D245 : Des cercles dans un carré

D245 : Des cercles dans un carré

Dans un carré de côté 80, je trace des cercles dont la longueur totale des circonférences est égale à 2008. Montrer qu’il existe une droite qui coupe au moins 8 d’entre eux.

Si la longueur totale des circonférences est 2008, la somme des diamètres est donc égale à 639,17…, soit un peu moins de 8 fois (donc strictement supérieur à 7 fois) le coté du carré c=80 . Choisissons un coté du carré, et soit F(x) la fonction qui associe à la distance x le nombre de cercles coupés par la parallèle à un coté du carré distante de x (0≤x≤c) : si le maximum de F(x) sur [0,c] était inférieur ou égal à 7, on pourrait répartir les cercles en 7 familles disjointes, telles que les projections des diamètres des cercles de chaque famille sur le coté choisi soient disjointes : pour x=0, il y a au plus 7 cercles tangents au coté ; en faisant croître x, un nouveau cercle ne pourra être intercepté que si F est inférieur à 7, donc si l’un des cercles précédemment interceptés a « laissé sa place » .

La somme des diamètres des cercles de chaque famille serait alors inférieure ou égale à c et la somme totale des diamètres serait inférieure ou égale à 7c, d’où contradiction.

Le maximum de F(x) est donc au moins égal à 8, et il existe une droite qui coupe au moins 8 cercles.