Page 1/3 D1951 Douze cercles par un même point.
Problème proposé par Dominique Roux
On donne dans le plan 3 points A, B, C et deux droites perpendiculaires (d') et (d'') sécantes en un quatrième point D.
(d') coupe les côtés respectifs du triangle ABC en A', B', C' et (d'') coupe de même les côtés de ABC en A'', B'', C''.
a) Montrer que les cercles (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), (ABC) passent par un même point M' et que leurs centres sont sur un même cercle passant aussi par M'.
De même les cercles (AB''C''), (BC''A''), (CA''B''), (ABC) passent par un point M'' situé sur le cercle contenant leurs centres.
b) Existe-t-il un couple (d'), (d'') pour lequel M' et M'' sont confondus en un point M ? Discuter suivant la position de D par rapport au triangle ABC.
c) On se place dans le cas où M' et M'' sont confondus en un point M. Montrer qu'alors les cercles de diamètres [A'A''], [B'B''], [C'C''] passent aussi par le point M.
a) Les cercles (AB'C') et (BC'A') ont en commun le point C' et un autre point M'. Les droites de Simson de M' par rapport aux deux triangles AB'C' et BC'A' sont confondues car elles passent par les projections orthogonales de M' sur (d') et sur (AC'B). Il en résulte que les projections
orthogonales de M' sur les trois côtés des triangles (CA'B') ou (ABC) sont alignées sur cette même droite, et que ce point M' appartient aux quatre cercles (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), (ABC).
Dans une inversion de pôle M' les quatre cercles précédents deviennent quatre droites, la droite d' et les trois côtés du triangle ABC deviennent quatre cercles passant par M'. La figure obtenue a les mêmes propriétés que la figure de départ : les projections orthogonales du point M' sur les quatre droites y sont encore alignées sur une droite Δ. L'inverse de Δ est un cercle Δ1 qui passe par M' et par les points diamétralement opposés à M' sur les quatre cercles (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), (ABC).
Les centres de ces quatre cercles sont donc sur un même cercle qui passe aussi par M' : c'est le cercle déduit de Δ1 par l'homothétie de centre M' et de rapport 1/2.
Résultats analogues en remplaçant la droite (d') par la droite (d'') : les cercles (AB''C''), (BC''A''), (CA''B''), (ABC) passent par un point M'' situé sur le cercle contenant leurs centres.
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b) Soit (F) la famille des paraboles tangentes aux trois côtés du triangle ABC. Chaque point M du cercle circonscrit à ce triangle est le foyer d'une seule parabole (P) tangente aux trois côtés, la tangente au sommet est la droite de Simson de M, et la directrice est la droite de Steiner de M.
Si les foyers M' et M'' des paraboles (P') et (P'') de (F) tangentes respectivement à (d) et (d') sont confondus, (P') et (P'') sont confondues. Si du point D on peut mener à une parabole (P), deux tangentes (d') et (d'') perpendiculaires, c'est que D est sur la directrice. D est sur la droite de Steiner de M qui passe par l'orthocentre H de ABC.
Si D est distinct de H, il existe un couple unique (d'), (d'') pour lequel M' et M'' sont confondus en un point M : on peut tracer la droite DH, les trois droites symétriques de la directrice DH par rapport aux côtés AB, BC, CA ont pour point commun le foyer M ( situé sur le cercle ABC), de la parabole (P) de (F).
Les deux tangentes issues de D à (P) sont les droites (d') et (d'') perpendiculaires.
Si D est en H, les deux tangentes issues de H à toute parabole de (P) sont perpendiculaires.
Et réciproquement, pour tout couple (d') (d'') de droites perpendiculaires issues de H il existe un point M du cercle (ABC) qui est le foyer d'une parabole (P) tangente à AB, BC, CA, (d'), et (d'').
Page 3/3 c) Dans la figure suivante, trois des huit cercles sont tracés et M' et M'' sont confondus en M.
Angles de droites : (MA',MA'') = (MA',MB)+(MB,MA'')
Or (MA',MB) = (C'A',C'B) dans le cercle rouge et (MB,MA'') = (C''B,C''A'') dans le cercle vert, d'où (MA',MA'') = (C'A',C'B) + (C''B,C''A'') = (d',AB) + (AB,d'') = (d',d'') = 90°
Donc, quand M' et M'' sont confondus en M, le cercle de diamètre A'A'' passe par aussi par M.
Résultats analogues pour les cercles de diamètre B'B'' et C'C''.
Au total on trouve bien 7 + 2 + 3 = 12 cercles qui passent par M :
les 7 cercles (AB'C'), (BC'A'), (CA'B'), (ABC),(AB''C''), (BC''A''), (CA''B''), les 2 cercles qui passent par leurs centres,
et les 3 cercles de diamètres A'A'', B'B'', C'C''.
