corr-controle-de-m1-alg-2010-11

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2010/11

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Correction du rattrapage de M1 Algèbre

durée: 1h30

Exercice 1 :

2) Puisque dim R4 _{ 4 et pisque le système S contient 3 vecteurs alors S n’est pas une}

base de R4 _.

Exercice 2 :

1)  0 − 2  0  0 − 2  0  0  0, 0, 0, 0 ∈ E  E ≠ ∅ ∀ ∈ R ∀a  x,y,z,t ∈ E ∀b  u, v, w, r ∈ E :

a  b  x, y, z, t  u, v, w, r  x  u, y  v, z  w, t  r

x  u − 2y  v  z  w − 2t  r  x  u − 2y − 2v  z  w − 2t − 2r

 x − 2y  z − 2t  u − 2v  w − 2r

 x − 2y  z − 2t  u − 2v  w − 2r  0  0  0 Alors : a  b ∈ E

2) ∀a  x, y, z, t ∈ E : x − 2y  z − 2t  0  x  2y − z  2t

Alors : a  2y − z  2t, y, z, t  2y, y, 0, 0  −z, 0, z, 0  2t, 0, 0, t  y2, 1, 0, 0 − z1, 0, −1, 0  t2, 0, 0, 1

Alors B  2, 1, 0, 0, 1, 0, −1, 0, 2, 0, 0, 1 est un système générateur de E . ∀, ,  ∈ R : 2,1,0,0  1,0,−1,0  2,0,0,1  0,0,0,0  2    2, , −,   0, 0, 0, 0  2    2  0   0 −  0   0        0

Alors B  2, 1, 0, 0, 1, 0, −1, 0, 2, 0, 0, 1 est un système libre de E . Donc B  2, 1, 0, 0, 1, 0, −1, 0, 2, 0, 0, 1 est une base de E .

3) ∀a  x, y, z, t ∈ R4 _{: a ∈ E} _{ a ∈ 2, 1, 0, 0, 1, 0, −1, 0, 2, 0, 0, 1}

 a2, 1, 0, 0  a1, 0, −1, 0  a2, 0, 0, 1  0  x, y, z, t2, 1, 0, 0  0 x, y, z, t1, 0, −1, 0  0 x, y, z, t2, 0, 0, 1  0  2x y  0 x− z  0 2x t  0  y  −2x z  x t  −2x Alors : E  x, −2x, x, −2x tq : x ∈ R  x1,−2,1,−2 tq : x ∈ R  vect1, −2, 1, −2

4) La projection orthogonale du vecteur u  2, 7, −4, 7 sur E est :

u1, −2, 1, −2 ‖1,−2, 1,−2‖2 1, −2, 1, −2   2, 7,−4, 71, −2, 1, −2 ‖1,−2,1, −2‖2 1, −2, 1, −2  2 − 14 − 4 − 14 1 4  1  4 1,−2, 1, −2  −30 10 1, −2, 1, −2  −31, −2, 1, −2  −3, 6, −3, 6

5) La projection orthogonale du vecteur u  2, 7, −4, 7 sur E est :

u− −3, 6, −3, 6  2, 7, −4, 7 − −3, 6, −3, 6  5, 1, −1, 1

Exercice 3 :

1) On effectue la division euclidienne de A par B .

A  X5 _{− 3X}4 _{ 4X}3 _{− 4X  4 B  X}3 _{− 2X  4} −X5 _{ 2X}3 _{− 4X}2 _X2_{− 3X  6} −3X4 _{ 6X}3 _{− 4X}2_{− 4X  4} 3X4 _{− 6X}2_{ 12X} 6X3_{− 10X}2 _{ 8X  4} −6X3  12X − 24 −10X2 _{ 20X − 20}

- La 1ière méthode pour la suite de l’algorithme d’euclide : −10X2_{ 20X − 20  −10X}2 _{− 2X  2}

On effectue la division euclidienne de B  X3 _{− 2X  4 par X}2 _{− 2X  2 .}

B  X3 − 2X  4 _X2 − 2X  2 −X3 _{ 2X}2 _{− 2X X 2} 2X2 _{− 4X  4} −2X2 _{ 4X − 4} 0 Donc : A∧ B  X2 _{− 2X  2 est le p. g. c. d de A et B .}

- La 2ième _{méthode pour la suite de l’algorithme d’euclide :}

On effectue la division euclidienne de B  X3 _{− 2X  4 par −10X}2_{ 20X − 20 .}

B  X3 _{− 2X  4 −10X}2_{ 20X − 20} −X3 _{ 2X}2 _{− 2X − 1} 10X− 15 2X2 _{− 4X  4} −2X2 _{ 4X − 4} 0 Alors :−10X2 _{ 20X − 20 est un p. g. c. d de A et B .} Donc : A∧ B  − 1 10 −10X 2 _{ 20X − 20  X}2 _{− 2X  2 est le p. g. c. d de A et B .}

2) On effectue la division euclidienne de A et B par A∧ B  X2 _{− 2X  2}

A  X5 − 3X4  4X3 − 4X  4 _A∧ B  X2 − 2X  2 −X5  2X4 − 2X3 _X3 − X2  2 −X4 _{ 2X}3 _{− 4X  4} X4 _{− 2X}3 _{ 2X}2 2X2 _{− 4X  2} −2X2 _{ 4X − 2} 0 B  X3 _{− 2X  4 A∧ B  X}2_{− 2X  2} −X3 _{ 2X}2 _{− 2X X 2} 2X2 _{− 4X} −2X2_{ 4X − 4} 0

3)  Δ′  1 − 2  −1  A ∧ B  X2 _{− 2X  2 est irréductible dans RX .}

 A  X3 _{− X}2_{ 2A ∧ B  X}3 _{− X}2 _{ 2X}2 _{− 2X  2}

X3_{− X}2 _{ 2−1  −1 − 1  2  0  −1 est une racine de X}3_{− X}2 _{ 2 .}

Pour factoriser le polynôme A on peut utiliser l’une des 3 méthodes suivantes : - La 1ière méthode :

X3− X2  2  X3  X2− 2X2 − 2X  2X  2  X  1X2 − 2X  1X  2X  1

 X  1X2 _{− 2X  2}

Alors : A  X3 − X2 2X2 − 2X  2  X  1X2− 2X  2X2 − 2X  2

 X  1X2_{− 2X  2}2

- La 2ième méthode :

On utilise le procédé de Hörner pour effectuer la division euclidienne de

X3 _{− X}2 _{ 2 par X  1.} 1 −1 0 2 −1 −1 2 −2 1 −2 2 0 Alors : X3_{− X}2 _{ 2  X  1X}2 _{− 2X  2} Donc : A  X3 − X2 2X2 − 2X  2  X  1X2− 2X  2X2 − 2X  2  X  1X2_{− 2X  2}2

est la décomposition du polynôme A facteurs irréductibles dans RX . - La 3ième méthode :

On effectue la division euclidienne de X3 − X2  2 par X  1. X3 _{− X}2_{ 2 X 1} −X5 _{− X}2 _X2 _{− 2X  2} −2X2 _{ 2} 2X2 _{ 2X} 2X 2 −2X − 2 0 Alors : X3_{− X}2 _{ 2  X  1X}2 _{− 2X  2} Donc : A  X3 _{− X}2_{ 2X}2 _{− 2X  2  X  1X}2_{− 2X  2X}2 _{− 2X  2}  X  1X2− 2X  22

est la décomposition du polynôme A facteurs irréductibles dans RX .  B  X  2A ∧ B  X  2X2 − 2X  2

est la décomposition du polynôme B facteurs irréductibles dans RX . 4) PuisqueΔ′  −1  i2 _{alors les racines du polynôme X}2 − 2X  2 dans C sont :

1 i et 1 − i

Alors : X2 _{− 2X  2  X − 1 − iX − 1  i}

Donc : A X  1X − 1 − iX − 1  i2  X  1X − 1 − i2X − 1  i2 est la décomposition du polynôme A facteurs irréductibles dans CX . et B  X  2X − 1 − iX − 1  i

est la décomposition du polynôme B facteurs irréductibles dans CX .

Exercice 4 :

- La 1ière méthode ( La meilleure ) :

Posons X− 2  Y alors : X  Y  2 . On a alors : 4− X  4 − Y  2  4 − Y − 2  2 − Y

X2 _{− 5X  7  Y  2}2 _{− 5Y  2  7  Y}2 _{ 4Y  4 − 5Y − 10  7  Y}2 _{− Y  1}

Donc : F  2− Y

On effectue la division suivant les puissances croissantes de 2− Y par Y2_{− Y  1} à l’ordre 2 . 2− Y 1− Y  Y2 −2  2Y − 2Y2 _{2 Y − Y}2 Y− 2Y2 −Y  Y2 _{− Y}3 −Y2 − Y3 Y2 _{− Y}3_{ Y}4 −2Y3 _{ Y}4  Y3_{Y − 2} Alors : F  −Y 2_{ Y  2Y}2_{− Y  1  Y}3_{Y − 2} Y3_Y2 _{− Y  1}  −Y2 Y  2 Y3  Y− 2 Y2 − Y  1  − 1 Y  1Y2  2_Y3  X − 2 − 2_X2 _{− 5X  7}  − 1 X− 2  1 X − 22  2 X − 23  X− 4 X2 _{− 5X  7}  1 2− X  _{X − 2}1 2  _{X − 2}2 3  _X2X_{− 5X  7}− 4 - La 2ième _{méthode :}

Δ  25 − 28  −3  0  X2 _{− 5X  7 est irréductible dans RX .}

Alors la décomposition en éléments simples dans RX de la fraction rationnelle F est de la forme : F   X− 2   X − 22   X − 23  aX b X2_{− 5X  7}   X − 23 F 2  4− X X2 _{− 5X  7}2  4− 2 4− 10  7  2 1  2 Δ  −3  i 3 2  5 i 3

2 est une racine du polynôme X

2− 5X  7 dans C . Alors : a 5 i 3 2  b  X 2 _{− 5X  7F} 5 i 3 2  5a 2b  ia 3 2  4− X X − 23 5 i 3 2  5a 2b  ia 3 2  4− 5 i 3 2 5 i 3 2 − 2 3  3− i 3 2 1 i 3 2 3

 La 1ière _{méthode pour calculer a et b ( La meilleure ) :}

1 i 3 2  −j 2 _ 1 i 3 2 3  −j2_3 _{ −j}6 _{ −1} Alors : 5a 2b  ia 3 2  3− i 3 2 −1  −3− i 32  − 3 i 3 2  5a  2b  ia 3  −3  i 3  5a 2b  −3 a 3  3  a  1 5 2b  −3  a  1 2b  −8  a  1 b  −4

 La 2ième _{méthode pour calculer a et b :} 5a 2b  ia 3 2  3− i 3 2 1 i 3 3 8  3− i 3 2 8 1 i 3 3  4 3− i 3 1 i 3 3  5a  2b  ia 3  8 3− i 3 1 3i 3 − 9 − 3i 3  8 3− i 3 −8  − 3 − i 3  5a  2b  ia 3  −3  i 3  5a 2b  −3 a 3  3  a  1 5 2b  −3  a  1 2b  −8  a  1 b  −4 limxxFx  limx 4x− x2 x − 23_x2 _{− 5x  7}  0 Alors : lim_xx  x− 2   x − 22   x − 23  ax b x2 − 5x  7  0  limx _xx_{− 2 } x x − 22  x x − 23  ax 2 _{ bx} x2 − 5x  7  0    a  0    −a  −1 F0  4− X X − 23_X2 _{− 5X  7}0  4 −23 7  4 −8  7  −141 Alors :  X− 2   X − 22   X − 23  _X2aX_{− 5X  7} b 0  − 1₁₄  −  2  4 −  8  b7  − 114  1 2  4 − 28 − 47  − 114  12  4 − 14 − 47  − 114  4 1 2  4 − 14 − 47  − 414  − 27  2   − 1 − 16 7  − 27    −1  16 7 − 27  −7  16 − 27    1 Alors : F  − 1 X− 2  _{X − 2}1 2  _{X − 2}2 3  _X2X_{− 5X  7}− 4  1 2− X  _{X − 2}1 2  _{X − 2}2 3  _X2X_{− 5X  7}− 4