corr-controle-dalg-1-smp-smc-2015-16

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2015-16

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Correction du contrôle d’Algèbre 1.

Session exeptionnelle d’automne 2015-16.

durée : 1h 30.

Exercice 1 :

1) |−8i|  |−8||i|  8  1  8. Donc 8 est le module de −8i. −8i  8−i  8 cos 

2 − i sin 2  8 cos − 2  i sin − 2  8e

−i

2 . Donc− 

2 est un argument de −8i.

2) Les racines carrées de−8i sont u  8 e−i



4 et−u  − 8 e−i4 .

u  8 e−i 

4 _{ 2 2 cos − }

4  i sin − 4  2 2 cos 4 − i sin 4  2 2 2 2 − i 2 2  2 2 2 2 − i 2 2 2  2 22 − i 22  21 − i.

Donc les racines carrées de −8i sont 21 − i et −21 − i  2i − 1. 3)Δ  −2i2 − 4−1  2i  −4  4 − 8i  −8i.

Puisque   21 − i est une racine carrée de Δ  −8i alors solutions de l’équation sont :

z1  2i   2  2i 21 − i 2  2i  1 − i 2  1 et z2  2i −  2  2i− 21 − i 2  2i − 1  i 2  2i − 1.

Exercice 2 :

1) i1 − z  i1 − ei  iei  2 e−i  2 − ei 2  −iei2 ei  2 − e−i2  −i2iei 2 e i  2 _{− e}−i 2 2i  2 sin 2 e i 2 .  ∈ 0,  2  2 ∈ 0, 4 ⊂ 0,   sin 2  0  2 sin 2  0. Donc : |i1 − z|  2 sin 2

argi1 − z  

2 mod 2 .

i1 − z4  i1 − e4i  ie2ie−2i − e2i  −ie2ie2i− e−2i  −i2ie2ie2i − e−2i

2i  2 sin2e2i_.  ∈ 0,  2  2 ∈ 0,   sin2  0  2 sin 2  0. Donc : |i1 − z 4_{|  2 sin2} argi1 − z4_{  2 mod 2} .

2) 1 − z4 1− z  i1 − z4_ i1 − z  |i1 − z4_| |i1 − z|  2 sin2 2 sin  2  sin2 sin  2  2sin cos  sin  2  4 sin  2 cos 2 cos sin  2  4 cos  2 cos.  arg 1 − z4 1− z  arg i1 − z4_ i1 − z  argi1 − z 4_{ − argi1 − z  2 − } 2  3 2 mod 2 . 3) D’après la question précédente :

1− z4

1− z  4 cos 2 cos e 3i

2 _{ 4 cos }

2 cos  cos 32  i sin 32  4 cos 

2 cos  cos 32  4i cos 2 cos  sin 32 .

Donc :

Re 1 − z4

1− z  4 cos 2 cos  cos 32 Im 1 − z4

1− z  4 cos 2 cos  sin 32 .

4) 1 ei  e2i e3i  1  z  z2_{ z}3 _{ 1 − z}4

1− z . Donc :

Re1  ei _{ e}2i_{ e}3i_{  Re 1 − z}4

1− z  4 cos 2 cos  cos 32 Im1  ei_{ e}2i _{ e}3i_{  Im 1 − z}4

1− z  4 cos 2 cos  sin 32 .

5) 1 ei  e2i e3i  1  cos  i sin   cos2  i sin 2  cos3  i sin 3  1  cos   i sin   cos 2  i sin 2  cos 3  i sin 3  1  cos   cos 2  cos 3  i sin   i sin 2  i sin 3  1  cos   cos 2  cos 3  isin   sin 2  sin 3. Donc : Re1  e

i _{ e}2i _{ e}3i_{  1  cos   cos 2  cos 3}

Im1  ei _{ e}2i _{ e}3i_{  sin   sin 2  sin 3} .

6) 1  cos   cos 2  cos 3  Re1  ei  e2i e3i  4 cos 

2 cos  cos 32 .  sin   sin 2  sin 3  Im1  ei_{ e}2i_{ e}3i_{  4 cos }

2 cos  sin 32 . 7)

1 cos 

3  cos 23  cos   4 cos 6 cos 3 cos 2  0 sin 

3  sin 23  sin   4 cos 6 cos 3 sin 2  4  3

2  3 .

Exercice 3 :

1) A1  4  17 _{− 4  1}6 _{− 7  1}5 _{ 7  1}4 _{ 2  1}3 _{− 2  1}2 _{ 1 − 1}  4  1 − 4  1 − 7  1  7  1  2  1 − 2  4 − 4 − 7  7  2 − 2  0. 2)

4

−4 −7 7 2 −2 1 −1

1

4

0

−7 0 2 0 1

4 0

−7 0 2 0 1 0

1

4

4

−3 −3 −1 −1

4 4

−3 −3 −1 −1 0

1

4

8

5

2

1

4 8

5

2

1

0

1

4

12 17 19

4 12 17 19 20

. Donc n  3 et Q1  4X4  8X3  5X2 2X  1. 3) Q1−1  4−14  8−13  5−12  2−1  1  4  1  8−1  5  1 − 2  1  4 − 8  5 − 1  0. 4) .

4 8

5

2

1

−1

−4 −4 −1 −1

4 4

1

1

0

−1

−4 0 −1

4 0

1

0

−1

−4 4

4

−4 5

. Donc m  2 et Q2  4X2  1. 5) A  X − 134X4_{ 8X}3 _{ 5X}2 _{ 2X  1  X − 1}3_{X  1}2_4X2_{ 1}  4X − 13_{X  1}2 X2 1 4 . Pour le polynôme X2 _{ 1} 4,Δ  0 2_{− 4 1} 4  0 − 1  −1  0. Donc X2_{ 1}

4 est irréductible dans RX.

Ce qui prouve que A  4X − 13X  12 X2 _{ 1}

4 est la décomposition du polynôme A en facteurs irréductibles unitaires dans RX.

∀x ∈ C : x2_{ 1} 4  0  x 2 _{ − 1} 4  i 2 2  x  i 2 et x  − i2 . Ce qui montre que A  4X − 13X  12 X− i

2 X i2 est la décomposition du polynôme A en facteurs irréductibles unitaires dans CX.