1). d. En déduire la valeur de P(N = 0).

6. La variable aléatoireN admet-elle une espérance ? Exercice XXII. (EDHEC 2015)

Trois personnes, notéesA, BetCentrent simultanément dans une agence bancaire disposant de deux guichets.

Les clientsAetBoccupent simultanément à l’instant 0 les deux guichets tandis queCattend que l’un des deux guichets se libère pour se faire servir.

On suppose que :

• Les durées de passage au guichet des trois personnesA, B etCsont mesurées en heures et on suppose que ce sont des variables aléatoires indépendantes, notées respectivementX Y etZ,et suivant toutes la loi uniforme sur[0,1[.

• La durée du changement de personne à un guichet est négligeable.

1. On poseU = min(X, Y)etV = max(X, Y)et on admet queU etV sont des variables aléatoires.

a. Montrer que la fonction de répartitionFUdeU est définie parFU(x) =











0 six <0 2x−x² si06x61.

1 six >1 b. En déduire queU est une variable aléatoire à densité et donner une densitéf_U deU.

c. Déterminer l’espérance et la variance deU.

2. On noteT le temps total passé parCdans l’agence bancaire.

a. ExprimerT en fonction de certaines variables précédentes.

b. En déduireE(T)etV(T).

3. a. On rappelle que, si a et b sont deux vecteurs lignes de taille n, les commandes m=min(a,b) et M=max(a,b) renvoient les vecteurs m et M, de même taille que a et b, et tels que, pour tout ide [[1, n]],on ait :m(i)=min(a(i),b(i)) et M(i)=max(a(i),b(i)).

On rappelle également quegrand(1,n,’unf’,0,1) simulenvariables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur[0,1[.

Complèter les commandesScilab suivantes pour qu’elles permettent de simulernfois les variables aléatoiresU, V etT,pournentré par l’utilisateur :

n=input(’entrez la valeur de n :’) x=grand(1,n,’unf’,0,1)

y=grand(1,n,’unf’,0,1) z=grand(1,n,’unf’,0,1) u= --- ; disp (u, ’u=’) v= --- ; disp (v, ’v=’) t= --- ; disp (t, ’t=’) b. Que représente l’événement(T >V)?

c. On souhaite déterminer une valeur approchée de la probabilitép=P(T >V)en simulant un grand nombre de fois le passage des clientsA, BetCaux guichets.

Compléter les commandesp= —— ; disp(p, ’p=’) pour que, placées sous les commandes écrite à la question 3a, elles permettent d’obtenir une valeur approchée dep.

d. Lors de plusieurs essais des commandes ci-dessus, avecn= 10000,la réponse donnée parScilab est comprise entre 0.66 et 0.67.

Que peut-on conjecturer quant à la valeur exacte dep? Exercice XXIII. (HEC 2012)

L’objet du problème est l’étude de quelques propriétés d’une loi de probabilité utilisée notamment en fiabilité.

Soitλ >0. On considère la fonctionf_λdeRdansRdéfinie par f_λ(x) =









 λ 2√

xe^−λ

√x si x >0

0 si x60

1. a. Montrer que la fonctionfλest de classeC²surR^∗₊.

b. Dresser le tableau de variation def_λsurR^∗+et préciser les limites suivantes : lim

x→0⁺f_λ(x), lim

x→+∞f_λ(x).

c. Etablir la convexité de la fonctionf_λsurR^∗+.

d. Tracer l’allure de la courbe représentative def_λ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

2. a. Vérifier que la fonctionx7→ −e^−λ√xest une primitive def_λsurR^∗+. b. Etablir la convergence de l’intégrale

+∞

Z

0

f_λ(x)dx et calculer sa valeur.

c. En déduire que la fonctionf_λest une densité de probabilité surR^∗+.

3. SoitXune variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(Ω;A;P), à valeurs strictement positives, ayantf_λ pour densité. On noteF_λla fonction de répartition deXet on pose Y =λ√

X.

a. Calculer pour toutxréel,F_λ(x).

b. Montrer queY suit la loi exponentielle de paramètre 1.

c. établir pour toutrdeN^∗, l’existence deE(Y^r).

d. Montrer que pour toutrdeN^∗, on a E Y^r+1

= (r+ 1)E(Y^r).

e. En déduire pour toutrdeN^∗,E(Y^r)etE(X^r). En particulier, calculerE(X)etV(X).

Exercice XXIV. (EML 2003)

1. Montrer que l’intégrale Z +∞

2

1 x√

xdxest convergente et calculer sa valeur.

Soitf :R−→Rla fonction définie par :







f(x) = 0 six <2 f(x) = 1

x√

2x six>2 2. Montrer quef définit une densité de probabilité.

3. SoitXune variable aléatoire réelle admettantf pour densité.

a. Déterminer la fonction de répartition deX.

b. La variable aléatoireXadmet-elle une espérance ?

On considère trois variables aléatoires indépendantesT₁,T₂etT₃, chacune de même loi queX.

4. On condidère la variable aléatoireU = inf (T₁, T₂, T₃) a. Déterminer la fonction de répartitionGdeU

b. Montrer queU admet une densité et déterminer une densitégdeU. c. Montrer queU admet une espérance et calculerE(U).

5. On condidère la variable aléatoireV = sup (T₁, T₂, T₃).

a. Déterminer la fonction de répartitionH deV

b. Montrer queV admet une densité et déterminer une densitéhdeV. c. La variable aléatoireV admet-elle une espérance ?

Exercice XXV. (EML 2004)

1. Montrer que l’intégrale Z +∞

2

1

3^tdtest convergente et déterminer sa valeur.

On noteα= Z +∞

2

1

3^tdtet on considère la fonctiongdéfinie surRpar :



 g(t) = 0 sit∈]−∞; 2[

g(t) = 1

sit∈[2; +∞[

2. Vérifier quegest une densité de probabilité.

On noteY une variable aléatoire admettantgcomme densité.

3. Montrer queY admet une espérance et calculer cette espérance.

4. On note Z la variable aléatoire égale à la partie entière de Y. On rappelle que la partie entière d’un nombre réelxest le plus grand entier inférieur ou égal àx.

Déterminer la loi de probabilité deZ.

5. a. Montrer queZ−1suit une loi usuelle que l’on déterminera.

b. En déduire queZadmet une espérance et la calculer.

Exercice XXVI. (EDHEC 2013)

1. On considère la fonctionfdéfinie pour toutxréel par :f(x) =

( 1− |x| si x∈[−1; 1]

0 si x∈R\[−1; 1]

a. Calculer

1

Z

0

f(x)dx. En déduire sans calcul

0

Z

−1

f(x)dx. b. Vérifier quef peut être considérée comme une densité.

On considère dorénavant une variable aléatoireX, définie sur un espace probabilisé(Ω;A;P) , et admettantf comme densité.

2. a. Etablir l’existence de l’espérance deX, puis donner sa valeur.

b. Etablir l’existence de la variance deX, puis donner sa valeur.

3. Montrer que la fonction de répartition deXest définie par :F_X(x) =























0 si x <−1 1

2+x+x²

2 si −16x60 1

2+x−x²

2 si 0< x61 1 si x >1 On poseY = |X|et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l’espace probabilisé(Ω;A;P).

On noteF_Y sa fonction de répartition.

4. a. Donner la valeur deF_Y (x)lorsquexest strictement négatif.

b. Pour tout réelxpositif ou nul, exprimerF_Y (x)à l’aide de la fonctionF_X. c. En déduire qu’une densité deY est la fonctiongdéfinie par :g(x) =

( 2 (1−x) si x∈[0; 1]

0 si x∈R\[0; 1]

d. Montrer queY possède une espérance et une variance et les déterminer.

5. On considère deux variables aléatoiresUetV, elles aussi définies sur(Ω;A;P), indépendantes et suivant toutes les deux la loi uniforme sur[0; 1].

On poseI = inf (U;V), c’est-à-dire que, pour toutωdeΩ, on aI(ω) = inf (U(ω) ;V (ω)).

On admet queI est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur(Ω;A;P), et on rappelle que, pour tout réelx, on aP(I > x) =P((U > x)∩(V > x)).

Pour finir, on noteF_Ila fonction de répartition deI.

a. ExpliciterF_I(x)pour tout réelx.

b. En déduire queI suit la même loi queY.

6. On considère plus généralementnvariables aléatoiresX₁;X₂;. . .;X_n,n>2, toutes définies sur(Ω;A;P) indépendantes et suivant la loi uniforme sur[0; 1].

On poseIn= inf (X1;X2;. . .;Xn).

Déterminer la fonction de répartition de I_n et montrer que la suite (I_n)_n∈

N^∗converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

Exercice XXVII. (Ecricome 2016)

1. Pour toutn∈N,on définit la fonctiong_n: [0,+∞[→Rpar : gn(x) = (ln(1 +x))ⁿ

(1 +x)² .

a. Étudier les variations de la fonctiong₀,définie sur[0,+∞[par :g₀(x) = 1 (1 +x)².

Préciser la limite deg0en+∞,donner l’équation de la tangente en 0, et donner l’allure de la courbe représentative deg₀.

b. Pourn>1,justifier queg_nest dérivable sur[0,+∞[et montrer que :

∀x∈[0,+∞[, g_n⁰(x)>0⇐⇒n>2 ln(1 +x).

En déduire les variations de la fonctiong_nlorsquen>1.

Calculer soigneusement lim

x→+∞gn(x).

c. Montrer que, pourn>1, gnadmet un maximum sur[0,+∞[qui vaut : M_n=n

2e n

et déterminer lim

n→+∞Mn.

d. Montrer enfin que, pour toutn>1:

gn(x) = o

x→+∞

1 x^3/2

.

2. On pose pour toutn∈N:

I_n= Z +∞

0

g_n(t)dt.

a. Montrer que l’intégraleI₀est convergente et la calculer.

b. Montrer que pour tout entiern>1,l’intégraleInest convergente.

c. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

∀n∈N, I_n+1 = (n+ 1)I_n.

d. En déduire que :

∀n∈N, In=n!.

3. Pour toutn∈N,on définit la fonctionf_npar :

∀x∈R, fn(x) =







0 six <0 1

n! gn(x) six>0 a. Montrer que pour toutn∈N, f_nest une densité de probabilité.

On considère à présent, pour toutn∈N, X_nune variable aléatoire réelle admettantf_npour densité.

On noteraFnla fonction de répartition deXn.

a. La variable aléatoireX_nadmet-elle une espérance ? b. Que vautF_n(x)pourx <0etn∈N?

c. CalculerF₀(x)pourx>0.

d. Soitx>0etk∈N^∗.Montrer que :

F_k(x)−Fk−1(x) =−1 k!

(ln(1 +x))^k 1 +x .

e. En déduire une expression de Fn(x) pourx > 0 etn ∈ N^∗ faisant intervenir une somme (on ne cherchera pas à calculer cette somme).

f. Pourx∈Rfixé, déterminer la limite deF_n(x)lorsquentend vers+∞.

g. La suite de variables aléatoires(Xn)n∈Nconverge-t-elle en loi ? 2. Pour toutn∈N,on noteYn= ln(1 +Xn).

a. Justifier queY_nest bien définie. Quelles sont les valeurs prises parY_n? b. Justifier queY_nadmet une espérance et la calculer.

c. Justifier queY_nadmet une variance et la calculer.

d. On noteHnla fonction de répartition deYn.Montrer que :

∀x∈R, H_n(x) =F_n(e^x−1).

e. Montrer queY_nest une variable aléatoire à densité et donner une densité deY_n.

f. Reconnaître la loi deY0.A l’aide de ce qui précède, déterminer le moment d’ordrekdeY0pour tout k∈N^∗.