controle-dalg-m1-2013-14

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2013-14

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre M1

durée: 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

( 5 points )

1) Trouver le module et l’argument de chacun des nombres complexes 1 i 3 et 1  i . 2) En déduire :

a) le module et l’argument du nombre comlexe z  1 i 3 1 i

28

b) la partie réelle et la partie imaginaire du nombre comlexe z  1 i 3 1 i

28

.

Exercice 2 :

( 5 points )

Soient n ∈ N∗ un entier naturel non nul , a, b ∈ R deux nombres réels . On considère le polynôme P  aX2n _{ bX  1 .}

1) Calculer la dérivée P′ du polynôme P .

2) Déterminer les nombres réels a et b pour que le polynôme P soit divisible parX  12. 3) Pour n  2 , déterminer les nombres réels a et b pour que le polynôme P soit divisible

par X  12 .

4) Pour n  2 , décomposer le polynôme P en facteurs irréductibles dans RX . 5) En utilisant le procédé de Hörner , montrer que pour n  2 on a :

P′  4

3X  1X

2 − X  1

6) En déduire le p. g. c. d de P et P′ pour n  2 .

Exercice 3 :

( 5 points )

Décomposer en éléments simples dans RX la fraction rationnelle :

F



X

 2

X

− 2 X

1

Exercice 4 :

( 5 points )

Soient B0  e1, e2, e3 la base canonique de R3, F  x, y, z ∈ R3 tq : 3x− 2y − z  0

et G  vecte2  0, , 0 ∈ R3 tq :  ∈ R .

1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R3 . 2) Trouver une base S  a1, a2 de F .

3) Vérifier que B  a1, a2, e2 est une base de R3 .

4) En déduire que : F⊕ G  R3 _.