D230 : La randonnée à bicyclette
Soit l la distance minimale et L la distance maximale entre deux des 6 villes. La
disposition la plus « compacte » de 6 points est celle du pentagone régulier centré, pour lequel L/l=2sin(2!/5)=1,902 (plus compacte que l’hexagone régulier pour lequel L/l=2).
Pour le démontrer, on peut supposer que A et B sont distants de L ; les 4 autres points appartiennent alors à la « monture de lunettes », portion du plan comprise entre les 4 cercles de rayon l et L et de centres A et B (si L<2l, les deux petits cercles sont sécants, et il n’y a pas de points sur l’axe de symétrie compris entre A et B). Il est alors facile de constater que, par rapport à l’axe de symétrie AB, on ne peut avoir une configuration symétrique avec 2 points au dessus et 2 points au dessous à des distances comprises entre l et L. On a donc 3 points d’un coté (l’un, C, sur la perpendiculaire à AB en son milieu, et les deux autres, D et E, symétriques par rapport à cette droite) et F de l’autre coté de AB, également sur cette perpendiculaire.
Si l=15 , il est donc impossible que L<28,53. La première valeur donnée par Hippolyte est donc fausse. La seconde est à la limite, avec les arrondis, et l’on est donc très proche de la configuration du pentagone régulier centré, dans lequel
AB=BD=DF=FE=EA=L et où AF=FB=BE=ED=DA=l’=2lsin(!/5)=17,63.
La distance minimale parcourue est alors 2l+4l’=100,52.
Comme, avec les arrondis, 14,95≤l<15,05, 17,57≤l’<17,69 et 28,45≤L<28,55 , le rapport L/l ne peut excéder 1,91. La distance minimale ne peut donc être inférieure à 100,1 ni excéder la valeur correspondant aux limites supérieures des arrondis, soit un maximum de 101,0. La distance minimale sera donc de 100 km à 1 km près.
