التصحيح

ءايميكلا رتسإ عينصتو ضمح ةرياعم : لوألا ءزجلا 1 - كيوناثيإلا ضمح ةرياعم

1.1 - ةرياعملا ءانثأ لصاحلا لوحتلل ةجذمنملا ةلداعملا :

𝐶𝐻

𝐶𝑂𝑂𝐻

+ 𝐻𝑂

→ 𝐶𝐻

𝐶𝑂𝑂

+ 𝐻

𝑂

1 - 2 - 1 - فاضملا مويدوصلا ديسكورديه لولحم مجح

ؤفاكتلا دنع ةقتشملا ةلادلا فارطم لوصفأ لثمي اينايبم

𝑑𝑃𝐻 𝑑𝑉𝐵

مجحلا 𝑉_𝐵𝐸 دجن ؤفاكتلا دنع 𝑉_𝐵𝐸 = 20 𝑚𝐿

1 - 2 - 2 - ةلتكلا لولحملا ريضحتل ةمزاللا𝑚

(𝑆_𝐴) :

: ؤفاكتلا ةقالع 𝐶_𝐴. 𝑉_𝐴 = 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵𝐸 ⇒ 𝐶_𝐴 =𝐶_𝐵.𝑉_𝐵𝐸

𝑉_𝐴

: انيدل

𝐶_𝐴 = ^𝑛(𝐴)_𝑉 = _{𝑉.𝑀(𝐴)}^𝑚 𝑚

𝑉. 𝑀(𝐴)=𝐶_𝐵.𝑉_𝐵𝐸

𝑉_𝐴 ⇒ 𝑚 =𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵𝐸

𝑉_𝐴 . 𝑉. 𝑀(𝐴) :ع.ت 𝑚 =^2.10₂₀^−2×20× 1 × 60

:يأ 𝑚 = 1,2 𝑔

1 - 3 - لعافت نأ تابثإ دودحم ءاملا عم كيوناثيإلا ضمح

: لعافتلا ةلداعم 𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂𝐻_(𝑎𝑞)+ 𝐻₂𝑂_(𝑙) ⇄ 𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂 _(𝑎𝑞)⁻ + 𝐻₃𝑂 _(𝑎𝑞)⁺

: انيدل 𝐶_𝐴 =^𝐶𝐵._𝑉^𝑉𝐵𝐸

𝐴 =^2.10₂₀^−2×20= 2.10⁻² 𝑚𝑜𝑙. 𝐿⁻¹ نايبملا بسح 𝑝𝐻 = 𝑓(𝑉_𝐵)

مجحلا دنع 𝑉_𝐵 = 0

نوكي 𝑝𝐻 = 3,2

يئاهنلا مدقتلا ةبسن باسح :𝜏

𝜏 =_𝑥^𝑥𝑓 𝑚𝑎𝑥

: هنمو 𝜏 =^[𝐻3_𝐶^𝑂+].𝑉

𝐴.𝑉 = ^[𝐻3_𝐶^𝑂+]

𝐴 =¹⁰_𝐶^−𝑝𝐻 𝐴

: ع.ت 𝜏 =_2.10^10−3,2₋₂ = 0,03 = 3%

: نأ ظحالن 𝜏 < 100%

دودحم ءاملا عم كيوناثيإلا ضمح لعافت نذإ

1 - 4 - ريبعتلا تابثإ 𝑉_𝐵. 10^−𝑝𝐻 = 𝐾_𝐴. (𝑉_𝐵𝐸− 𝑉_𝐵)

:

: ةرياعملا لعافتل يفصولا لودجلا 𝑪𝑯_𝟑𝑪𝑶𝑶𝑯_(𝒂𝒒)+ 𝑯𝑶 _(𝒂𝒒)⁻ → 𝑪𝑯_𝟑𝑪𝑶𝑶 _(𝒂𝒒)⁻ + 𝑯_𝟐𝑶_(𝒍)

لعافتلا ةلداعم

ب ةداملا تايمك (𝒎𝒐𝒍)

مدقتلا ةعومجملا ةلاح

𝟎 ريفو 𝑪_𝑩. 𝑽_𝑩

𝑪_𝑨. 𝑽_𝑨 ةيئدبلا ةلاحلا 𝟎

𝒙_𝒇 ريفو 𝑪_𝑩. 𝑽_𝑩− 𝒙_𝒇

𝑪_𝑨. 𝑽_𝑨 − 𝒙_𝒇 𝒙_𝒇

ةيئاهنلا ةلاحلا

وه دحملا لعافتملا ؤفاكتلا لبق 𝐻𝑂⁻

: 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵− 𝑥_𝑓 = 0

: يأ 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵 = 𝑥_𝑓

𝑛_𝑓(𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂𝐻) = 𝐶_𝐴. 𝑉_𝐴− 𝑥_𝑓 = 𝐶_𝐴. 𝑉_𝐴 − 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵 𝑛_𝑓(𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂⁻) = 𝑥_𝑓 = 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵

[𝐻₃𝑂⁺]_é𝑞 = 10^−𝑝𝐻

𝐾_𝐴 = [𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂⁻]_é𝑞. [𝐻₃𝑂⁺]_é𝑞

[𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂𝐻]_é𝑞 = 10^−𝑝𝐻.

𝑛_𝑓(𝐶𝐻₃𝐶𝑂𝑂⁻) 𝑉_𝐴+𝑉_𝐴 𝑛𝑓(𝐶𝐻3𝐶𝑂𝑂−)

𝑉𝐴+𝑉𝐵

= 10^−𝑝𝐻. 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵

𝐶_𝐴. 𝑉_𝐴− 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵= 10^−𝑝𝐻. 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵𝐸− 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵

𝐾_𝐴 = 10^−𝑝𝐻 𝐶_𝐵. 𝑉_𝐵

𝐶_𝐵(𝑉_𝐵𝐸− 𝑉_𝐵)= 10^−𝑝𝐻. 𝑉_𝐵

𝑉_𝐵𝐸− 𝑉_𝐵 ⇒ 𝑉_𝐵. 10^−𝑝𝐻 = 𝐾_𝐴. (𝑉_𝐵𝐸− 𝑉_𝐵)

جاتنتسا 𝑝𝐾_𝐴

:

: دنع اينايبم 𝑉_𝐵 =^𝑉𝐵𝐸₂ = 4𝑚𝐿

: دجن 𝑝𝐻 = 4,8

𝑉_𝐵𝐸

2 . 10^−𝑝𝐻 = 𝐾_𝐴. (𝑉_𝐵𝐸−𝑉_𝐵𝐸

2 ) ⇒ 10^−𝑝𝐻 = 𝐾_𝐴 ⇒ 𝑝𝐾_𝐴 = 𝑝𝐻 = 4,8

2 - رتسإلا عينصت

2.1 - : ةرتسألا ةلداعم

𝐶𝐻

− 𝐶𝑂𝑂𝐻 + 𝐶

𝐻

− 𝐶𝐻

− 𝑂𝐻 ⇄ 𝐶𝐻

𝐶𝑂𝑂 − 𝐶𝐻

− 𝐶

𝐻

+ 𝐻

𝑂

2.2 - : رتسإلا لعافت دودرم 𝑟₁ = 𝑛_𝑒𝑥𝑝(𝐸)

𝑛_𝑡ℎ(𝐸)

: انيدل

{

𝑛_𝑒𝑥𝑝(𝐸) = 𝑚(𝐸)

𝑀(𝐸)= 9,75

150 = 0,065 𝑚𝑜𝑙 𝑛_𝑡ℎ(𝐸) = 𝑛₀(𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒) = 𝑛₀(𝑎𝑙𝑐𝑜𝑜𝑙) =𝑚(𝑎𝑙𝑐𝑜𝑜𝑙)

𝑀(𝑎𝑙𝑐𝑜𝑜𝑙)= 6

60= 0,1 𝑚𝑜𝑙

⇒ 𝑟₁ = 0,065

0,1 = 0,65 = 65%

2.3 - : ةيناثلا ةلاحلا يف ةرتسألا لعافت دودرم 𝑟₂ =𝑛_𝑒𝑥𝑝(𝐸)

𝑛_𝑡ℎ(𝐸) = 𝑥_𝑓2 𝑥_𝑚𝑎𝑥

سح لاؤسلا ب 2.2

- : بتكن 𝐾 = [𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟][𝑒𝑎𝑢]

[𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒][𝑎𝑙𝑐𝑜𝑜𝑙]= _𝑛^{𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟.𝑛𝑒𝑎𝑢}

𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒.𝑛_{𝑎𝑙𝑐𝑜𝑜𝑙} = ^(𝑥𝑓1)

2

(𝑛₀−𝑥𝑓1)² =(0,1−0,065)^{(0,065)2 2}= 3,45

: بتكن ةيناثلا ةلاحلا يف 𝐾 = (𝑥_𝑓2)²

(𝑛_𝑎𝑐− 𝑥_𝑓2)(𝑛_𝑎𝑙 − 𝑥_𝑓2)⇒ (𝐾 − 1)(𝑥_𝑓2)²− 𝐾(𝑛_𝑎𝑐+ 𝑛_𝑎𝑙)𝑥_𝑓2+ 𝐾. 𝑛_𝑎𝑐. 𝑛_𝑎𝑙 = 0 (3,45 − 1)(𝑥_𝑓2)²− 3,45 × (0,1 + 0,2)𝑥_𝑓2+ 3,45 × 0,1 × 0,2 = 0

2,45(𝑥_𝑓2)²− 1,035𝑥_𝑓2+ 0,069 = 0

ةليصأب ضرألا و ةايحلا مولع تايدتنم

{

𝑥_𝑓2 =1,35 − √1,35²− 4 × 2,45 × 0,069

2 × 2,45 = 0,083 𝑚𝑜𝑙

𝑥′_𝑓2 = 1,35 + √1,35² − 4 × 2,45 × 0,069

2 × 2,45 = 2,340𝑚𝑜𝑙

⇒ 𝑥_𝑓2 = 0,083 𝑚𝑜𝑙 ⇒ 𝑟₂ =0,083

0,1 = 0,83 = 83%

2.4 - : نأ ظحالن 𝑟₂ > 𝑟₁

. ةرفوب نيلعافتملا دحأ دوجو يف نسحتي ةرتسالا دودرم نأ ظحالن

لكين دومعلا ةسارد : يناثلا ءزجلا –

تلابوك

1 - )د( وه حيحصلا باوجلا

) ابولطم سيل ليلعتلا(

: ةيئدبلا ةلاحلا دنع لعافتلا جراخ ددحنل 𝑄_𝑟,𝑖 =^[𝐶𝑜_[𝑁𝑖²⁺_2+]^]𝑖

𝑖 =^𝐶_𝐶²

1 = _0,03^0,3 = 10

: نأ ظحالن 𝑄_𝑟,𝑖 = 10 < 𝐾 = 100

. رشابملا ىحنملا يف ايئاقلت ةعومجملا روطتت

. تلابوكلا دورتكلإ وه دومعلل بلاسلا بطقلاو )بجوملا بطقلا( لكينلا دورتكلإ دنع لازتخا ثدحي . تلابوكلا دورتكلإ وحن لكينلا دورتكلإ نم دومعلا جراخ يئابرهكلا رايتلا رمي يلاتلابو د وه حيحصلا باوجلا

2 - ريبعت 𝑡_𝑒 ةعومجملا نزاوت خيراتلا 𝐾 = [𝐶𝑜²⁺]_é𝑞

[𝑁𝑖²⁺]_é𝑞 =

𝐶₂𝑉+𝑥_é𝑞 𝑉 𝐶1.𝑉−𝑥é𝑞

𝑉

= 𝐶₂𝑉 + 𝑥_é𝑞

𝐶₁. 𝑉 − 𝑥_é𝑞 ⇒ (𝐶₁. 𝑉 − 𝑥_é𝑞). 𝐾 = 𝐶₂. 𝑉 + 𝑥_é𝑞 ⇒ 𝑥_é𝑞 =𝐾. 𝐶₁− 𝐶₂ 1 + 𝐾 . 𝑉

: انيدل 𝑄 = 𝑛(é). 𝐹 = 𝐼. ∆𝑡 ⇒ 2𝑥_é𝑞. 𝐹 = 𝐼. 𝑡_𝑒 ⟹ 𝑡_𝑒 = 2𝑥_é𝑞𝐹

𝐼 ⟹ 𝑡_𝑒 =2(𝐾. 𝐶₁− 𝐶₂) 1 + 𝐾 .𝐹. 𝑉

𝐼 :ع.ت

𝑡_𝑒 =2 × (100 × 0,03 − 0,3) × 9,65.10⁴× 0,1

(1 + 100) × 0,1 ⇒ 𝑡_𝑒 = 5159 𝑠 ≈ 5,16.10³ 𝑠

3 - ريغت : لكينلا دوتكلإ ةلتكل∆𝑚

: يدوثاكلا لازتخالا بسح 𝑁𝑖 _(𝑎𝑞)²⁺ + 2𝑒⁻ ⇄ 𝑁𝑖_(𝑠)

: انيدل 𝑛(𝑁𝑖) = ∆𝑚

𝑀(𝑁𝑖) = 𝑥_𝑒𝑞 ⇒ ∆𝑚 = 𝑀(𝑁𝑖). 𝑥_é𝑞 =𝐾. 𝐶₁− 𝐶₂

1 + 𝐾 . 𝑉. 𝑀(𝑁)𝑖

: ع.ت

∆𝑚 =(100 × 3.101⁻²− 0,3) × 0,1 × 58,7

1 + 100 ⇒ ∆𝑚 = 0,157 𝑔

ةليصأب ضرألا و ةايحلا مولع تايدتنم

ةيوونلا تالوحتلا

1.1 - جامدنإلا لعافت ةلداعم ةلداعملا يه

:𝐴

1

𝐻

2

+ 𝐻

→ 𝐻 +

𝑛

1.2.1 - طبرلا ةقاط ةيونل ةبسنلاب

مويناروألا ةاونل 232

:

𝐸_𝑙(²³⁵₉₂𝑈) =∆𝑚. 𝑐² = [92𝑚_𝑝+ 143𝑚_𝑛− 𝑚(²³⁵₉₂𝑈)]. 𝐶² 𝐸_𝑙(²³⁵₉₂𝑈) = (2,21625 − 2,19835). 10⁵ = 1970𝑀𝑒𝑉

: ةيونل ةبسنلاب طبرلا ةقاط 𝜉(²³⁵₉₂𝑈) =𝐸_𝑙(²³⁵₉₂𝑈)

𝐴 =1970

235 = 7,62 𝑀𝑒 𝑉 𝑛𝑢𝑐𝑙é𝑜𝑛⁄ 1.2.2 - ةقاطلا

|Δ𝐸₀| : لوحتلا نع ةجتانلا

|Δ𝐸₀| = [𝑚(𝑆𝑟) + 𝑚(𝑋𝑒) + 3𝑚(𝑛) − 𝑚(𝑈) − 𝑚(𝑛)]. 𝐶²

|Δ𝐸| = (2,19835 − 2,19655). 10⁵ = 180𝑀𝑒𝑉

1.2 - لوحتلا اذه نع ةجتانلا ةقاطلا :|∆𝐸|

|∆𝐸| = |∆𝑚|. 𝑐² = |𝑚( 𝐻𝑒₂⁴ ) + 2𝑚( 𝑒₁⁰ ) − 𝑚( 𝐻₁¹ )|. 𝑐²

: ع.ت

|∆𝐸| = |4,00151 + 2 × 5,48579.10⁻⁴− 4 × 1,00728| × 931,5𝑀𝑒𝑉. 𝑐⁻². 𝑐² ≈ 24,7 𝑀𝑒𝑉 ⇒

|∆𝐸| = 24,7 × 1,6022.10⁻¹³ ≈ 3,96.10⁻¹² 𝐽

2.2 - تاونسلا ددع باسح : سمشلا يف دوجوملا نيجورديهلا كالهتسال ةمزاللا

نكيل : ثيح نيجورديهلا نم ةدحاو ةاون فرط نم ةرحملا ةقاطلا𝐸′

𝐸′ =^|∆𝐸|₄

و فرط نم ةررحملا ةقاطلا𝐸 ةاون𝑁

: ثيح سمشلا يف ةدوجوملا 𝐸 = 𝑁. 𝐸′

: عم 𝑁 =_{𝑚( 𝐻}^𝑚

11 ) ⇒ 𝐸 = _{𝑚( 𝐻} ^𝑚

11 ).^|∆𝐸|₄

: عم 𝑚 = 0,1𝑚_𝑆

نيجورديهلا ةلتك (

1𝐻 لثمت1

10%

) سمشلا ةلتك نم

ةقاطلا ةنس لك لالخ سمشلا ررحت يف دوجوملا نيجوردديهلا لك كالهتسال ةمزاللا ةينمزلا ةدملاو ، لوحتلا اذه ةجيتن 𝐸

: يه سمشلا {

1𝑎𝑛 → 𝐸_𝑆

∆𝑡 → 𝑚

𝑚( 𝐻₁¹ ).|∆𝐸|

4

⇒ ∆𝑡 = 𝑚

𝑚( 𝐻₁¹ ).|∆𝐸|

4. 𝐸_𝑆 ⇒ ∆𝑡 = 0,1𝑚_𝑆 𝑚( 𝐻₁¹ ).|∆𝐸|

4𝐸_𝑆

: ع.ت

∆𝑡 = 0,1 × 2.10³⁰× 3,96.10⁻¹²

1,00728 × 1,66054.10⁻²⁷× 4 × 10³⁴ = 1,18. 10²⁰ 𝑎𝑛𝑠

: ءابرهكلا 1 - بطقلا يئانث ةسارد 𝑹𝑳

1 - 1 - رتوتلا اهققحي يتلا ةيلضافتلا ةلداعملا تابثإ 𝑢_𝑅1

: يموألا لصوملا يطبرم نيب

: تارتوتلا ةيفاضإ نوناق بسح 𝑢_𝑏+ 𝑢_𝑅1 = 𝐸

𝑢_𝑅1 = 𝑅₁. 𝑖 𝑢_𝑏 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑟𝑖 = 𝐿

𝑅₁.𝑑(𝑅₁. 𝑖)

𝑑𝑡 + 𝑟.𝑅₁. 𝑖 𝑅₁ = 𝐿

𝑅₁.𝑑𝑢_𝑅1 𝑑𝑡 + 𝑟

𝑅₁. 𝑢_𝑅1

𝐿 𝑅₁.𝑑𝑢_𝑅1

𝑑𝑡 + 𝑟

𝑅₁. 𝑢_𝑅1 + 𝑢_𝑅1 = 𝐸 ⇒ 𝐿 𝑅₁.𝑑𝑢_𝑅1

𝑑𝑡 + 𝑢_𝑅1(𝑟 + 𝑅₁

𝑅₁ ) = 𝐸 ⇒ 𝐿

𝑅₁+ 𝑟.𝑑𝑢_𝑅1

𝑑𝑡 + 𝑢_𝑅1 = 𝐸. 𝑅₁ 𝑅₁+ 𝑟

1 - 2 - ديدحت : ةعيشولا ةمواقم𝑟

: مئادلا ماظنلا يف

𝑑𝑢_𝑅1 𝑑𝑡 = 0 : هنمو

𝑢_{𝑅1𝑚𝑎𝑥} = _𝑅^𝐸.𝑅1

1+𝑟

: يلاتلابو 𝑟 =_𝑢^𝐸.𝑅1

𝑅1𝑚𝑎𝑥− 𝑅₁ = 𝑅₁(_𝑢 ^𝐸

𝑅1𝑚𝑎𝑥− 1)

: دجن اينايبم 𝑢_{𝑅1𝑚𝑎𝑥} = 10,4 𝑉

𝑟 = 52 × ( 12

10,4− 1) ⇒ 𝑟 = 8 Ω

3 - 1 - ةميق نم ققحتلا :𝐿

: انيدل 𝜏 =_𝑅^𝐿

1+𝑟

: يأ 𝐿 = 𝜏. (𝑅₁+ 𝑟)

: دجن اينايبم 𝜏 = 10 𝑚𝑠

𝐿 = 10.10⁻³(52 + 8) ⇒ 𝐿 = 0,6 𝐻

2 - بطقلا يئانث ةساد و 𝑹𝑪

𝑹𝑳𝑪

2 - 1 - بطقلا يئلنث ةسارد 𝑹𝑪

2 - 1 - 1 - ديدحت 𝑅₀ :

: موأ نوناق بسح 𝑢_𝑅0 = 𝑅₀. 𝐼₀

: يأ 𝑅₀ =^𝑢_𝐼^𝑅0

0

اينايبم 𝑢_𝑅0 = 2𝑉

: يلاتلابو 𝑅₀ =_4.10²₋₆ = 5.10⁵ Ω = 500 𝑘Ω

2 - 1 - 2 - فثكملا ةعس ةميق :𝐶

: تارتوتلا ةيفاضإ نوناق بسح 𝑢_𝐴𝐵 = 𝑢_𝐶+ 𝑢_𝑅0

: انيدل 𝑞 = 𝐶. 𝑢_𝐶 = 𝐼₀. 𝑡 :يأ

𝑢_𝐶 =^𝐼_𝐶⁰. 𝑡

𝑢_𝐴𝐵 = 𝐼₀

𝐶. 𝑡 + 𝑢_𝑅0

: بتكت ىنحنملا ةلداعم 𝑢_𝐴𝐵 =^Δ𝑢_Δ𝑡^𝐴𝐵. 𝑡 + 𝑢_𝐴𝐵(0) =₁₀₋₀⁶⁻² . 𝑡 + 2 = 0,4𝑡 +

2

𝐼₀

𝐶 = 0,4 ⇒ 𝐶 =_0,4^𝐼0 =^4.10_0,4⁻⁶ ⇒ 𝐶 = 10⁻⁵𝐹 = 10 𝜇𝐹 2 - 2 - بطقلا يئانث ةساد 𝑹𝑳𝑪

2 - 2 - 1 - ةنحشلا اهققحت يتلا ةيلضافتلا ةلداعملا تابثإ : فثكملل𝑞

: تارتوتلا ةيفاضإ نوناق بسح 𝑢_𝑏+ 𝑢_𝑅+ 𝑢_𝐶 = 0

𝑑𝑖 𝑑𝑡= 𝑑

𝑑𝑡(𝑑𝑞

𝑑𝑡) =𝑑²𝑞

𝑑𝑡² ; 𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡 ; 𝑞 = 𝐶. 𝑢_𝐶 عم 𝑢_𝑏 = 𝐿.𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑟. 𝑖 ; 𝑢_𝑅 = 𝑅. 𝑖 𝐿.𝑑²𝑞

𝑑𝑡² + (𝑅 + 𝑟).𝑑𝑞 𝑑𝑡 +𝑞

𝐶 = 0 ⇒𝑑²𝑞

𝑑𝑡² +𝑅 + 𝑟 𝐿 .𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 1

𝐿. 𝐶. 𝑞 = 0

2 - 2 - 2 - ريبعت

𝑑𝐸_𝑇

ةلالدب 𝑑𝑡

و𝑅 و𝑟 :𝑖

ةيلكلا ةقاطلا 𝐸_𝑇

ةيئابرهكلا ةقاطلا عومجم يواست ةاردلا يف 𝐸_𝑒

ةيسيطنغملا ةقاطلا و فثكملا يف ةنوزخملا 𝐸_𝑚

: ةعيشولا يف ةنوزخملا 𝐸_𝑇 = 𝐸_𝑒+ 𝐸_𝑚

{

𝐸_𝑒 = 1

2𝐶. 𝑞² 𝐸_𝑚 =1

2𝐿. 𝑖² = 1 2𝐿. (𝑑𝑞

𝑑𝑡)

2 ⇒ 𝐸_𝑇 = 1

2𝐶. 𝑞²+1 2𝐿. (𝑑𝑞

𝑑𝑡)

2

⇒𝑑𝐸_𝑇 𝑑𝑡 =𝑞

𝐶.𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 𝐿.𝑑𝑞 𝑞𝑡.𝑑²𝑞

𝑑𝑡² =𝑑𝑞 𝑑𝑡. (𝑞

𝐶+ 𝐿.𝑑²𝑞 𝑑𝑡²) : ةيلضافتلا ةلداعملا رابتعاب 𝐿.^𝑑_𝑑𝑡^2𝑞₂ + (𝑅 + 𝑟).^𝑑𝑞_𝑑𝑡 +^𝑞_𝐶 = 0 ⇒ 𝐿.^𝑑_𝑑𝑡^2𝑞₂ +^𝑞_𝐶= −(𝑅 + 𝑟).^𝑑𝑞_𝑑𝑡

𝑑𝐸_𝑇

𝑑𝑡 = −𝑑𝑞 𝑑𝑡. (𝑞

𝐶+ 𝐿.𝑑²𝑞

𝑑𝑡²) = −𝑑𝑞

𝑑𝑡. ((𝑅 + 𝑟).𝑑𝑞

𝑑𝑡) = −(𝑅 + 𝑟) (𝑑𝑞 𝑑𝑡)

2

⇒𝑑𝐸_𝑇

𝑑𝑡 = −(𝑅 + 𝑟)𝑖²

2 - 2 - 3 - ريبعت تابثإ 𝑈₀

:

: تارتوتلا ةيفاضإ نوناق بسح 𝑢_𝑏+ 𝑢_𝑅+ 𝑢_𝐶 = 0

:يأ

𝐿

𝑅.^𝑑𝑢_𝑑𝑡^𝑅+^(𝑅+𝑟)_𝑅 . 𝑢_𝑅 + 𝑢_𝐶 = 0 ةظحللا دنع 𝑡 = 0

: انيدل 𝑢_𝑅 = 0

و 𝑢_𝐶 = 𝑈₀

و : يلاتلاب

𝐿

𝑅. (^𝑑𝑢_𝑑𝑡^𝑅)

𝑡=0+ 𝑈₀ = 0

: جتنتسن 𝑈₀ = −_𝑅^𝐿. (^𝑑𝑢_𝑑𝑡^𝑅)

𝑡=0 ةميق ديدحت 𝑈₀

: 𝑈₀ = −𝐿

𝑅. (∆𝑢_𝑅

∆𝑡 )

𝑡=0

𝑈₀ = −^0,6₄₀×_0−1.25.10²⁻⁰ ₋₃= 12 𝑉 2 - 2 - 4 - نيتظحللا نيب ةرادلا يف لوج لوعفمب ةددبملا ةقاطلا 𝑡 = 0

و 𝑡 = 𝑡₁ :

|𝐸_𝐽| = |𝐸_𝑇(𝑡₁) − 𝐸_𝑇(0)|

𝑢_𝐶 = −(𝑢_𝑏+ 𝑢_𝑅) = − (𝐿 𝑅.𝑑𝑢_𝑅

𝑑𝑡 +𝑟 + 𝑅

𝑅 . 𝑢_𝑅) ; 𝑖 =𝑢_𝑅 𝑅 𝐸_𝑇 =1

2𝐶. 𝑢_𝐶² +1

2𝐿. 𝑖² ⇒ 𝐸_𝑇 =1 2𝐶. (𝐿

𝑅.𝑑𝑢_𝑅

𝑑𝑡 +𝑟 + 𝑅 𝑅 . 𝑢_𝑅)

2

+1 2𝐿. (𝑢_𝑅

𝑅)²

ةظحللا دنع 𝑡 = 0

لكشلا نايبم بسح ( انيدل 2

) 𝑢_𝑅 = 0

: هنمو 𝐸_𝑇(0) =¹₂𝐶 (^𝐿_𝑅. (^𝑑𝑢_𝑑𝑡^𝑅)

𝑡=0)² = ¹₂𝐶. (𝑈₀)² ⇒ 𝐸_𝑇(0) = ¹₂× 10⁻⁵× 12² = 7,2.10⁻⁴ 𝐽 ةظحللا دنع 𝑡₁

: انيدل (^𝑑𝑢_𝑑𝑡^𝑅)

𝑡1

= 0 و 𝑢_𝑅(0) = −0,5 𝑉

: هنمو

𝐸_𝑇(𝑡₁) =¹₂𝐶 (^𝑅+𝑟_𝑅 . 𝑢_𝑅(0))²+¹₂𝐿. (^𝑢𝑅_𝑅⁽⁰⁾)² ⇒ 𝐸_𝑇(𝑡₁) =¹₂(^𝑢𝑅_𝑅⁽⁰⁾)²[𝐶. (𝑅 + 𝑟)²+ 𝐿]

𝐸_𝑇(𝑡₁) =1

2× (0,5 40)

2

[10⁻⁵(40 + 8)²+ 0,6] = 4,87.10⁻⁵ 𝐽

|𝐸_𝐽| = |𝐸_𝑇(𝑡₁) − 𝐸_𝑇(0)| = 7,2.10⁻⁴− 4,87.10⁻⁵⇒ |𝐸_𝐽| = 6,71.10⁻⁴ 𝐽

3 - ةيبيج ةراشإل عسولا نيمضت

3 - 1 - ريبعت تابثإ 𝑢_𝑆(𝑡)

:

: ةقالعلا انيدل 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 =¹₂. [cos(𝑎 + 𝑏) + cos (𝑎 − 𝑏)]

: انيدل 𝑢_𝑆(𝑡) = 𝑘. 𝑢₁(𝑡). 𝑢₂(𝑡) = 𝑘. (𝑠(𝑡) + 𝑈₀). 𝑢₂(𝑡) = 𝑘[𝑆_𝑚. cos(2𝜋𝑓_𝑆. 𝑡) + 𝑈₀]. 𝑈_𝑚. cos(2𝜋𝐹_𝑃. 𝑡)

𝑢_𝑆(𝑡) = 𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚cos(2𝜋𝑓_𝑆. 𝑡) . cos(2𝜋𝐹_𝑝. 𝑡) + 𝑘. 𝑈₀. 𝑈_𝑚cos(2𝜋𝐹_𝑝. 𝑡) 𝑢_𝑆(𝑡) =1

2𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚cos[2𝜋(𝐹_𝑝+ 𝑓_𝑆). 𝑡] +1

2𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚cos[2𝜋(𝐹_𝑝− 𝑓_𝑆). 𝑡] + 𝑘. 𝑈₀. 𝑈_𝑚 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋𝐹_𝑝. 𝑡) : عضن 𝐴 = 𝑘. 𝑈₀. 𝑈_𝑚

و 𝑚 =^𝑆_𝑈^𝑚 0

: هنمو

1

2𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚 =¹₂𝑘. 𝑈₀. 𝑈_𝑚.^𝑆_𝑈^𝑚

0 =¹₂𝐴. 𝑚

و 𝑓₁ = 𝑓_𝑆+ 𝐹_𝑃

و 𝑓₂ = 𝐹_𝑃

و 𝑓₃ = 𝑓_𝑆 − 𝐹_𝑃

: ىلع لصحن

𝑢_𝑆(𝑡) =^𝐴.𝑚₂ . cos(2𝜋𝑓₁. 𝑡) + 𝐴. cos(2𝜋𝑓₂. 𝑡) +^𝐴.𝑚₂ . cos(2𝜋𝑓₁. 𝑡)

3 - 2 - نيمضتلا ةبسن ةميق :𝑚

نايبملا نم اقالطنا انيدل

:

𝑘𝑈₀𝑈_𝑚 = 2

1 و

2𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚 = 0,5 1

2𝑘. 𝑆_𝑚. 𝑈_𝑚 =1

2𝑘. 𝑚. 𝑈₀. 𝑈_𝑚 12 𝑘. 𝑚. 𝑈⁰. 𝑈_𝑚

𝑘𝑈₀𝑈_𝑚 = 1

2𝑚 =0,5

2 ⇒ 𝑚 = 0,5

ددرتلا ةميق 𝑓_𝑆

:

𝑓₁ = 𝑓_𝑆 + 𝐹_𝑃

:يأ 𝑓_𝑆 = 𝐹_𝑃− 𝑓₁

: انيدل نايبملا نم اقالطنا 𝑓₁ = 6,5 𝑘𝐻𝑧

و 𝐹_𝑃 = 5𝑘𝐻𝑧

:يأ 𝑓_𝑆 = 6,5 − 5 = 0,5 𝑘𝐻𝑧 ⇒ 𝑓_𝑆 = 500 𝐻𝑧

3 - 3 - ديدحت 𝐶₀ : قفاوتلا ةرادل فثكملا ةعس

: بتكي قفاوتلا ةرادل صاخلا ددرتلا 𝑓₀ = 𝐹_𝑝 = ¹

2𝜋√𝐿.𝐶𝑒

:يأ 𝐶_𝑒 = _4𝜋2¹_𝐿.𝐹

𝑃2 =_{4𝜋2×60.10}¹_−3(6.103)2 = 1,17.10⁻⁸

نافثكملا و𝐶

𝐶₀ : بتكن يلاوتلا ىلع نابكرم

1

𝐶_𝑒 =_𝐶¹+_𝐶¹ : هنمو 0

1 𝐶₀ = _𝐶¹

𝑒−¹_𝐶=^𝐶−𝐶_𝐶 ^𝑒

𝑒.𝐶

: يلاتلابو 𝐶₀ =_𝐶−𝐶^{𝐶𝑒.𝐶}

𝑒 =^1,17.10_10.10−6⁻⁸_−1,17.10^×10.10−6₋₈= 1,17.10⁻⁸ 𝐹 ⇒ 𝐶₀ = 11,7 𝑛𝐹

كيناكيملا ةيركل كاكتحاب يسأرلا طوقسلا ةسارد : لوألا ءزجلا

1 - : ةيلضافتلا ةلداعملا تابثإ ةيركلا : ةسوردملا ةعومجملا

: ىوقلا درج مسجلا نزو :𝑃⃗

; سديمخرأ ةعفاد : 𝐹

; ةوق :𝑓 عئاملا كاكتحا

ملعملا ربتعن (0 , 𝑘⃗ )

ايليلاغ ضرألاب طبترملا ،

: نتوينل يناثلا نوناقلا قبطن

𝑃⃗ + 𝐹 + 𝑓 = 𝑚𝑎

روحملا ىلع طاقسإلا :𝑂𝑧

𝑚. 𝑔 − 𝜌_ℓ. 𝑉_𝑆𝑔 − 𝜆. 𝑣 = 𝑚𝑎

: هنمو

𝑑𝑣

𝑑𝑡+_𝑚^𝜆 . 𝑣 = 𝑔(1 −^𝜌ℓ_𝑚^.𝑉𝑆)

: عم 𝑚 = 𝜌_𝑆. 𝑉_𝑆

: ةيلضافتلا ةلداعملا

𝑑𝑣 𝑑𝑡+_𝜌^𝜆

𝑆.𝑉_𝑆. 𝑣 = 𝑔(1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆)

2 - ةميق 𝑎₀ دنع عراستلا 𝑡 = 0

: (^𝑑𝑣_𝑑𝑡)

𝑡=0+_𝜌^𝜆

𝑆.𝑉_𝑆. 𝑣₀ = 𝑔(1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆)

عم 𝑣₀ = 0 و

𝑎₀ = (^𝑑𝑣_𝑑𝑡) 𝑡=0

: جتنتسن 𝑎₀ = 𝑔 (1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆) = 9,8 × (1 − 0,15) ⇒ 𝑎₀ = 8,33 m. 𝑠⁻²

3 - ةميق 𝑣_ℓ : ةيدحلا ةعرسلا

دنع 𝑣 = 𝑣_ℓ= 𝑐𝑡𝑒 : نوكي

𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 0

: بتكت ةيلضافتلا ةلداعملا

𝜆

𝜌_𝑆.𝑉_𝑆. 𝑣_ℓ= 𝑔(1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆)

: يأ 𝑣_ℓ =^𝜌𝑆_𝜆^.𝑉𝑆𝑔. (1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆) ⇒ 𝑣_ℓ= _12,4^9,8 × (1 − 0,15) ⇒ 𝑣_ℓ = 0,67 𝑚. 𝑠⁻¹ 4 - ريبعتلا تابثإ

𝑣2

𝑣₁ = 2 −^∆𝑡_𝜏 :

: ةيلضافتلا ةلداعملا لامعتساب 𝑎_𝑖 = −¹_𝜏𝑣_𝑖 + 𝑎₀

: عم 𝑎₀ = 𝑔 (1 −^𝜌_𝜌^ℓ

𝑆)

: ريلوأ ةقيرط لامعتساب 𝑣_𝑖+1 = 𝑎_𝑖. ∆𝑡 + 𝑣_𝑖

: هنمو 𝑣_𝑖+1 = (−¹_𝜏𝑣_𝑖 + 𝑎₀) . ∆𝑡 + 𝑣_𝑖 = −^𝑣_𝜏^𝑖. ∆𝑡 + 𝑎₀. ∆𝑡 + 𝑣_𝑖 ⇒^𝑣𝑖+1_𝑣

𝑖 = 1 −^∆𝑡_𝜏 +^𝑎_𝑣⁰

𝑖. ∆𝑡

𝑣₂

𝑣₁ = 1 −∆𝑡 𝜏 +𝑎₀

𝑣₁. ∆𝑡 = 1 −∆𝑡

𝜏 + 𝑎₀ 𝑎₀. ∆𝑡 + 𝑣⏟₀

0

. ∆𝑡 = 1 −∆𝑡

𝜏 + 1 ⇒𝑣₂

𝑣₁ = 2 −∆𝑡 𝜏

باسح 𝑣₁

: 𝑣₁ = 𝑎₀. ∆𝑡 + 𝑣₀ = 8,33 × 8.10⁻³ = 0,067 𝑚. 𝑠⁻¹

باسح 𝑣₂

: 𝑣₂ = 𝑣₁(2 −^∆𝑡_𝜏) = 0,067 × (2 −^8.101⁻³

12,4

) = 0,127 𝑚. 𝑠⁻¹

2 - خيراتلا 𝑡_𝑙 ةميقلا ةيركلا ةعرس هدنع ذخأت يذلا 0,99. 𝑣_𝑙

:

: انيدل 𝑣 = 𝑣_𝑙. (1 − 𝑒^−𝜏𝑡 ) : يأ

𝑒^−𝑡𝜏= 1 −_𝑣^𝑣 𝑙

: هنمو

𝑡

𝜏 = − ln (1 −_𝑣^𝑣

𝑙) ⇒ 𝑡 = −𝜏. ln (1 −_𝑣^𝑣

𝑙)

: ع.ت 𝑡_𝑙= −_12,4¹ ln(1 − 0,99) ⇒ 𝑡_𝑙 = 0,37 𝑠

6 - ةفاسملا ةيركلا اهتعطق يتلا𝑑

خ : يلاقتنإلا ماظنلا لال

: هراسم لوط يلاقتنالا ماظنلا : هتدمو𝑑

𝑡_𝑙 = 0,37 𝑠

مئادلا ماظنلا ةيميقتسم ةكرح(

)ةمظتنم هراسم لوط

𝑑^′= 𝑣_𝑙. (∆𝑡_𝑓− 𝑡_𝑙)

: هتدمو 𝑡₂ = ∆𝑡_𝑓− 𝑡_𝑙 = 1,14 − 0,37 = 0,77 𝑠

𝐻 = 𝑧₀+ 𝑑 + 𝑑^′⇒ 𝑑 = 𝐻 − 𝑧₀− 𝑑^′ = 𝐻 − 𝑧₀ − 𝑣_𝑙. 𝑡₂

: ع.ت 𝑑 = 0,796 − 0,03 − 0,67 × 0,77 ⇒ 𝑑 = 0,25 𝑚

دلا : يناثلا ءزجلا ر

نرم ساونل ةيقاطلا ةسا

1 - ةلاطإلا ريبعت

∆ℓ₀ : نزاوتلا دنع

لا ةعومجم ةيركلا : ةسوردملا

: ىوقلا درج ، ةيركلا نزو :𝑃⃗

، حطسلا ريثأت :𝑅⃗

توت :𝑇⃗

ر ضبانلا

: نتوينل لوألا نوناقلا قبطن 𝑃⃗ + 𝑅⃗ + 𝑇⃗ = 0⃗

روحملا ىلع طاقسإلا :𝑂𝑥

𝑃_𝑥+ 𝑅_𝑥+ 𝑇_𝑥 = 0 :يأ

𝑚𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝐾. ∆ℓ₀ = 0

: يلاتلاب و

∆ℓ₀ =^{𝑚.𝑔.𝑠𝑖𝑛𝛼}_𝐾

2 - 1 - ريبعت 𝐸_𝑃 : بذبذتملل عضولا ةقاط

: انيدل 𝐸_𝑃 = 𝐸_𝑃𝑒 + 𝐸_𝑝𝑝

: عم 𝐸_𝑃𝑒 =¹₂𝐾(∆ℓ₀+ 𝑥)² + 𝑐𝑡𝑒

ةيعجرملا ةلاحلا 𝐸_𝑃𝑒 = 0

دنع 𝑥 = 0 : يلاتلابو 𝑐𝑡𝑒 = −¹₂𝐾. ∆ℓ₀²

ريبعت 𝐸_𝑃𝑒 : حبصي 𝐸_𝑃𝑒 =¹₂𝐾(∆ℓ₀ + 𝑥)²−¹₂𝐾. ∆ℓ₀²

𝐸_𝑃𝑃 = 𝑚. 𝑔𝑧 + 𝑐𝑡𝑒

ةيعجرملا ةلاحلا 𝐸_𝑃𝑃 = 0

دنع 𝑧 = 0 : هنمو 𝑐𝑡𝑒 = 0

𝐸_𝑃𝑃 = 𝑚. 𝑔. 𝑧

عم 𝑧 = −𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝛼

و 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐾. ∆ℓ₀

ريبعت 𝐸_𝑝𝑝 : حبصي 𝐸_𝑃𝑃 = −𝑚. 𝑔. 𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝐾. 𝑥. ∆ℓ₀

𝐸_𝑝 =1

2𝐾(∆ℓ₀+ 𝑥)²−1

2𝐾. ∆ℓ₀²− 𝐾. 𝑥. ∆ℓ₀ =1

2𝐾. ∆ℓ₀² + 𝐾. 𝑥. ∆ℓ₀+1

2𝐾. 𝑥² −1

2𝐾. ∆ℓ₀²− 𝐾. 𝑥. ∆ℓ₀ 𝐸_𝑃 = 1

2𝐾. 𝑥²

2 - 2 - لوصفالا اهققحي يتلا ةيلضافتلا ةلداعملا :𝑥

: انيدل 𝐸_𝑚 = 𝐸_𝐶+ 𝐸_𝑃

: هنمو 𝐸_𝑚 =¹₂𝑚. 𝑥̇²+¹₂𝐾𝑥²

: بتكن ةيكيناكيملا ةقاطلا ظافحناب

𝑑𝐸_𝑚 𝑑𝑡 = 0

:يأ 𝑚. 𝑥̇. 𝑥̈ + 𝐾. 𝑥. 𝑥̇ = 0

𝑚. 𝑥̇ (𝑥̈ +_𝑚^𝐾𝑥) = 0

: بتكت ةيلضافتلا ةلداعملا 𝑥̈ +_𝑚^𝐾𝑥 = 0

1 - 3 - 2 - ةبالصلا ةميق عسولاو 𝐾

𝑋_𝑚 روطلا و :𝜑

- ضبانلا ةبالص :𝐾

: صاخلا رودلا ريبعت 𝑇₀ = 2𝜋√^𝑚_𝐾

: يأ 𝑇₀² = 4𝜋².^𝑚_𝐾

: هنمو 𝐾 =^4𝜋_𝑇^2𝑚

02

لكشلا نابم بسح 2

يقاطلا رودلا انيدل 𝑇 = 0,2 𝑠

: نأ ملعن 𝑇₀ = 2𝑇 = 0,4 𝑠

: ع.ت 𝐾 =^4×10×0,1_0,42 = 25 𝑁. 𝑚⁻¹

- عسولا 𝑋_𝑚 :

: انيدل 𝐸_{𝑃 𝑚𝑎𝑥} =¹₂𝐾𝑋_𝑚²

: يلاتلابو 𝑋_𝑚² = ^{2.𝐸𝑃 𝑚𝑎𝑥}_𝐾

: جتنتسن 𝑋_𝑚 = √^{2.𝐸𝑃 𝑚𝑎𝑥}_𝐾

: انيدل نايبملا بسح 𝐸_{𝑃 𝑚𝑎𝑥} = 5.10⁻³ 𝐽

: ع.ت 𝑋_𝑚 = √^2×5.10₂₅ ⁻³ = 0,02 𝑚 ⇒ 𝑋_𝑚= 2𝑐𝑚

- روطلا :𝜑

: انيدل 𝐸_𝑃 =¹₂𝐾. 𝑥² دنع

𝑡 = 0 : بتكن 𝐸_𝑃(𝑡 = 0) =

1 2𝐾. 𝑋₀²

: هنمو 𝑋₀ = √^{2.𝐸𝑃 (𝑡=0)}_𝐾 = √^2×1,25.10₂₅ ⁻³= 0,01𝑚

𝑥(𝑡 = 0) = 𝑋_𝑚𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑋₀ :يأ

𝑐𝑜𝑠𝜑 =_𝑋^𝑋0

𝑚= ^0,01_0,02=

1

2

𝜑 = ±^𝜋₃ ⟺ : نا امب 𝑉₀ = 𝑥̇(𝑡 = 0) = −𝑋_𝑚^2𝜋_𝑇

0𝑠𝑖𝑛𝜑 < 0

: يلاتلابو 𝜑 =^𝜋₃

2 - 3 - 2 - ةعرسلا ريبعت 𝑉₀

:

رابتعاب : بتكن ةيكيناكيملا ةقاطلا ظافحنا 𝐸_𝑚 =1

2𝑚. 𝑥̇²+1

2𝐾𝑥² = 𝑐𝑡𝑒

ةظحللا دنع 𝑡 = 0

: بتكت ةيكيناكيملا ةقاطلا 𝐸_𝑚= ¹₂𝑚. 𝑉₀²+¹₂𝐾𝑋₀²

عضوملا دنع 𝑥 = 𝑋_𝑚

: بتكن 𝐸_𝑚 = ¹₂𝐾𝑋_𝑚²

1

2𝑚. 𝑉₀²+1

2𝐾𝑋₀² = 1

2𝐾𝑋_𝑚² ⇒ 𝑚. 𝑉₀² = 𝐾(𝑋_𝑚² − 𝑋₀²) ⇒ 𝑉₀² = 𝐾

𝑚. (𝑋_𝑚² − (𝑋_𝑚 2 )

2

) = 3𝐾 4𝑚. 𝑋_𝑚² 𝑉₀ = 𝑋_𝑚. √3𝐾

4𝑚⇒ 𝑉₀= 𝑋_𝑚 2 . √3𝐾

𝑚

ةليصأب ضرألا و ةايحلا مولع تايدتنم