controle-dalg-m1-2014-15

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2014 -15

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre M1

durée: 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

( 5 points )

Soient E l’équation : z

2 _{ 1  i 3 z − 1  0 dans C}

 une racine carrée du nombre complexe 2  2i 3

1) Trouver le module et l’argument du nombre complexe 2 2i 3 . 2) En déduire le module et l’argument du nombre complexe. 3) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de. 4) En déduire la résolution de l’équationE dans C.

Exercice 2 :

( 5 points )

Soit A  X7 _{− 6X}6 _{ 10X}5 _{ 4X}4 _{− 23X}3 _{ 10X}2 _{ 12X − 8.}

1) En utilisant le procédé de Hörner trouver l’ordre de multiplicité n de 2 dans

le polynôme A et le quotient de la division euclidiènne du polynôme A parX − 2n. 2) En déduire la décomposition en facteurs irréductibles unitaires du polynôme A.

Exercice 3 :

( 5 points )

Soient : F  X2  2

X4 _{− 1} et G  X  2_X2 _{− 1}.

1) Décomposer la fraction rationnelle G en éléments simples. 2) Vérifier que FX  GX2_.

3) En déduire de 1) et 2) la décomposition de la fraction rationnelle F en éléments simples dans RX, puis dans CX.

Exercice 4 :

( 5 points )

On considère les deux sous-espaces vectoriels de R3 suivants :

F  x, y, z ∈ R3 tq : z− 2x  0 et G  x, y, z ∈ R3 tq : x− z  0 .

1) Déterminer une base de F, dim F, une base de G et dim G. 2) Déterminer une base de F∩ G et dimF ∩ G.

3) La somme F G est-elle directe?

4) Soit u  1, 1, 1. Montrer que H  vectu est un supplémentaire de F dans R3.

5) Soit a  7, 2, 9. Trouver la projection aF de a sur F parallélement à H et la projection

aH de a sur H parallélement à F.